2019-2020学年高中数学 2.3幂函数课时作业 新人教A版必修1.doc
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2019-2020学年高中数学 2.3幂函数课时作业 新人教A版必修1
知识点及角度 难易度及题号
基础 中档 稍难
幂函数的概念 1 8、10
幂函数的图象 4 9
幂函数的性质 2、3、5 6、7、11
12
A．①y＝x2，②y＝x13 ，③y＝x12 ，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12 ，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12 ，④y＝x－1
D．①y＝x13 ，②y＝x12 ，③y＝x2，④y＝x－1
解析：注意到函数 y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x12 ＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，其图象应与④对应．
答案：B
5．若y＝axa2－12 是幂函数，则该函数的值域是______．
解析：∵a＝1，∴y＝x12 ，其值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
6.23 23 ，3－23 ，223 的大小关系是________．
解析：∵幂函数y＝x23 在(0，＋∞)上是增函数，
又∵3－23 ＝1323 ，且13＜23＜2，
∴3－23 ＜2323 ＜223 .
答案：3－23 ＜2323 ＜223 7．讨论函数y＝x25 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图．
解：∵y＝x25 ＝5x2≥0，
∴函数y＝f(x)的定义域为R，
值域为[0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x) 25 ＝ 5－x2
＝5x2＝x25
＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
由于25＞0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f(x)是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
根据以上性质可画出函数y＝x25 图象的草图如图所示．
8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜53，
又m∈N，∴m＝0,1.
∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．
∴m＝1. 答案：B
9．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈N)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是______．
解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1；
∵图象关于原点对称，且m∈N，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数．
(2)是正比例函数．
(3)是反比例函数．
(4)是二次函数．
解：(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－1≠0，故m＝－45.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－25，此时m2－m－1≠0，
故m＝－25.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
11．已知幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a＋1) p2 ＜(3－2a) p2 的实数a的取值范围．
解：∵幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，
∴函数y＝x3－p是偶函数．
又y＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p＞0.
∵p∈N*，∴p＝1，
∴不等式(a＋1) p2 ＜(3－2a) p2 化为： (a＋1) 12 ＜(3－2a) 12 .
∵函数y＝x是[0，＋∞)上的增函数，
∴ a＋1＜3－2a，a＋1≥0，3－2a≥0⇒ a＜23，a≥－1，a≤32
⇒－1≤a＜23，故实数a的取值范围为－1，23.
12．已知幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)．
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，
满足f(2)＜f(3)．
因此2－k＞0，解得k＜2.
因为k∈N*，
所以k＝1，f(x)＝x.
(2)g(x)＝1＋(m－1)x，
当m＞1时，函数g(x)为增函数，
故最大值为g(1)＝m＝5.
当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，故最大值为g(0)＝1≠5，不成立．
当m＝1时，g(x)＝1，不合题意．
综上所述，m＝5.
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．
3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0，曲线下凸．
