第二章 函数
§1 函数概念
1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-；
(2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121；
(3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到
y x y x -≤-，
在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即
y x y x --≥-，
由此即得，y x y x -≥-．
（2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当
1+=k n 时，有
1
211211
21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
有数学归纳法原理，原不等式成立．
（3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证
b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111．
证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得，
)1()()1(b a b a b a b a +++≤+++，
即
b
b a
a b
a b b
a a b
a b a b
a b a ++
+≤
+++
++=
+++≤
+++111111．
3．求证
2
2),max (b
a b a b a -++=
； 2
2),min(b
a b a b a --+=．
证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有
22),max (b a b a a b a -++==，2
2),min(b
a b a b b a --+==，
若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有
22),max (b a b a b b a -++=
=，2
2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立．
4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积
)(θs ，并求其定义域．
解 θθsin 2
1
)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数
的定义域．
解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为4
2
2
x r r -='，因而体积
)4
(2
2
2
x r x x r V -='=ππ，
定义域为开区间)2,0(r ．
6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形．
解 设路程为x ，票价为y ，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<≤<≤<=．2015,5.2,155,2,50,1x x x y
函数图形见右图．
7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别
有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形．
解 ⎩⎨
⎧≤<-≤≤=．
2010,240,100,
2)(t t t t t f
函数图形如右图所示．
8．判别下列函数的奇偶性：
（1）12
)(24
-+=x x x f ； （2）x x x f sin )(+=； （3）2
2)(x e x x f -=；
（4）)1lg()(2x x x f ++=．
解（1）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有
)(12
1)(2)()(242
4x f x x x x x f =-+=--+-=-，
即得12
)(24
-+=x x x f 是偶函数． （2）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有
)()sin (sin )sin()()(x f x x x x x x x f -=+-=--=-+-=-，
因此，x x x f sin )(+=是奇函数．
（3）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有
)()()(2
22)(2x f e x e x x f x x ==-=----，
即2
2)(x e x x f -=是偶函数．
（4）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有
，
)()1lg(11lg
)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-
因此，)1lg()(2x x x f ++=是奇函数．
