基于接触问题的桩土相互作用机理

１年１Ｏ月　０期总第４５９期　水运工程　Ｐｏｒｔ＆Ｗａｔｅｒｗａｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　０ｃｔ．２０１ｌ　Ｎｏ．１０　ＳｅｒｉａｌＮｏ．４５９　

基于接触问题的桩土相互作用机理　

宗钟凌　（淮海工学院土木工程学院，江苏连云港２２２００５）　

摘要：采用子结构凝聚自由度法推导出桩土接触问题的非线性有限元平衡方程，引入接触问题的约束条件，并通过　拉格朗日乘子法对约束条件进行处理，得到数值计算的迭代格式，进而对桩土相互作用进行非线性数值计算，结果表　

数值计算结果与实测结果吻合较好，接触问题的引入可以合理地解释桩土相互作用的机理问题。　关键词：接触；约束条件；增广拉格朗日乘子；数值计算；桩土相互作用　中图分类号：ＴＵ　４７３　文献标志码：Ａ　文章编号：１００２—４９７２（２０１　１）１０—０１３２—０３　

Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｏｆ　ｐｉｌｅ．—ｓｏｉｌ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｎｔａｃｔ　ＺＯＮＧ　Ｚｈｏｎｇ—ｌｉｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｉｈａｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ　２２２００５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｉｓ　ｂｕｉｌｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｕｂ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｕｓｉｎｇ　ｃｏｈｅｓｉｏｎ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ，ｃｏｎｔａｃｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｄｅａｌｔ　ｗｉｔｈ　ｂｙ　ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｐｉｌｅ－ｓｏｉｌ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｅｆｆｅｃｔ　ｗａｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｕｌａｔｉｏｎ．Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｔｒｅｎｄ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ．Ｔｈｅ　。ｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｃａｎ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｙ　ｅｘｐｌａｉｎ　ｔｈｅ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｏｆ　ｐｉｌｅ－ｓｏｉｌ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｅｆｆｅｃｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔａｃｔ；ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ；ｐｉｌｅ——　ｉｎｔｅｒａｃｔｊｏｎ　

工程结构中结构或构件之间存在摩擦接触现　

邑较为普遍的，例如机械工程中设备和弹性地　

之间的挤压接触，桩基工程中桩与桩侧土界　

摩擦接触等【１］。众所周知，摩擦接触问题属于　

型的状态非线性问题，这使得基于接触问题的　

±相互作用的分析与计算变得困难。随着计算　

拘发展，有限元法在桩土相互作用分析中得到　

来愈多的应用。文献［２】应用有限元法对桩土进　分析，得出了一些满意的结果，但这种分析方　

队为，桩侧和桩周土之间没有相对位移。大量　

陧实践表明，桩侧和桩周土之间不仅能传递摩　

力，而且它们之间还有较大的相对位移。文献　基于Ｇｏｏｄｍａｎ接触单元模型，通过编制有限元　芋分析了超长单桩的荷载传递机理，计算结果　与静载试验符合较好。文献［４］通过在桩和桩侧土　

界面直接引入接触单元，并采用参变量变分原理　

及基于此原理的参变量二次规划法，对接触单元　

刚度矩阵进行了推导。模型计算结果与实测比较　

表明，接触单元能较好地模拟桩与土之间的剪力　传递和相对位移。本文基于以上研究成果，采用　

子结构凝聚自由度法对桩土接触问题的非线性有　限元平衡方程进行推导，通过增广拉格朗日乘子　

法对约束条件进行处理，得到数值计算的迭代格　式，并结合实际工程案例进行非线性数值计算模　

拟　

１基于接触问题的非线性有限元平衡方程　

一般的非线性有限元增量平衡方程可写成：　

收稿日期：２０１１－０３—３０　作者简介：宗钟凌（１９７９一），男，博士，讲师，从事土木水利＿Ｔ－程的研究。

　第１Ｏ期　宗钟凌：基于接触问题的桩土相互作用机理　

，　一　Ｘ　Ａ比∞：Ｒ（　，　一Ｆ（ｍ，　’　（１）　

式中：　为结构切线刚度矩阵；Ａ　Ｕ为位移增量矢　

量；Ｒ为参考荷载矢量（包括接触力矢量）；Ｆ为　

内部节点力矢量。右上角标（ｍ，．　）表示增量迭　

代次数为第ｍ增量步第　迭代步。　

假定荷载增量比例系数为Ａ，采用子结构的　思想，把式（１）中的位移增量矢量ＡＵ分解为接　

触面（潜在接触面）位移增量矢量△　和内部节　

点位移增量矢量Ａ　，则式（１）可以分解为：　

［　”　ｒ　

利用自由度凝聚的方法，并将△ｚｆ　在法向及　切向进行分解，进而通过坐标转换可以得到基于　

接触位移的平衡方程：　

Ｊ－Ｄ△　＝一尸　’＋　Ｊ－Ｄ尸　。　＋　

尺　一Ｆ　ｊ－１）Ａｕ７　＝一尸　＋腓ｊ－１）尸　’＋　。’尺　一Ｆ　’　（３）　

（４）　

式中符号的具体意义见文献［５］。　

从式（３）～（４）可以看出，平衡方程中位移增量　

（Ａ　，Ａ　）和接触力（Ｐ　，Ｐ　）均为未知量。　要对上述平衡方程进行求解，还需要补充两个约　

束条件，即接触约束条件和摩擦滑移约束条件。　

２约束条件的增量迭代格式　

定义可能发生接触面上的法向与切向拉格朗　日乘子分别为Ａ　和Ａ　，令：　

△　＝／￣（　ｍｊ’一，１　（５）　

ＡＡＴ；）：　一，１　一”　（６）　法向接触力的增量增广拉格朗日乘子迭代格　式可写成：　

△尺　＝＜△　＋ｋｎ△　＋　＞一　（７）　式中：Ｊ．表示当前加载步内进行接触处理的第　次迭　代；符号＜＞为Ｍａｃａｕｌｅｖ括号，（　）＝专［　＋ｌ　１］；　

△ｇ　为　次迭代间隙向量的法向分量增量。　

切向摩擦滑移法条件取如下形式：　五　：堡二　（８）　ｒ　

式中：　为切向位移增长速率，　为切向接触力　增长速率，，｛　为切向拉格朗日乘子增长速率；　！　二　１２为接触部分的切向接触力相对增长速　

率；。ｃ为罚因子。　采用向前差分法，可以将式（８）表示为：　

ｆ△ｇ广　尚　

其中，　为切向接触刚度，物理意义是引起切向单　

位位移需要施加的切向接触力。　『０　∞≤Ｏ　△　｛　≥０　∞＞０　（　０）　

∞＝Ｉ　Ｐ　ｌ一　Ｊｐ　≤０　（１１）　式（１１）中：　们为切向滑动屈服函数的预测值。　

式（１０）的物理意义为：当接触面的切向接触力　

未达到临界摩擦阻力时，接触面间无相对滑动，　处于粘合状态；当切向接触力邻近摩擦阻力时，　

通过切向罚弹簧的作用使接触面逐步达到滑动状　

态，从而使相对滑动因子逐步趋近精确解。　

当Ｉ△只一△　Ｉ≤￡或△只＝　＝０时，滑动　接触收敛，滑动法则满足。式（９）中的ｐ　ｑ）为真　

实切向接触力在第　迭代步末的一个预测值，可以　

直接表示为增广拉格朗日乘子法的形式：　

Ｐ　＝Ｐ　＋△　＋疋△　（１２）　将式（９）代入式（１２），则得到：　

肛”＋　Ａｇ　Ｊ＿　３　

于是关于切向拉格朗日乘子的相应增量迭代　

格式可写成：　

”＋　Ａｇ　Ｌ　。　Ｉ　…　

从以上推导过程可以看出，上述增量迭代格　

式充分考虑了接触面的物理约束与几何约束条件，　将其与有限元方法结合起来，便于数值计算。　

３实例分析　

结合实际桩基工程，取３根试桩进行现场静　

载检测试验。桩的直径为０．６　ＩＴＩ，总长为２４　１ＴＩ。　为了解每根桩在桩顶荷载作用下的荷载传递情况　

及各土层的侧摩阻力和端阻力，在桩顶、桩端及　

土层分界面处埋设土压力盒与钢筋应变计。基于　水运工程　

本文建立的数值计算方法进行桩土相互作用的计　算。实测土层部分计算参数见表１。　

表１土层计算参数　

数值计算结果与试验实测结果的比较见图１和　

图２。试验实测结果均取３根试桩的测试结果平均　

值，简称实测均值。数值计算结果取计算截面处所　

有节点计算结果的平均值，以下简称为计算值。　

图１为测得桩顶荷载为１　０００　ｋＮ时桩身轴力　

随深度的变化曲线。可以看出桩身轴力沿深度方　向逐渐减小，呈“倒三角锥形”分布，桩身轴力　

上部大于下部。在桩顶荷载作用下，桩身上部　

０～１９．６　ｍ的范围内，淤泥质黏土层桩身轴力变化　

平缓，而在１９．６～２４　ｍ范围内的粉质黏土层，桩身　

轴力传递变快。数值计算结果与实测结果吻合较　

好，且均能反映出桩身轴力变化的特点。　

５　

ｇ　１０　隧　１５　

２０　

２５　图１桩身轴力变化曲线　

图２为桩侧摩阻力随深度变化的情况，可以看　出，桩身上部首先发生弹性压缩，产生土对桩向　

上的侧摩阻力。随着荷载沿桩身自上向下传递，　

桩身侧摩阻力逐渐发挥作用，沿桩身呈非线性分　侧摩阻力／ｋＰａ　０　５　１０　１　２ｎ　２Ｓ　ｎ　Ｓ　４０　４　

图２桩侧摩阻力变化曲线　布。淤泥质黏土层桩侧摩阻力沿桩长呈上大下小　

倒三角形分布，淤泥质黏土层上半段桩侧摩阻力　

较大，到了下半段时桩侧摩阻力显著下降，在桩　

端附近的粉质黏土层，侧摩阻力又显著增加。　

通过上述分析可以知道：轴力随深度的变　化和计算结果规律一致，轴力计算值比实测值　

偏大；桩侧摩阻力的计算值和实测值有一定的偏　

差，但总体趋势吻合较好。　

上述分析表明，计算值和实测值有一定的偏　差，但曲线变化规律基本一致，能够真实反映桩　

土相互作用时荷载的传递规律。　

４结论　

１）桩土相互作用时，桩身侧摩阻力自上而下　

逐渐发挥作用，沿桩身呈非线性分布。　

２）在竖向荷载作用下，桩身轴力沿深度方向　

呈“倒三角锥形”分布，桩身轴力在粉质黏土层　

衰减速度比在淤泥质黏土层中要快。　３）通过对桩顶沉降、轴力和侧摩阻力分布对　

比可以发现，计算值和实测值有一定的差别，但　

是曲线变化趋势基本一致。　

参考文献：　［１］郭小明，赵惠麟．工程结构接触问题的研究及进展…．　东南大学学报，２００３，３３ｆ５）：５７６—５８２．　［２］沈伟跃，赵锡宏．单桩弹性分析法［ＪＩ＿工程力学．１　９９０（３）：　

５２－６４．　［３］吴正平．引入摩擦元模拟桩土共同作用［ＪＩ．南昌航空工　业学院学报，２０００（４）：６３—６８．　［４】齐良锋，简浩，唐丽云．引入接触单元模拟桩土共同作　用［Ｊ１．岩土力学，２００５，２６（１）：１２７—１３０．　［５】宗钟凌，郭小明．板片空间结构稳定分析中的数值计算　模型［Ｊ］．东南大学学报，２００７，３７（６）：１　００８一ｌ　０　１　２．　（本文编辑武亚庆）