(精编)2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破专题01抽象函数问题莫畏难学会“三招”可攻关学案

2020高考数学导数中的证明与探索性问题考点考题突破【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；2、(2017镇江期末）已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1) 若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2) 若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；3、(2017南京、盐城二模）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1) 若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x .①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m)的值域为R ，求实数m 的取值范围． (2) 若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.4、(2017扬州期末）已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝e x，h(x)＝x2＋ax＋a.(1) 求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；(2) 当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；(3) 当a＝0时，对于给定的正整数k，问函数F(x)＝e·f(x)－2k(ln x＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e≈2.718，e≈1.649，e e≈4.482，ln2≈0.693)【问题探究，变式训练】题型一、与零点、极值点有关的证明利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝e x－a2x2－ax(a>0)．(1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0 成立；(2) 若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：x1＋x22<ln a【变式1】、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.①求实数a的取值范围；②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.【变式2】(2018常州期末）已知函数f(x)＝ln x（x＋a）2，其中a为常数．(1) 若a＝0，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.【变式3】(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x，a，b∈R.(1) 当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2) 当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；(3) 当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)，求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2.【变式4】(2018南京、盐城一模）设函数f(x)＝ln x ，g(x)＝ax ＋b x －c(a ，b ，c ∈R )．(1) 当c ＝0时，若函数f (x )与g (x )的图像在x ＝1处有相同的切线，求a ，b 的值；(2) 当b ＝3－a 时，若对任意x 0∈(1，＋∞)和任意a ∈(0，3)，总存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，求c 的最小值；(3) 当a ＝1时，设函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点．求证：x 1x 2－x 2<b <x 1x 2－x 1.题型二 探索性问题探索性问题论证可以运用反证法，假设存在，解题的难点在于导出矛盾，根据已知条件，得到方程解的问题，通过构造函数，研究函数的单调性，得到方程不成立，从而与假设矛盾，证得结论．例2、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图像相切于两个不同的点？并说明理由．【变式2】(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1) 若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>e x；(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围；(3) 当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．【变式3】(2017苏北四市期末）已知函数f(x)＝x22e－ax，g(x)＝ln x－ax，a∈R.(1) 解关于x(x∈R)的不等式f(x)≤0；(2) 证明：f(x)≥g(x)；(3) 是否存在常数a，b，使得f(x)≥ax＋b≥g(x)对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【变式4】(2017南京、盐城一模）设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋a－1x－3(a∈R)．(1) 当a＝2时，解关于x的方程g(e x)＝0(其中e为自然对数的底数)；(2) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间；(3) 当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6)。

18.（12 分）
已知数列 an 满足
1 2a1
5
2 2a2
5
3 2a3
5
n 2an
5
n 3
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设数列 anan1 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .
19 ．(12 分) 将棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 截去三棱锥 D1 ACD 后得到如图所示几何体，
人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗
1
歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的 《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自
倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a, b 分别为 3 ，1， 则输出的 n （ ）
1 A. 3
1 B. 2
1 C. 4
1 D. 5
3．已知单位向量 ， 满足 ⊥ ，则 •（ ﹣ ）＝（ ）
A．0
4.将函数 为（ ）
B．
C．1
D．2
的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式
A.
B.
C.
5．已知 x•log32＝1，则 4x＝（ ）
A．4
B．6
C．4
D. D．9
6．在△ABC 中，若 sinB＝2sinAcosC，那么△ABC 一定是（ ）
∵ ＜1＜2，
∴f（ ）＞f（1）＞f（2）， 即 f（2）＜f（1）＜f（0）， 故选：D．
11、【答案】C【解析】
9
由题知线段 AB 是椭圆的通径，线段 AB 与 y 轴的交点是椭圆的下焦点 F1 ，且椭圆的 c 1，

m
的最大值
________．
8．（2020·河北高三）设 x 0, y 0 且 x 2 y 1 ，求函数 z log1 8xy 4 y2 1 的最大值与最小值的和
2
2
为________．.
9．（2020·南京市中华中学高二月考）已知函数
f
x
x2 ex
．
（1）求 f x 的极大值和极小值；
小值为 m ，则 m 2a ________.
6．（2020·河北邢台一中高三）在曲线 f x x3 4 的所有切线中，切线斜率的最小值为________.
3x
7．（2020·四川高三（理））已知变量 x1, x2 0, m
(m>0)，且 x1
x2
，若
x x2 1
x2x1 恒成立，则
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2020·海南高三）已知函数 f (x) x2 2x m ln x(m R) 存在两个极值点 x1 ， x2 x1 x2 ，
g(
x)
x
1 2
e
x
，则
g
x1
x2
的最小值为（
）
A．
1 e2
B． 1 e
C．
1 e2
1
D．
e
3．（2020·贵州高三）若函数 f (x) x3 mx2 2x(m R) 在 x 1 处有极值，则 f (x) 在区间[0,2] 上的最
2020 年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）
最值问题之基本函数篇
【例】【2019 年高考浙江】已知 a R ，函数 f (x) ax3 x ，若存在 t R ，使得| f (t 2) f (t) | 2 ， 3

2020届高考数学命题猜想函数﹑基本初等函数的图像与性质2【考向解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.【命题热点突破一】函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T＝|a|.f x例1、【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【变式探究】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以，所以，即(1)0f =，，所以.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x =-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【变式探究】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【变式探究】(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x 1)](x2－x1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c(2)设函数f(x)＝ex(2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，1 【解析】(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c.选D.【高考真题解读】1. （2018年浙江卷）函数y=sin2x 的图象可能是A.B. C. D.【答案】D2. （2018年全国III 卷）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C，故正确答案选D.3. （2018年全国卷Ⅱ）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B4. （2018年天津卷）已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.5. （2018年全国I卷）设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图像画出来，f x3.【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B【解析】，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B. 4.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D5.【2017课标1，文9】已知函数，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】由题意知，，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．1.【2016高考新课标3文数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】因为，，所以b a c <<，故选A ．2.【2016年高考北京文数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.C. D.【答案】C3.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为，所以排除A 、B 选项；当[]0,2x ∈时，有一零点，设为x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。