数学分析教程(上册) 常庚哲 史济怀 习题解答 1.1-3.4

《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。

六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。

区间与邻域，有界集与确界原理。

函数概念,函数的表示法。

函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。

具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章数列极限（一）考核内容数列。

数列极限的定义,无穷小数列。

收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。

子列及子列定理。

4.2 练习答案 3、求切线与法线。 1）2ln(1)arctanxtytt 01t

解：00

()(0,1)

4xy

2002

11

111

2

1

dndydttttdxtdxdft



 12

所以切线 11

24yx



法线 214yx

2）2lncot1tancotxtytt 04

t

解：00

()(1,2)xy

220002

seccsc0

csc44

2

cot

dydyttdtxxttdxtdxdtt



切线 2y 法线 1x

3）2323

2121

ttx

t

tty

t













01t

解。00

31(,)(,)

22xy

322320322

32

(22)(1)(2)3(1)011

(22)(1)(2)3

(1)

tttttdy

dyt

dt

xttt

dxtttttdx

dtt =-3 切线： 313()22yx

法线： 131()

322yx

4、求下列函数在点M00(,()xfx处的切线方程 1)411xyxx,01x 解：00

()(1,0)xy

430421

(1)(1)45()1

(1)2xxxxyxx





切线 5(1)2yx

2)23

xyx

,01x

解：00

1(,)(1,)

2xy

22

02

23

323

()1

38

xxxxyxxx





所以切线：31(1)

82yx

3）1arcsin2xy，01x

解：00

()(1,0)xy

02

1

112

()

2(1)

1

4xyxx





,

所以切线为：1(1)

2yx

解：140500t

tg

140arctan500t 令140500t , 0500140t 0002

140500()0.14

1401()

500tttttt





6、解：深为12时时间为t，取,t则

2.7 对于教学的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 实数系的基础定理
37
3.1 确界的概念和确界的存在定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 单调数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Cauchy 命题与 Stolz 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.6 数列的上极限和下极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 对于教学的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Cauchy 收敛准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 两个重要极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

141
27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.
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< 1 (x12 + x1+ 1) | x n 1 | ,极限为 1. 7 n n n 14. 由平均不等式, 1 kak n !( ak )1 / n . n k 1 k 1 15. 由 F (1, y) = ½ f (y 1) = ½ y2 y + 5 得 f (t ) = t + 9, 故 xn+1 =