0衡水中学物理最经典-物理建模系列(二) 摩擦自锁模型

考点分类：考点分类见下表考点一对称法解决非共面力问题在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类平衡问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性．解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果．考点二摩擦与自锁现象1．力学中有一类现象，当物体的某一物理量满足一定条件时，无论施以多大的力都不可能让它与另一个物体之间发生相对运动，物理上称这种现象为“自锁”．生活中存在大量的自锁现象，例如维修汽车时所用的千斤顶就是根据自锁原理设计的．2．摩擦自锁现象是指当主动力合力的作用线位于摩擦角以内时，无论主动力合力多大，约束力都可与之平衡．摩擦自锁在生活中也大量的存在，并起着相当大的作用．3．最大静摩擦力Ffm与接触面的正压力FN之间的数量关系为Ffm＝μFN.其中，静摩擦系数μ取决于相互接触的两物体表面的材料性质及表面状况．考点三绳(杆)上的“死结”和“活结”模型1．绳模型(1)“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点．“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．(2)“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点．“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线．2．杆模型杆可分为固定杆和活动杆．固定杆的弹力方向不一定沿杆，弹力方向视具体情况而定，活动杆只能起到“拉”和“推”的作用．一般情况下，插入墙中的杆属于固定杆(如甲、乙两图中的杆)，弹力方向不一定沿杆，而用铰链相连的杆属于活动杆(如丙图中的杆)，弹力方向一定沿杆．考点四摩擦力方向与运动方向的关系摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反,但与物体的实际运动方向(以地面为参考系)可能相同,可能相反,也可能不在同一直线上.典例精析★考点一：对称法解决非共面力问题◆典例一：（2018福建质检）课堂上，老师准备了“∟”型光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为A．30°B．45°C．60°D．90°◆典例二：. (2018·河南名校联考)如图所示,三个粗细均匀完全相同的圆木A、B、C堆放在水平地面上,处于静止状态,每个圆木的质量为m,截面的半径为R,三个截面圆心连线构成的等腰三角形的顶角∠O1=120°.若在地面上的两个圆木刚好要滑动,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,不考虑圆木之间的摩擦,重力加速度为g,则()A. 圆木间的弹力为mgB. 下面两个圆木对地面的压力均为1.5mgC. 地面上的每个圆木受到地面的作用力为1.5mgD. 地面与圆木间的动摩擦因数为★考点二：摩擦与自锁现象◆典例一：如图，质量为m的物块静止于斜面上，逐渐增大斜面的倾角θ，直到θ等于某特定值φ时，物块达到“欲动未动”的临界状态，此时的摩擦力为最大静摩擦力，物块m的平衡方程为FN－Gcosφ＝0，Ffm －Gsinφ＝0.又Ffm＝μFN，解得μ＝tanφ，φ称为摩擦角，只与静摩擦系数μ有关．显然，当θ≤φ时，物块保持静止．此时如果在物块上施加竖直方向的压力F，不管F有多大，物块都不会下滑．我们称θ≤φ为物块的自锁条件．这一特性广泛应用于工农业生产和日常生活中．1．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)，设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0.◆典例二：一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾角θ＝45°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN为正压力)求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P 为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x.(1)试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向．(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小．(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？★考点三：绳(杆)上的“死结”和“活结”模型◆典例一：（2018·洛阳联考，单选）城市中的路灯、无轨电车的供电线路等，经常用三角形的结构悬挂。

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(3)滑块以 6 m/s 的速度滑上木板，对滑块和木板受力分析： 滑块受到木板对其向左的摩擦力，设滑块做减速运动的加速度为 a 滑，则 a 滑＝μ2g＝2 m/s2
木板受到滑块对其向右的摩擦力和地面对其向左的摩擦力， 由牛顿第二定律得 μ2mg－μ3(M＋m)g＝Ma 木，
解得 a 木＝1 m/s2 假设滑块在木板上经过时间 t，木板和滑块达到共同速度 v 共 对滑块：x 滑＝vt－12a 滑 t2，v 共＝v－a 滑 t 对木板：x 木＝12a 木 t2，v 共＝a 木 t 则木板长度 L＝x 滑－x 木 12代/8/2入021 数据得：L＝6 m。[答案] (1)4 m (2)36 J (3)6 m
[典例][多选]如图所示，小物块与三块
材料不同但厚度相同的薄板间的动摩擦因
数分别为 μ、2μ 和 3μ，三块薄板长度均为 L，并依次连在一起。
第一次将三块薄板固定在水平地面上，让小物块以一定的水平初速
度 v0 从 a 点滑上第一块薄板，结果小物块恰好滑到第三块薄板的 最右端 d 点停下；第二次将三块薄板仍固定在水平地面上，让小物
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解析：(1)欲将长板从小滑块下抽出，则这两者间必存在相对运动 对滑块，由牛顿第二定律可知，加速度a＝μ2g 对长板，由牛顿第二定律可知，
Fmin－μ1(m＋M)g－μ2mg＝Ma 解得：Fmin＝9 N，即恒力F应满足的条件为F>9 N。 (2)当F1＝17 N>9 N，则滑块相对于长板发生相对滑动 对长板有：F1－μ1(M＋m)g－μ2mg＝Ma1 解得：a1＝6 m/s2 滑块的加速度：a2＝μ2g＝2 m/s2 滑块与长板分离时，有12a1t12－12a2t12＝L 解得：t1＝0.5 s 设滑块离开长板瞬间，长板与滑块的速度分别为v1、v2。则有： v1＝a1t1＝3 m/s v2＝12a/8/22t012＝1 1 m/s。

高三物理建模典型习题课题«培养学生用“物理建模”提高解题效率》的建模典型习题集高三物理建模典型习题集一、物理模型概述：物理模型是一种理想化的物理形态，指物理对象也可以指物理过程，或是运动形式等．它是物理知识的一种直观表现．利用抽象、理想化、简化、类比等手法把研究对象的本质特征抽象出来，构成一个概念、实物、或运动过程的体系，即形成模型．中学物理中的物理模型主要有四种：①对象模型：如质点、弹簧振子、点电荷、理想电表等．②条件模型：如光滑面、绝热容器、匀强电场、匀强磁场等．③过程模型：如自由落体运动、弹性碰撞；稳恒电流、等幅振荡等．④结构模型：如原子的核式结构模型、氢原子模型等．分析论述计算题的过程就是构建物理模型的过程，我们通常解题时应“明确物理过程”、“在头脑中建立一幅清晰的物理图景”．二、典型习题归纳(1)“等时圆”模型物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，像这样的竖直圆我们简称为“等时圆” ．如图甲．推论：物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等．如图乙．典例1】如图所示，甲乙位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于 M 点，与竖直墙相切于 A 点， 竖直墙上另一点 B 与 M 的连线和水平面的夹角为 60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同 一时刻， a 、b 两球分别由 A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到 M 点；c 球 由 C 点自由下落到 M 点．则 （ ） ．A ．a 球最先到达 M 点B ．b 球最先到达 M 点C ．c 球最先到达 M 点D ．c 、a 、b 三球依次先后到达 M 点图 AB 是一个倾角为 θ的输送带， P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在 P 与 AB 输 送带间建立一管道 （假设其光滑 ），使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上， 则管道与 竖直方向的夹角应为多大？ 解析 借助“等时圆”理论，可以过 P 点作圆，要求该圆与输送带 AB 相切．如图所示，C 为切点， O 为圆心， PO 为竖直方向的半径．显然，沿着 PC 弦建立管道，原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 “等时圆 的圆周上所用时间相等．因而，要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着θ PC 弦建立管道．由几何关系可得： PC 与竖直方向间的夹角等于 2.2、.小船渡河模型（1）模型概述 在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一解析 设圆轨道半径为 R ，据“等时圆 ”理论，t a ＝ >t a ，c 球做自由落体运动 t c ＝2R g ；所以，有 t c <t a <t b .C 、D典例 2】 如图所示，；B 点在圆t 4R 4g R ＝ 2个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变方向在180°范围内（不变的速度所在直线的一侧）变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．（2）模型特点①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．②三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水的流速）、v（船的实际速度）．③三种情景a．过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝v d（d 为河宽）．b．过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸，航程最短，x 短＝d.c.过河路径最短（v2>v1 时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图414所示，以v2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：sin θ＝v，最短航程：x 短＝d＝v d.v2 sin θ v1典例1】如图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）．m/s m/sC．2 m/s D ．4 m/s如图选取临界情况进行研究，假设小船刚好避开危险区沿直线到达对岸 B 点处，根据3. 双星模型1.模型概述 ：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两 者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．2．模型特点 ：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在 m 1、m 2 两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的， 所以两颗行星的运行周期及角速度相等．(3) 由于圆心在两颗行星的连线上，所以 r 1＋r 2＝ L.【典例 1】 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”， 它们以二者连线上的某一点为 圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为 m 1和 m 2，两者相距 L ，试写出它们角速度的表达式．解析 (1)证明 两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度 ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供， 所以两天体与它们的圆心总是在一条直解析 运动的合成与分解可知，当船速的方向与 AB 垂直时，船速最小， tan 100 θ＝100 3 ＝3 ＝3θ＝ 30°，故v 船＝ v 水 sin θ＝4×21 m/s ＝ 2 m/s.线设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出 G m L 1m 2 2＝ m 1ω2R 1① G m L 1m 2 2＝m 2ω2R 2②R 1 m 2 v 1 R1ω R 1 m 2所以R R 2＝m m 1，所以v v21＝R2ω＝R R 2＝m m 1，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．【 典例 2】(2010 ·重庆理综， 16)月球与地球质量之比约为 1∶80.有研究者认为月球和 地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点 O 做匀速圆周 运动．据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为 ( )．A ．12＝ mωr 2， 4. 机车的启动模型(1) 模型概述物体在牵引力 (受功率和速度制约 )作用下，从静止开始克服一定的阻力，最后达到最大 速度的整个加速过程，可看作“机车的启动”模型．(2) 模型特点 “机车启动”模型可分为两种情况． ①恒定功率启动．机车先做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速，其 v--t 图线如 所示．m 1＋m 2(2)由①② 两式相加得 G L 2＝ω2 (R 1＋R 2)，因为R 1＋ R 2＝L ，所以 ω6 400 B ．1∶80 C ．80∶1 D ．6 400∶1 解析双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得 M v r1＝m v r2 ，Mω2r 1 联立得 v v 21＝ M m ＝810，故 C 项正确．②恒定加速度启动．机车先做匀加速运动，再做加速度逐渐减小的变加速运动，最后匀速，其v-- t 图线如图所示．【典例】 (2009·四川理综 )如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质 量 m ＝ 5× 103kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动， 加速度 a ＝ 0.2 m/s 2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物 做 v m ＝1.02 m/s 的匀速运动．取 g ＝10 m/s 2，不计额外功．求：(1)起重机允许输出的最大功率；(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第 2 秒末的输出功率．解析 (1)设起重机允许输出的最大功率为 P 0，重物达到最大速度时，拉力 F 0 的大小等 于重力． P 0＝F 0v m ①F 0＝mg ②代入数据，有： P 0＝5.1× 104W ③(2) 匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为速度为 v 1，匀加速运动经历时间为 t 1，有：P 0＝Fv 1④ F －mg ＝ ma ⑤ v 1＝ at 1⑥由③④⑤⑥ ，代入数据，得： t 1＝5 s ⑦当时间为 t ＝2 s 时，重物处于匀加速运动阶段， 设此时速度的大小为 v 2，输出功率为 则 v 2＝at ⑧P ＝Fv 2⑨由⑤⑧⑨ ，代入数据，得： P ＝2.04× 104W.5. 传送带模型 (1) 模型概述F ，P ，一个物体以速度v 0(v0≥ 0)在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做“传送带”模型，如图 (a)、(b)、 (c)所示．(2) 模型特点物体在传送带上运动时，往往会牵涉到摩擦力的突变和相对运动问题．当物体与传送 带相对静止时，物体与传送带间可能存在静摩擦力也可能不存在摩擦力．当物体与传 送带相对滑动时，物体与传送带间有滑动摩擦力，这时物体与传送带间会有相对滑动 的位移．．【典例 1】 水平传送带 AB 以 v ＝200 cm/s 的速度匀速运动，如图 339所示， A 、B 相 距 0.011 km ，一物体 (可视为质点 ) 从 A 点由静止释放，物体与传送带间的动摩擦因数 μ ＝0.2，则物体从 A 沿传送带运动到 B 所需的时间为多少？(g ＝10 m/s 2)解析统一单位： v ＝200 cm/s ＝ 2 m/s ， x ＝ 0.011 km ＝11 m ．开始时，物体受的摩擦力为 F f＝μmg ，由牛顿第二定律得物体的加速度设经时间 t 物体速度达到 2 m/s ，由 v ＝ at 得： v2 t 1＝ ＝ s ＝1 s. a211 此时间内的位移为： x 1＝2at 12＝2× 2× 12m ＝ 1 m<11 m. 此后物体做匀速运动，所用时间：x －x 1 11－1s ＝5 s. a ＝ F f m μg＝ 0.2× 10 m/s 2＝2 m/s 2.t 2＝故所求时间t＝t1＋t2＝1 s＋5 s＝6 s.典例2】传送带与水平面夹角为37皮带以12 m/s 的速率沿顺时针方向转动，如图所示．今在传送带上端A 处无初速度地放上一个质量为m的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为0.75，若传送带A 到B 的长度为24 m，g取10 m/s2，则小物块从A 运动到B 的时间为多少？解析小物块无初速度放在传送带上时，所受摩擦力为滑动摩擦力，方向沿斜面向下，对小物块用牛顿第二定律得mgsin θ＋μ mgcos θ＝ma 解得a＝12 m/s2设小物块加速到12 m/s 运动的距离为x1，所用时间为t1由v2－0＝2ax1得x1＝6 m由v ＝at1 得t1＝1 s当小物块的速度加速到12 m/s 时，因mgsin θ＝μ mcgos θ，小物块受到的摩擦力由原来的滑动摩擦力突变为静摩擦力，而且此时刚好为最大静摩擦力，小物块此后随皮带一起做匀速运动．设AB 间的距离为L，则L－x1＝vt2解得t2＝1.5 s从A 到B 的时间t＝t1＋t2解得t＝2.5 s.6.类平抛模型(1)模型概述有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统可看作“类平抛”模型．(2)处理方法首先，利用类平抛运动的特点判断物体的运动是否为类平抛运动；其次，在解决此类问题时，方法完全等同于平抛运动的处理方法，即将类平抛运动分解为两个互相垂直且相互独立的分运动，然后按运动的合成与分解的方法来求解．7.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型(1)模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一 是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等 )，称为“绳 (环)约束模型”，二是 有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等 )，称为“杆 (管道)约束模型”． (2)临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下：轻绳模型(4) 当 v > gr时， v 2F N ＋mg ＝m r ，F N 指向 圆心并随 v 的增大而增 大8. 机械能守恒定律应用中的几种模型机械能守恒定律属于高考的高频考点，在实际问题中我们如果能正确建立几种典型 的机械能守恒的模型．将有利于对此类问题的分析和解决． (1)轻连绳模型此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐含条件．轻杆模型常见 类型过最高 点的临 界条v 2 由 mg ＝ m v r得 v 临＝ gr由小球能运动即可得讨论 分析(1)过最高点时， v 2 v ≥ gr ，F N ＋mg ＝m vr ， 绳、轨道对球产生弹力 F N (2)不能过最高点 v < gr ，在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道(1)当 v ＝0 时， F N＝mg ， F N 为支持力，沿半径背离 圆心(2)当 0< v < gr 时，－F N v 2＋mg ＝m v r，F N 背向圆 心，随 v 的增大而减小(3) 当 v ＝ gr 时， F N【典例1】如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物M 和m ，且M >m，不计摩擦，系体统由静止开始运动过程中( )．A．M、m 各自的机械能分别守恒B．M 减少的机械能等于m 增加的机械能C．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能D．M 和m 组成的系统机械能守恒解析M 下落过程中，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能减少；m 上升过程，绳的拉力对m 做正功，m 的机械能增加，A 错误；对M、m 组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M 减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m 的动能，所以C 错误．(2)轻连杆模型这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．【典例2】质量分别为m和M(其中M＝2m)的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O 处有一个固定转轴，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是( ) ．A．Q 球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒B．P球的重力势能、动能都增加，P 球和地球组成的系统机械能不守恒C.P 球、Q 球和地球组成的系统机械能守恒D．P 球、Q 球和地球组成的系统机械能不守恒解析Q 球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q球运动的阻力(重力是动力)，对Q 球做负功；P 球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力(重力是阻力)，对P球做正功．所以，由功能关系可以判断，在Q球下摆过程中，P 球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q 球重力势能减少、机械能减少；由于P 球和Q 球整体只有重力做功，所以系统机械能守恒．本题的正确答案是B、C.答案BC(3)轻弹簧模型此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒，不同的过程中弹性势能的变化一般是相同的．【典例3】如图所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动卸货装置将质量m ＝2 kg 的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；(2)满足设计要求的木箱质量．解析(1)设木箱质量为m′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：m′gsin 37°＋μm′gcos 37°＝m′a代入数据解得：a＝8 m/s2.(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L ，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为E p，根据能量守恒定律：货物和木箱下滑过程中有：(m′＋ m)gLsin 37°＝μ(m′＋m)gLcos 37°＋E p木箱上滑过程中有E p＝m′gLsin 37°＋μm′gL cos 37°联立代入数据解得：m′＝m＝2 kg.。

2m
最大动能Ekm
B2 R2 q 2m
加速次数Ekm NUq
运动时间t BR2
2U
霍尔效应（霍尔元件）
电子导电
霍尔电势差U BI nqd
B nqdU I
电磁感 应
导体棒转动切 割
E 1 BL2 BL 1（0 L） BLv
2
2
法拉第圆盘发电机
单棒切割——电 阻
这是另类匀变速运动！——速度随位移均匀变化。
v m1 m2 v
1
v2
m1 m2 2m1
m1 m2
1
v1
弹性碰撞（2）
m1v1 m2v2 m1v'1 m2 v'2
1 2
m1v12
1 2
m
2
v22
1 2
m1v'12
1 2
m2v'
2 2
v'1
v'
2
m1 m2
m2 v1 2m2v2
m1 m2
m1 v2 2m1v1
m1 m2
等量同种电 荷
不等量的异种电 荷
d E
dx
x
平行板电容 器
E 4kQ r S
C S
（插入金属板）
4k(d x)
带电粒子的加速与偏
转
加速：
U 1q
1 2
mv12
偏转
y UqL2 2dmv12
tan UqL
mdv12
先加速后偏转： y U2L2 4dU1
示波器的灵敏 度
PK 电流计的灵敏 度
y L2 U2 4dU1
NBS
I k
等效重力 场
等效最低点——A