2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学试题及答案
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2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试和详细答案
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项:
参考公式：锥体的体积公式：13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高，
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.函数1fxx的定义域为( A)
A．1, B．,1 C．1, D．,1
2.集合{a,b,c}的子集个数是( D)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.已知数列na满足111,nnaaan，则3a的值为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：∵111,nnaaan，∴令n=1，1111112aa，令n=2，2122224aa.
4.经过点（3,0）且与直线250xy平行的直线方程为（ D ）
A. 230xy B. 230xy
C. 260xy D. 260xy
5. 函数sin2yx的一个单调区间是（ A ）
A．,44 B．,22 C．3,44 D．3,22
6.做一个体积为32m3，高为2m的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ B ）
A. 64m2 B. 48m2 C. 32m2 D. 16m2
7. 已知变量xy,满足约束条件201010xyxyy,,.则目标函数2zyx的最小值为（ A ）
A．5 B．4 C．3
D．2
8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ C ）
A．2 B．4 C．8 D．16
图1x=1,y=1x=x+1,y=2y是否x≤3?输出y结束开始2
9.关于x的不等式2220xaxa 的解集中的一个元素为1，则实数a的取值范围是（ B ）
A. ,12, B.（-1,2）
C. 1,1,2 D. （-1,12）
解：关于x的不等式2220xaxa 的解集中的一个元素为1，所以2120faa，220aa，-1
10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a） (a<0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ B ）
A.13 B. 12 C. 1 D. 32
10.解：这个四面体是图中的O-MNP，又以xOz平面为投影面得到正视图是如图阴影的四边形ONQP，它的面积为2，所以
111112,22a解得3a。
四面体的体积是（M-OPN）(△OPN是底面，MQ是高)
=1111111332ODASOD=1131132
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11.在△ABC中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则sin∠BAC的值为24.
12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 乙 .（填“甲”或“乙”）
13.已知向量(1,2),(3,4),ABAC则BC （2,2） .
14.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]，0x是函数21logfxxx的零点，则g(0x)的值等于 1 .
14解：函数21logfxxx的零点0x是方程2211log0,logxxxx即的解，即函数21log,yxyx与
交点的横坐标。画出函数21log,yxyx与图像，可见1<0x<2，1<0x<2，又[x]表示不超过实数x的最大整数，g(0x)=[0x]=1. 8 0
4 6 3 1 2 5
3 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 9 4 4 9 1 5 0乙甲图2y=log2xy=1xx0121yx0zyo(0,0,0)xD1N(0,0,a)QC1B1P(1,0,1)ABCM(1,1,0)3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.
15.（本小题满分12分）
某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm），得到频率分布表如下：
身高 155,160 160,165 165,170 170,175 175,180
频率 男 0.01 0.10 0.25 0.25 0.09
女 0.05 0.10 0.10 0.04
0.01
（1）试估计高一年级新生中身高在175,180上的学生人数；
（2）从样本中身高在区间170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间175,180上的概率.
解（1）∵样本中身高在175,180上的学生人数等于100（0.25+0.04+0.09+0.01）=39人，
∴估计高一年级新生中身高在175,180上的学生人数是391000100=390人，
（2）样本中身高在区间170,180上的女生有100（0.04+0.01）=5人，分别记为1,2,3,4，其中身高在区间175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5.
从这5人中选2人有10种不同选法。
其中恰好有一名身高在区间175,180上有4中，
所以恰好有一名身高在区间175,180上的概率是42105P。
16. （本小题满分12分）
已知函数()sincos,6fxxxxR.
（1）求(0)f的值；
（2）若是第四象限角，且133f，求tan的值.
解（1）11(0)sincos01622f，
2 3 4 5 145 4 5323 4 5453525514
（2）∵1sincos3633f，
即31131sincoscossincos22223，
又是第四象限角，所以222sinsin1cos,tan223cos。
17. （本小题满分14分）
如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1D1,A1A的中点。
（1）求证：1//BC平面CEF；
（2）在棱11AB上是否存在点G，使得EGCE？若存在，求1AG的长度；若不存在，说明理由。
证明：（1）连接AD1，∵AB//C1D1,∴ABC1D1是平行四边形，所以11//BCAD，又E,F分别是A1D1,A1A的中点，所以1//EFAD，
所以1//BCEF，又BC1在平面CEF外，EF在平面CEF内，所以1//BC平面CEF。
（2）设在棱11AB上是否存在点G，使得EGCE，记1AG=x，
以A1为坐标原点，A1B1为x轴，A1D1为y轴建立坐标系，则C1（1,1），E(0，12),G(x,0),若1EGCE，则11EGCEkk，1111221,104xx，当1AG=14时，有1EGCE。又CC1平面A1B1C1D1，EG在平面A1B1C1D1内，所以CC1EG，又CC1与1CE相交于点C1，
CC1与1CE都在平面1CCE内， 所以EG平面1CCE，又CE在平面1CCE内，所以EGCE。所以当1AG=14时，有EGCE。
图3DCBAA1B1C1D1EFyxD1C1A1B1EGG图3FEB1ABCDA1C1D15
18. （本小题满分14分）
,已知直线:lykx与圆221:11Cxy相交于A,B两点，圆2C与圆1C相外切，且与直线l相切于点3,3M。
（1）求k的值；
（2）求AB的长；
（3）求圆2C的方程。
解：（1）直线:lykx经过点3,3M，所以333,3kk。
（2）圆221:11Cxy的圆心为C1（1,0），半径为1，直线3:,303lyxxy，
点C1（1,0）到直线l的距离等于12d，所以22213ABd。
（3）方法1：过点M作与直线l垂直的直线/l，它的方程是333yx，即343yx
设圆2C的圆心2C,343aa，又C1（1,0），圆2C与圆1C相外切，且与直线l相切于点3,3M。所以1221CCMC,
即22221343133433aaaa，解得14a或20a，
对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,43），半径为6；
所以圆2C的方程为2244xy或224336xy。
方法2：设圆2C的方程为2220xaybrr
则12221CCrMCrlMC，即222211..............(1)33........(2)331......................(3)33abrabrba， lC221PNC2C1xBAOyHM6
由（3）解得343ba代入（2）得到2233433raa
再把b和r代入（1）22221343133433aaaa，
解得14a或20a，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,43），半径为6；
所以圆2C的方程为2244xy或224336xy。
方法3：当圆2C在直线l的下方时，过点M作与直线l垂直的直线/l，过 1C作直线l的平行线与直线/l相交于点P，设圆2C的半径为r。∵C1（1,0），圆2C与圆1C相外切，且与直线l相切于点3,3M，∴23OM，
