2017-2018学年数学人教A版必修一优化练习：第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值 Word版含解析

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为( )

A．9 B．9(1－a)

C．9－a D．9－a2

解析：∵a＞0，

∴f(x)＝9－ax2(a＞0)开口向下以y轴为对称轴，

∴f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上单调递减，

∴x＝0时，f(x)最大值为9.

答案：A

2．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为( )

A．2 B.12

C.13 D．－12

解析：函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，∴ymin＝13－1＝12.

答案：B

3．函数y＝|x＋1|－|2－x|的最大值是( )

A．3 B．－3

C．5 D．－2

解析：由题意可知

y＝|x＋1|－|2－x|＝ －3， x<－1；2x－1， －1≤x≤2；3， x>2.

画出函数图象即可得到最大值3.故选A.

答案：A

4．函数y＝x＋2x－1( )

A．有最小值12，无最大值 B．有最大值12，无最小值

C．有最小值12，有最大值2 D．无最大值，也无最小值

解析：f(x)＝x＋2x－1的定义域为 12，＋∞，在定义域内单调递增，

∴f(x)有最小值f12＝12，无最大值．

答案：A

5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1] B．(－∞，0]

C．(－∞，0) D．(0，＋∞)

解析：a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，

而f(x)＝－x2＋2x，x∈ [0,2]的最小值为0，∴a＜0.

答案：C

6．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a

解析：∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，而a

∴函数在[a，b]单调递增．

∴ fa＝－a2＋6a＋9＝－7，fb＝－b2＋6b＋9＝9，

解得 a＝－2，b＝0或 a＝8，b＝6，

又∵a

∴ a＝－2，b＝0.

答案：－2 0

7．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f(x)的解析式为________．

解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)

当k>0时， －k＋b＝1，2k＋b＝3即 k＝23，b＝53.

∴f(x)＝23x＋53.

当k<0时， －k＋b＝3，2k＋b＝1，

即 k＝－23，b＝73

∴f(x)＝－23x＋73.

∴f(x)的解析式为f(x)＝23x＋53或f(x)＝－23x＋73.

答案：f(x)＝23x＋53或f(x)＝－23x＋73

8．已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

解析：f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在(0，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝a2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a＝36.

答案：36

9．已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3,5]．

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

解析：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1

＝x1－1x2＋2－x2－1x1＋2x1＋2x2＋2

＝x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2x1＋2x2＋2

＝3x1－x2x1＋2x2＋2.

∵x1，x2∈[3,5]且x1

∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.

∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)

∴函数f(x)＝x－1x＋2在[3,5]上为增函数．

(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝25；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝47.

10．已知函数f(x)＝x 2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；

(2)求f(x)的最小值．

解析：(1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，

可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，

即a≥5或a≤－5.

(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a.

当－5<－a≤5，即－5≤a<5时，

f(x)min＝f(－a)＝2－a2，

当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，

所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，

综上可得，f(x)min＝ 27－10aa≥5，2－a2－5≤a＜5，27＋10aa<－5.

[B组 能力提升]

1．函数y＝2x＋1－2x，则( )

A．有最大值54，无最小值

B．有最小值54，无最大值

C．有最小值12，最大值54

D．既无最大值，也无最小值

解析：设1－2x＝t(t≥0)，则x＝1－t22，所以y＝1－t2＋t＝－t－122＋54(t≥0)，对称轴t＝12∈[0，＋∞)，所以y在0，12上递增，在12，＋∞上递减，所以y在t＝12处取得最大值54，无最小值．选A.

答案：A

2．y＝3x＋2(x≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( )

A.37，0 B.32，0

C.32，37 D．无最大值，无最小值

解析：由图象可知答案为D.

答案：D

3．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x＝－m2.

(1)当－m2≤1时，即m≥－2时，满足f(2)＝4＋2m＋4≤0，

∴m≤－4，又m≥－2，∴此时无解．

(2)当－m2≥2，即m≤－4时，需满足f(1)＝1＋m＋4≤0

∴m≤－5，又m≤－4，∴m≤－5.

(3)当1＜－m2＜2，即－4

 －4

综上所述，m≤－5.

答案：m≤－5

4．已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．

解析：解法一：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即a＜x2＋2x对一切x∈R都成立．因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以a＜－1.

解法二：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即x2＋2x－a＞0对一切x∈R都成立，所以Δ＝4＋4a＜0即可，解得a＜－1.

答案：(－∞，－1)

5．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．

解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.

6．已知(x＋2)2＋y24＝1，求x2＋y2的取值范围．

解析：由(x＋2)2＋y24＝1，得(x＋2)2＝1－y24≤1，

∴－3≤x≤－1，∴x2＋y2＝x2－4x2－16x－12＝－3x2－16x－12＝－3x＋832＋

283，因此，当x＝－1时，x2＋y2有最小值1；当x＝－83时，x2＋y2有最大值283.

故x2＋y2的取值范围为1，283.