广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三下学期第一次联考数学(文科)试题

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2015—2016学年度第二学期高三级两校联考试卷

文科数学

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）

1．设集合}3,2,1{A，}5,4{B，},,|{BbAabaxxM，则M中元素的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．设3xp：，31xq：，则p是q成立的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．不充分不必要条件

3．设函数1,21),2(log1)(12xxxxfx，则)12(log)2(2ff（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

4．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）

A．)22cos(xy B．)22sin(xy

C．xxy2cos2sin D．xxycossin

5．已知等差数列}{na中，1064aa，前5项和55S，则其公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．设yx,满足约束条件310,yxyxyx，则yxz2的取值范围是（ ）

A．]0,2[ B．]0,3[ C．]3,2[ D．]3,3[

7．已知双曲线)0,0( 12222babyax的一条渐近线过点)3,2(，且双曲线的一个焦点在抛物线xy742的准线上，则双曲线的方程为（ ）

A． 1282122yx B． 1212822yx

/?source=eduwk （第12题） C． 14322yx D． 13422yx

8．执行右图所示程序，则输出的i的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．设复数),( )1(Ryxyixz，若1|z|，则xy的概率为（ ）

A．2143 B．121 C．2141 D．121

10．已知ox是函数xxfx112)(的一个零点，若),1(1oxx，),(2oxx，则（ ）

A．0)(,0)(21xfxf B．0)(,0)(21xfxf

C．0)(,0)(21xfxf D．0)(,0)(21xfxf

11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率（材料利用率=新工件体积/原工件体积）为（ ）

A．98

B．916

C．3)12(4

D．3)12(12

12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为ija，例如1542a，若2015ija，则ji（ ）

A．26 B．27 C．28 D．29

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球。从中一次随

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机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 ．

14．若曲线xkxyln2在点),1(k处的切线与直线032yx平行，则k ．

15．已知定点A的坐标为)4,1(，点F是双曲线112422yx的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则||||PAPF的最小值为 ．

16．定义在R上的函数)(xf满足0)5()(xfxf，当]4,1(x时，xxxf2)(2，则函数)(xf在]2016,0[上的零点个数是 ．

三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题，每题12分，选做题10分，共70分）

17．（12分）已知cba,,分别是ABC内角CBA,,的对边，CABsinsin2sin2．

⑴若ba，求Bcos；

⑵若90B，且2a，求ABC的面积．

18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[),50,40[．

⑴求频率分布图中a的值；

⑵估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

⑶从评分在)60,40[的受访职工中，随机抽取2人，

求此2人评分都在)50,40[的概率．

19．（12分）如图，在四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD，2ADABPA，四边形ABCD中ADAB，ADBC//，且4BC，点M为PC中点．

⑴求证：平面ADM平面PBC；

⑵求点P到平面ADM的距离．

组距频率004.0018.0022.0028.0a分数405060708090100MDCPAB

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20．（12分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为22，且一个焦点坐标为)0,2(．

⑴求椭圆M的方程；

⑵设直线l与椭圆M相交于BA,两点，以线段OBOA,为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．

21．（12分）设函数)(),(xgxf的定义域均为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，xexgxf)()(，其中e为自然对数的底数．

⑴求)(),(xgxf的解析式，并证明：当0x时，1)(,0)(xgxf；

⑵设1,0ba，证明：当0x时，)1()()()1()(bxbgxxfaxag．

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请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分．

22．选修4-1：几何证明选讲（10分）

如图，AB是O⊙的直径，弦CABD,的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

⑴求证：DFADEA；

⑵求证：ACAEBDBEAB2．

23．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

已知曲线1C：tytxsin3cos4（t为参数），2C：sin3cos8yx（为参数）．

⑴化21,CC的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

⑵若1C上的点P对应的参数为2t，Q为2C上的动点，求PQ的中点M到直线3C：7)sin2(cos的距离的最小值．

24．选修4-5：不等式选讲（10分）

设函数|2||1|)(xxxf．

⑴画出函数)(xf的图象；

⑵若不等式)(||||||xfababa ),,0(Rbaa恒成立，求实数x的取值范围． FEDCBAO

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2015—2016学年度第二学期高三级两校联考文科数学参考答案及评分标准

CBABBDDCBCCA,,121：— 65 13： 21 14： 9 15： 1209 16：

17．⑴由题设及正弦定理可得acb22………………………………2分

又ba，可得cacb2,2………………………………4分

由余弦定理可得412cos222acbcaB．………………………………6分

⑵由⑴知acb22．

∵90B，由勾股定理得222bca．………………………………8分

故acca222，得2ca．………………………………10分

∴ABC的面积为12221．………………………………12分

18．⑴∵110)018.0022.0028.0022.0004.0(a，∴006.0a…………3分

⑵由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为4.010)018.0022.0(．

∴该企业职工对该部门评分不低于80的概率估计值为4.0………………………6分

⑶受访职工评分在)60,50[的有：310006.050（人），记为321,,AAA．

受访职工评分在)50,40[的有：210004.050（人），记为21,BB………8分

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：},,{21AA

},,{31AA},,{11BA},,{21BA},,{32AA},,{12BA},,{22BA},,{13BA},,{23BA},{21BB．………………………………10分

又∵所抽取2人的评分都在)50,40[的结果有1种，即},{21BB，故所求的概率为101．

………………………………12分

19．⑴证明：取PB中点N，连接ANMN,．

∵M是PC中点，∴221,//BCMNBCMN．

又∵ADBC//，∴ADMN//，ADMN

∴四边形ADMN为平行四边形．………………………………2分

∵ADABADAP,，∴AD平面PAB．………………………4分

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∴ANAD，∴MNAN．

∵ABAP，∴PBAN，∴AN平面PBC．…………………6分

∵AN平面ADM，∴平面ADM平面PBC．…………………7分

⑵由⑴知，ADPNANPN,．

∴PN平面ADN，即点P到平面ADM的距离为PN……………………10分

在PABRt中，由2ABPA，得22PB，∴221PBPN．

∴点P到平面ADM的距离为2．………………………………12分

20．⑴由已知设椭圆M的方程为)0( 12222babyax，则2c………………1分

由22ace，得2,4,222baa．………………………………3分

∴椭圆M的方程为12422yx．………………………………4分

⑵当直线l斜率存在时，设直线l方程为mkxy．

则由12422yxmkxy消去y得0424)21(222mkmxxk．

0)42(8)42)(21(416222222mkmkmk．①

设点PBA,,的坐标分别是),(),,(),,(002211yxyxyx．

∵四边形OAPB为平行四边形，

∴2210214kkmxxx．

2212102122)(kmmxxkyyy……6分

由于点P在椭圆M上，∴1242020yx．