一种具有自适应阈值的小波收缩去噪方法

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表 4 D198 问题运行结果比较
所用算法 理论最优 计算框架
求解问题 平均路径长度 运行步数 运行次数
D198
15780
--
--
D198
20387. 5621
500
20
ACS
D198
19217. 6588
500
20
文献 7 算法 2 D198
18674. 9148
500
20
λ1
<|
x|
≤λ2
x | x | > λ2
4) 变形的 sigmoid 收缩函数[5]
x +λ-
2
λ k+
1
x
<-
λ
δλ( x) =
(2 k
1 + 1)λ2 k
·x2 k +1
|
x|
≤λ
x
-
λ
+
2
λ k+
1
x
>λ
硬阈值函数是将绝对值小于阈值的小波系数变成零 , 而
RMS ( f wr) =
∑( f wr ( x , y) ) 2
x, y
Nx, y
式中 f wr为理想无噪声图像的小波变换高频子带系数 。一般无 法预先知道理想图像 。但是 , 我们知道白噪声和理想图像之
间是不相关的 。所以可以通过
RMS ( fw) 2 = RMS ( f wr) 2 + σ2
求得高频子带的均方根 。
通过表 2 和表 3 的比较可以看出 ,本文提出的计算框架 在 TSP 的求解过程中并不能够达到最优的结果 ,但是和文献 [7 ]中所提到的两种蚁群的优化算法比较却在同一水平上 。 这个结果和在用框架完成分析时得到的和蚁群算法非常相似 的结论是一致 ,因此我们可以说本文提出的框架是有效的 。
5 结论
3) 稳固收缩函数 B [6]
这种收缩函数设立了两个收缩阈值 λ1 和 λ2 (λ2 ≥λ1) , 在λ1 和λ2 之外采用硬阈值收缩规则 ,而在λ1 和λ2 之间设置 了一个过渡区域以保证收缩函数的连续性 。
0 | x | ≤λ
δλ 1
,λ2
(
x)
=
sign ( x)
λ2 (| x | - λ1) λ2 - λ1
1 引言
小波收缩是非线性图像“去噪”的重要方法之一 。小波 收缩算法的最显著特点在于 : 它本身是一个非线性处理过 程 。其优点是在消除图像中噪声的同时 ,能够较好地保留图 像的边缘和纹理信息 ,克服了许多其它算法在减小图像噪声 同时会造成图像边缘模糊的缺点 。基于小波收缩的“去噪” 方法 ,可有效地提高各种图像处理的算法的性能 ,全面地提 高图像质量 。Donoho (1995) 和 Johnstone (1994) 提出一种简单 而有效的非线性小波分析 (小波收缩) 回归方法 :在小波域利 用收缩方法从样本中估计未知函数[1][2][3] 。在这一小波回
3) 计算图象的奇异因子 C
C
=
eRMS ( fwr / 12. 5)
2 + e- RMS ( fwr / 12. 5)
4) 根据 Donoho 等人从图像的噪声模型利用变分方法推
导出的小波收缩最佳阈值的上限 :
λ = 2ln Nσ (其中σ为白噪声的大小)
令 λ = 2ln Nσ3 C 求得自适应最优阈值 。
在本文中 ,通过对人工生命系统的分析 ,我们得到了一 个人工生命系统求解实际问题的通用框架 。通过在 TSP 问 题的应用 ,得到了一个和蚁群算法非常类似的优化算法 ,通 过仿真 ,也证明了算法的有效性 。
收稿日期 :2003 - 12 - 25
归算 法 中 , 收 缩 阈 值 的 选 择 是 最 关 键 的 因 素 。Donoho 和 Johnstone 建议了几种选择较优收缩阈值的策略并将此算法 用于信号和图像“去噪”中[1][2][3] 。在估计小波收缩 (wavelet shrinkage) 效果时常采用信噪比 ( SNR) 来衡量 ,而在图像“去 噪”中 ,理想无噪声的图像是不能预先知道的 。同时 ,收缩阈 值的选择需要知道噪声的先验知识 (噪声类型和方差等) ,大 多数情况下这也是不能预先知道的 。为解决此矛盾 ,Nason (1996) 根据优化的思想提出了著名的交互证实 (cross - valida2 tion) 法 ,并且将累计方差交互估计 (a cross - validatory estimato2 rof integrated squared error) 最小化以决定收缩阈值[4] 。
fw = W^f
2) 对小波系数运用非线性收缩函数 δλ(·) 进行处理 :
^f w = δλ( fw)
3) 将阈值化处理后的小波系数进行小波反变换得到“去
噪”后图像 :
^fλ = W - 1 ^f w
这三个步骤中 , 第 2) 步是小波收缩的主要内容 。以下是几种
常见的收缩函数 :
1) 硬阈值收缩函数 B [6]
第 22 卷 第 5 期 文章编号 :1006 - 9348 (2005) 05 - 0107 - 02
计 算 机 仿 真
2005 年 5 月
一种具有自适应阈值的小波收缩去噪方法
陈海峰 ,王伟
(上海交通大学智能控制实验室 ,上海 ,200030) 摘要 :小波收缩是一种非线性小波变换 ,这种算法的关键问题在于收缩算法中的收缩阈值和收缩函数 (规则) 。自适应理论 是现代信号处理中强有力的工具 。该文将自适应理论和传统的小波收缩算法相结合 ,提出了基于图像奇异特性自适应小波 收缩“去噪”算法 。该算法根据高频子带小波系数的均方根来确定最佳小波收缩阈值 。阐明了最佳阈值与图像本身特性之 间的关系 。实验表明 ,该算法比一般软 、硬阈值的小波收缩算法有更好的“去噪”效果 ,既克服硬阈值函数所产生的人为的噪 声点和数学上不易处理等缺点 ,又避免了软阈值算法所带来的边缘模糊 。从而进一步提高了图像的峰值信噪比 ,改善图像 质量 。 关键词 :小波收缩 ;自适应 ;去噪 ;奇异因子 中图分类号 : TP391. 41 文献标识码 :A
5) 小波系数的收缩处理
本文采用硬阈值
δλH ( x) =
x | x | > λ 0 | x | ≤λ
6) 图像的重建
利用收缩处理后小波系数经小波反变换重建图像 , 得到
“去噪”后较清晰的图像 。
4 实验结果 :
本文对具有丰富纹理信息 的 512512 Baboon 图 象 加 入
Gaussian 白 噪 声 进 行“去 噪”实 验 , 实 验 中 采 用 Daubechies
ABSTRACT : Wavelet shrinkage is a nonlinear wavelet transform , whose key is shrinkage thresholds and shrinkage func2 tions (shrinkage rules) . The adaptive theory is a strong tool in modern signal processing. Combining the adaptive theory with classical wavelet shrinkage , a wavelet shrinkage denoising method with adaptive thresholds based on image singularity cha2r acteristic is proposed. The optimal wavelet shrinkage threshold in this method is determined by the root mean square value of high frequency wavelet coefficient. The idea illustrates the relation between the near - optimal threshold and image’s charac2 teristic. Experiment shows that the method proposed in the paper has better denosing effect than that of other methods based on hard - thresholds or soft - thresholds. The new method overcomes the shortcomings in hard - thresholding scheme : more tractable mathematically in the analysis of algorithms and the reconstructed images appear as annoying , spurious’blips’. It also avoids blurring the brim of the reconstructed images in soft - thresholding scheme. Thus , it further increases the peak signal - to - noise ratio and improves the image’s quality. KEYWORDS :Wavelet shrinkage ;Adaptive ;Denoising ;Singularity gene.
将绝对值大于阈值的小波系数不加任何处理给予保留 。这种
算法的收缩函数会有较好的去噪效果 。由于其收缩函数是不
连续的 ,这在数学上是不易处理的 , 同时在图像边缘丰富处 会产生许多“人为的”噪声点 。软阈值算法是在处理绝对值大
于阈值的小波系数不是完全保留而是作收缩处理 , 即减小这 些系数 。由于软阈值函数是一个连续函数 , 它较好地克服了 硬阈值算法中数学上不易处理和在含有丰富边缘图像中会
本文对小波收缩的近似最佳阈值的选择进行了定性的 分析 ,提出了一种基于图像奇异特性的小波收缩阈值的选择 方法 ,这是一种与图像本身特性相关的图像“去噪”算法 ,它
— 107 —
简化了小波收缩近似最佳阈值的估计方法 。
2 几种小波收缩函数及其不足
小波收缩的基本方法分三个步骤[5] : 1) 利用小波变换将实际自然图像变换为小波域 :
δλH ( x) =
x | x | > λ 0 | x | ≤λ
2) 软阈值收缩函数 B [6]
δλS ( x) =
sign ( x) (| x | - λ) | x | > λ 0 | x | ≤λ
其中 :λ为小波收缩的阈值 ( threshold) 。sign (·) 为符号点 。这种算法减小绝对值
大的小波系数 ,造成了一定的高频信息损失 , 其结果导致了 图像的边缘模糊 。
— 108 —
3 本文算法
本文提出的算法过程如下 : 1) 通过小波变换将图像分解成四个子带 ( LL , L H , HL , HH) 。 2) 计算高频子带的均方根 RMS
图像 。N 表示图像像素数 。
5 结论
实验结果表明 :本文提出的图像奇异特性自适应小波收 缩规则不仅能提高图像的峰值信噪比 ,改善图像质量 ,而且 还能克服硬阈值算法所带来的人为“噪声点”。并且给出了 计算表征图象奇异特性的具体表达式 ,使收缩阈值达到局部 最优 。但是实验中发现本算法比较耗时 ,并且对 PSNR 比较 高 ( > 40dB) 的图象去噪效果不是很明显 ,这些正是下一步所 要改进的 。
A Wavelet Shrinkage Denoising Method with Adaptive Thresholds
CHEN Hai - feng ,WANG Wei
( Institute of Intelligence Control , Shanghai Jiaotong University , Shanghai 200030 ,China)
D2[7 ] 小波对图像进行小波分解 。图 1 用峰值信噪比 (PSNR)
来衡量算法的“去噪”效果 :
∑ PSNR ( dB) = 10 log10 (
255 ×255 ( fλ( x , y) - f ( x , y) ) 2) / N
x, y
其中 :fλ( x , y) 是小波收缩“去噪”后图像 , f ( x , y) 为原