全等三角形综合能力提升训练

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2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错

【典型例题】

1．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC,BC=12厘米，点D为AB上一点且BD=8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）用含t的式子表示PC的长为 ；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当2t时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？

【答案】

解:(1) 由题意得出：122BCBPt，

122PCBCBPt，

故答案为：122cmt

(2)当2t时，224BPCQ厘米，

8BD厘米． 2

又,12PCBCBPBC厘米，

1248PC厘米，

PCBD，

又ABAC，

BC，

在BPD△和CQP中，

BDPCBCBPCQ，

BPDCQPSAS≌;

③PQvv，

BPCQ，

又,BPDCPQBC≌，

6cm,8cmBPPCCQBD，

∴点P，点Q运动的时间6322PBt秒，

83QCQVt厘米/秒．

即点Q的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．

【点睛】

本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，但是有3

一定的难度．

【专题训练】

一、填空题

1．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等． 4

三角形全等、相似及综合应用模型 题型解读｜模型构建｜通关试练

三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，

三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特

征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小

题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE）

∠ADB=∠ADC=90° BD=CD

S△ABD=S△ADC

C∆ACD−C∆ABD=AC−AB ∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC AD=DB AE=EC

DE=12 BC DE∥BC 模型02 与三角形有关的角的应用

（1）三角形的内角：

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平

行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

（2）三角形的外角：

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

全等三角形判定方法综合运用教学设计

全等三角形判定方法是初中数学教学中的重点内容，它不仅考验学生对几何图形的理解能力，还锻炼了学生的逻辑推理和综合运用能力。以下是一份综合运用全等三角形判定方法的教学设计。

一、教学目标

1.让学生掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。

2.培养学生运用全等三角形判定方法解决实际问题的能力。

3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容

1.全等三角形的判定方法：

- SSS（Side-Side-Side）：三边分别相等的两个三角形全等。

- SAS（Side-Angle-Side）：两边和夹角分别相等的两个三角形全等。

- ASA（Angle-Side-Angle）：两角和一边分别相等的两个三角形全等。

- AAS（Angle-Angle-Side）：两角和非夹角边分别相等的两个三角形全等。

- HL（Hypotenuse-Leg）：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等。

2.实际问题中的应用。

三、教学过程

1.导入： 通过复习全等三角形的定义，引导学生思考如何判定两个三角形全等。

2.基本概念：

介绍全等三角形的判定方法，引导学生理解每种方法的含义。

3.例题讲解：

选取典型例题，讲解如何运用全等三角形的判定方法解决问题。

例如：已知AC=BC，∠BAC=∠ABC，AB=CD，证明：△ABC≌△CDA。

4.练习：

让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

例如：已知△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：△ABD≌△ACE。

5.小组讨论：

将学生分成小组，讨论以下问题：

- 什么情况下可以使用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定全等三角形？

- 在实际问题中，如何选择合适的判定方法？

6.总结：

三角形全等的判定

总课题 全等三角形 总课时数 第 13 课时

课 题 三角形全等的判定〔综合探究〕 主 备 人 课型 新授

时 间

教

学

目

标 1．理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．

2．经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．

3．培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．

教学

重点 运用四个判定三角形全等的方法．

教学

难点

正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法〞进行表达．

教学

过程 教 学 内 容

一、回忆反思

【课堂演练】

1．△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C•′的度数与AB的长．

【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．

【学生活动】先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．

解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

∴∠C=180°-〔∠A+∠B〕=99°

∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，

∴∠C′=99°，

∴AB=A′B′=5cm．

【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．

2．：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．

求证：∠B=∠C．

【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的方法有：〔1〕两直线平行，同位角或内错角相等；〔2〕全等三角形对应角相等；〔3〕等腰三角形两底角相等〔待学〕．

根据此题的图形，应考虑去证明三角形全等，由条件，可知AD=AE，∠1=•∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，那么可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD〔对顶角〕，∠BEO=∠CDO〔等角的补角相等〕，那么可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD•之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．