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Lorenz系统的非线性动力学行为及仿真

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2019年3月 第40卷第3期计算机工程与设计COMPUTER ENGINEERING AND DESIGNMar. 2019 Vol. 40 No. 3

Lorenz系统的非线性动力学行为及仿真刘绍刚#，李艳平2(1.滇西科技师范学院信息工程学院，云南临沧677000&2.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710119)摘要：针对非线性动力学行为的特点，利用计算机仿真技术，应用数学微分方程理论以及Matlab软件对超混沌类Lorenz 系统的非线性动力学行为及其计算机仿真情况展开具体分析与探索，包括Lorenz系统数学模型及其吸引子、Lyapunov指 数和维数、时序波形、功率谱、Poincare映射，以及Lorenz平衡点等。结合3种情况对超混沌类Lorenz系统的计算机仿真 进行分析，整体研究成果为同步加密通信工程应用、混沌控制等提供了一定理论依据和实践支持，具有积极的理论与实 践意义。关键词：超混沌；Lorenz系统；非线性动力学行为；计算机仿真；Lorenz平衡点 中图法分类号！ TP391.9 文献标识号：A 文章编号$ 1000-7024 (2019) 03-0807-05doi： 10. 16208/；. issnl000-7024. 2019. 03. 035

Nonlinear dynamical behavior and simulation of Lorenz systemsLIU Shao-gang1 & LI Yan-Ping2

(1. School ff Information Science and Engineering, West Yunnan University, Lincang 677000, CMathematics and Information Science，Shaanxi Normal University, Xi’an 710119，China)

Abstract： According to the characteristics of nonlinear dynamic behavior, the nonlinear dynamic behavior of hyper chaotic Lorenz system and its computer simulation were analyzed and probed with computer simulation technology，thedifferential equation and Matlab software, including Lorenz system mathematical model and its attractor, Lyapunov exponent and dimension, time series waveform，power spectrum，Poincare mapping，Lorenz balance point and so on. The computer simulation of the hyperchaotic Lorenz system was analyzed by combining three cases. The overall research results provide some theoretical basis and practical support for the application of synchronous encrypted communication and the control of chaos, tt has positive theoretical and practical significance.Key words： hyperchaos； Lorenz system； nonlinear dynamical behavior； computer simulation； Lorenz equilibrium point

/引言对混沌现象进行研究可以通过Lorenz系统人手。E. N.

Lorenz是著名的气象学家，其在简单的数学模型当中发现

了 “混沌”现象，该现象被成为“蝴蝶效应*其中的蝴蝶 混沌吸引子被首次发现以后，不断衍生新的混沌吸引子， 随之出现的混沌系统越来越丰富，每一个新混沌系统的出 现均能够增强人们在混沌现象方面的认知，且在众学者不 断深人研究的情况下，混沌理论逐渐得到了广泛的应用。 虽然现阶段我国学者已经在超混沌系统构造的必要性以及

具体构造方面展开了一定研究，并且官国荣等在其研究中 探索了一种改进的高性能Lorenz系统构造及其应用，通过 增加Lorenz系统控制参数、采用微分动力系统深人探究、 对Lorenz系统产生的随机序列进行分析，明确了改进的 Lorenz系统具有更高的安全性，可以在图像加密方面得到 更加广泛的应用[1]，但是并未系统且详细地分析超混沌类 Lorenz系统非线性动力学行为以及计算机仿真的探索。鉴

于此，本文积极借鉴了徐鸿鹏等的相关研究成果，包括利 用Matlab软件和数学微分方程理论进行分析，通过定量与定 性分析法进行Lorenz系统时序波形、功率谱及Poincare映射

收稿日期：2017-10-25；修订日期：2018-01-19

基金项目：国家自然科学基金项目（61402275)；云南省教育厅科学研究基金指导性基金项目（2016ZDX159)；陕西省自然科学基础研究计 划基金项目（2016JM6069)

作者简介：刘绍刚（1984-)，男，云南临沧人，副教授，CCF会员，研究方向为智能信息处理技术、移动网络信息安全；李艳平（1978 -)， 女，山西吕梁人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为密码学及其应用。E-mail: 285624586@qq.com• 808 •计算机工程与设计2019 年

的探索等，获取了比较丰富的理论支持，认为必须要深入研 究超 Lorenz. 性动力学行为及，以便推动超 Loenz系统在多个领域的进一步应用，为人们生产与生活的各个领域作出更大科学与技术贡献。

1非线性动力学行为和计算机仿真概述1. 1非线性动力学行为概述非线性动力学主要是指研究非线性动力系统中各种运 动状态的定性规律和定量规律。所谓动力 ，一般是指能够随着 产生变化的生物 、化学 、物、工程 、地质 ，若 的变化均，采用代数方程、偏微方程、 方程 性方程加 ，则该部分 被称为 性动力 。学 性动力学行为加以理解，首先需要 ， 要 性或者必然性 产生的一种随机性或者偶然性的行为。 及 律加以分析发现，其能够为自然界当中存在的诸多不规则 及随机现象提供启示，具有深远且重大的理论意义。非线性动 力学行为所研究的化学 力学当中存在的 时间与空间物理概念加以冲破，并且对拉普拉斯的确定论式可预 性规律产生的 予以冲破，从该方 说，化学被称为二十世纪物理学的第 重大变革。性动力学所研究的化学 加以分析后发现，混沌具备 ，第一，在 有的 条件下，动力学某些参量值均会产生 期性的过程#第二，动力学某些参量 条件具有 性和依赖性。1.2计算机仿真概述所谓计算机仿真，主要应用电子计算机对系统的功能、 结构、行为等联合，能够参与 的人的行为、思维程， 模仿具有动态性和逼 果。具体而言，计算机仿真技术能够将相应领域的专业技术，相似领域的 、技术和信息技术作为基础，将多种物 应设备以及计算机作为工具， 模型 的或者实际的展 验研究，从该方 为计算机 技术属一种综合性技术2。目前，计算机仿真技术凭借其安全，经济，不受时间、 地点、气候影响，可重 应用优势已经成为了科学实验与 推导的重要 ，在工业、国防等诸多生产生活领的现在高科技装备论证、研制、生产、使用与维护过程 均有所应用。同时，计算机 业已经成为了具有一定模，能够代表国家科研核心竞争能力及关键技术的重要 产业， 计算机 仍旧具有较强的发展潜力。

2超混U类Lorenz系统非线性动力学行为2 1 Lorenz系统数学模型及其吸引子超混沌类Loenz系统的数学模型可以通过数学方程进

行表达，该方程具体如下所示M " a(y — x)

P = cx — y — 2xzz " 2M — bz . u = xy 1 yz从上述数学模型当中 发现，状态变量主要为M，y，z，x，u) $ R5，系统实参数为j，b，c，d。根据该方程 进行系统实参数的设置，令10，b" 8/3，c" 28, =2,此时会 超 Loenz系统的 的时间平均散度，即

⑵因平均散度小于0,可以明确Loenz系统属于耗散的 非线性动力 ，研究其 发现，其 会随着不断 ，最终 一个不变的吸弓中[3,。该 的 其 为（0.1，0.4,0.1，0.1，0.1)，此时Loenz系统根据数据模型$)所形 成的吸引子轨线相图如图1所示。

图1吸引子轨线相图2.2 Lorenz系统Lyapunov指数和维数进行Loenz 性动力学行为分析的过程中，需要对Lorenz系统的Lyapunov指数和维数进行计算与明确。首先，通 的 Loenz系统指数计算共得到了 5个Lyapunov指数，分别用Ai到As表示，其中 ^ = 1. 863，A2] 0.043589，A3] — 0.73393，A4]— 4. 6126,

As] —12. 1176。在上述Lyapunov指数当中，A1和A2的数值 均明显大于0，代表Lorenz系统处于超混沛状态。其次，在计算并明确Lorenz系统Lyapunov维数时需 要应用Kaplan-Yorke猜想，最终所获得的Lyapunov维数 如示

认"21 IAhahAu "2 I_____1. 8639 10. 043589____ — . 192 $)21 0.7339314.6126112.1176 " 2 1U92 3

从Lyapunov维数亦可以发现，该Loenz系统始终处于混沛状态。2. 3超混沛态系统的时序波形、功率谱及Poincare映射首先，就超混沌态Loenz系统的时序波形而言。对混

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洛伦兹系统方程迭代

洛伦兹系统方程迭代

洛伦兹系统方程迭代洛伦兹系统是一组非线性的微分方程，描述了一个混沌系统。

洛伦兹系统的方程是由爱德华·洛伦兹于1963年提出的，用于描述对流层动力学的混沌行为。

洛伦兹系统的方程可以写作：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z是系统的变量，t是时间，σ、ρ和β是控制参数。

洛伦兹系统是一个三维动力学系统，描述了一个流体中的对流现象。

通过调整参数的值，可以观察到洛伦兹系统的不同行为，包括稳定、周期、混沌等。

为了求解洛伦兹系统的方程，我们可以使用数值迭代的方法。

数值迭代是一种通过逐步逼近的方式求解微分方程的数值解的方法。

在洛伦兹系统中，可以使用欧拉方法或其他数值方法来进行迭代求解。

欧拉方法是最简单的迭代方法之一，它使用近似替代的方式来逼近微分方程的解。

具体而言，在洛伦兹系统方程中，我们可以将时间t 离散化为多个时间步长，然后使用欧拉方法逐步逼近x、y和z的值。

假设我们将时间t离散化为n个时间步长，t0、t1、t2...tn。

初始条件可以设为x0、y0和z0。

从t0到t1，我们可以使用欧拉方法进行迭代：x1 = x0 + σ(y0 - x0) * Δty1 = y0 + (x0(ρ - z0) - y0) * Δtz1 = z0 + (x0y0 - βz0) * Δt其中，Δt是时间步长。

接下来，在每个时间步长内，我们可以使用上一个时间步长的结果计算下一个时间步长的值。

通过多次迭代计算，我们可以得到洛伦兹系统方程的数值解。

这样的数值解可以帮助我们了解洛伦兹系统的动力学行为，包括轨迹的形状、稳定性等。

然而，需要注意的是，洛伦兹系统是一个混沌系统，其行为非常敏感于初值和参数的改变。

因此，在进行数值迭代之前，我们需要仔细选择初始条件和参数的值，以确保迭代结果的有效性。

此外，洛伦兹系统还有其他的解析解和数值解求解方法。

例如，可以使用龙格-库塔方法（Runge-Kutta method）或使用数值计算软件（如MATLAB）中的ODE求解器来求解洛伦兹系统方程。

matlab lorenz模型的状态方程

matlab lorenz模型的状态方程

matlab lorenz模型的状态方程Lorenz模型是一种混沌系统模型，是由Edward Lorenz在1963年提出的。

该模型可以描述一个物理系统中的非线性动力学过程，常常被用来研究气象学和流体力学等领域的相关问题。

在matlab中，Lorenz模型的状态方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z分别表示三个物理量的状态变量，例如温度、速度等。

σ、ρ和β则是三个控制参数，用来调节系统的演化过程。

这些参数的选择可以决定系统的稳定性、周期性或混沌性质。

这个状态方程的含义是，三个状态量的变化是由它们之间的相互作用和所受力的影响所决定的。

其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的变化率，dz/dt则表示z的变化率。

在Lorenz模型中，随着时间的演化，x、y和z的值会不断发生变化，难以预测，从而呈现出混沌的特征。

matlab作为一种强大的数学软件，可以用来求解Lorenz模型的状态方程。

通常情况下，我们可以通过matlab的ODE求解器来求解这个系统，具体步骤如下：1. 定义状态方程和初始条件：我们需要在matlab中利用函数句柄来定义状态方程，同时确定初始条件。

2. 设置ODE求解器：用户需要根据系统的特性来选择最适合的ODE求解器，例如ode45、ode23s等。

3. 求解ODE：利用所选求解器来求解ODE。

通常情况下，matlab还提供了许多其他的函数和工具箱，可以用来展示和分析所得到的结果。

总之，Lorenz模型的状态方程是一种常见的非线性动力学模型，它可以用来描述许多物理系统中的复杂行为。

利用matlab求解Lorenz模型的状态方程，可以帮助我们更好地理解这个系统的演化过程，并且研究它的混沌特性。

数学中的非线性动力系统

数学中的非线性动力系统

数学中的非线性动力系统在数学领域中，非线性动力系统是一种研究系统中相互作用的复杂现象的分支。

它在探索生物学、物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。

本文将讨论非线性动力系统的基本概念、数学模型和动力学行为。

一、基本概念非线性动力系统是由非线性微分方程或离散差分方程描述的系统。

相比线性系统，非线性系统的特点在于其输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是包含更为复杂的非线性函数。

二、数学模型非线性动力系统可以用一组微分方程或差分方程表示。

其中，最常见的非线性微分方程模型之一是洛伦兹方程，它描述了空气流体中对流运动的行为。

洛伦兹方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x，y，z是系统的状态变量，t是时间，σ，ρ和β是模型中的参数。

三、动力学行为非线性动力系统的动力学行为多样且复杂。

其中最常见的动力学行为包括稳定点、周期解、混沌和吸引子。

1. 稳定点：当系统的状态变量不发生变化时，称之为稳定点。

稳定点有两种类型，分别是吸引性稳定点和不稳定点。

2. 周期解：当系统的状态变量在一定时间范围内以周期性方式变化时，称之为周期解。

周期解与稳定点不同，它们的动态行为是有规律可循的。

3. 混沌：混沌是非线性动力系统中最令人困惑和吸引人的现象之一。

它是指系统的状态变量在长时间内表现出高度的不可预测性和敏感性。

混沌系统具有无限数量的周期解，其轨迹在相空间中像蜿蜒曲折的河流一样。

4. 吸引子：吸引子是非线性系统中的一个重要概念，它描述了系统动力学行为的基本特征。

吸引子是一种在状态空间中具有稳定性的集合，它可以将系统的运动轨迹吸引到其中。

四、应用领域非线性动力系统的研究与实际应用密切相关。

以下是一些应用领域的例子：1. 生物学：非线性动力系统可以用于研究生物体内的神经活动、心脏跳动等生物过程。

2. 物理学：非线性动力系统可以用于描述混沌现象、相变行为以及复杂系统中的粒子运动等。

关于洛伦兹混沌系统的仿真与应用

关于洛伦兹混沌系统的仿真与应用

关于混沌学的研究中袁 其中洛伦兹方程是一个具有代表 性研究混沌特性的系统遥 洛伦兹方程是在 1963 年由美国气象 学家洛伦兹提出的袁 最开始洛伦兹希望能够在实验室仿真大 气变化的规律袁 以此能够对地球大气这个复杂的系统进行计 算和分析袁从而来预测大气变化遥 洛伦兹通过实验建模袁依据 模型得到了三个微分方程即洛伦兹方程袁 并且通过计算机技 术对洛伦兹方程进行仿真袁发现了袁在确定的参数取值时袁通 过画出系统的运动轨迹袁 得到了类型蝴蝶翅膀的复杂的湍流 轨迹曲线遥 即后称之为奇怪吸引子遥 又被称为混沌吸引子袁指 相空间中吸引子的集合袁在该集合中混沌轨道在运行遥 此吸引 子不是平衡点袁也不是极限环袁也不是周期吸引子袁而是具有 分维数的吸引子遥 这是洛伦兹系统的特征遥 以至于关于我们熟 知的野蝴蝶现象冶也是依据洛伦兹系统在特定的参数下运动轨 迹表现出的奇怪吸引子的现象提出的遥
238 论述
2019 年 3 月
图1
线为对初始条件经过微小地改动后得出的图像袁 可以发现在 一段时间后袁两条曲线出现偏差遥 第二尧三张图分别是 y-t尧z-t 图袁也同样是在初始条件有微小差异情况下袁两线的图像有明 显的不同遥 由这三张图袁很好地验证了袁其对初始条件敏感的 特点遥
图 2 四幅图表示的是 x尧y尧z 的轨迹坐标图遥 第一列第一 幅图是 x-y-z 的三维坐标图袁表示的在设定初始条件下袁三维 坐标轨迹遥 第一列第二幅图是第二幅图在 x-z 轴上的映射袁第 二列第一幅图是在 y-z 轴上的映射袁第二列第二幅图是在 x-z 轴上的映射遥 由三幅图可以发现袁在各自投影上袁轨迹都显示 出明显的双吸引子特点袁轨迹都绕着两个中心运动袁但又不重 叠遥 通过对这四张图的分析袁验证了其看似无规则袁但隐含着 规律的行为以及双吸引子的图像性质遥