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正弦定理余弦定理教案

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1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc, A 则sinsinsinabccABC b c

从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的

定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB， C

同理可得sinsincbCB， b a 从而sinsinabABsincC A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC， C

由向量的加法可得 ABACCB 则 ()jABjACCB A B ∴jABjACjCB j 00cos900cos90jABAjCBC

∴sinsincAaC，即sinsinacAC 同理，过点C作jBC，可得 sinsinbcBC 从而 sinsinabABsincC 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinsinabABsincC

[理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；

（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，

0180()CAB

000180(32.081.8)

066.2；

根据正弦定理， 00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aB

bcmA；

根据正弦定理， 00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aC

ccmA

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2．在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理， 0sin28sin40sin0.8999.20bA

Ba

因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B ⑴ 当064B时，

00000180()180(4064)76CAB， 00sin20sin7630().sinsin40aC

ccmA

⑵ 当0116B时，

00000180()180(40116)24CAB， 00sin20sin2413().sinsin40aC

ccmA

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习 第5页练习第1（1）、2（1）题。 [补充练习]已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc （答案：1：2：3） Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC； 或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。 ●板书设计 ●授后记 课题: §1.1.2余弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 C

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求边c b a

A c B (图1．1-4) Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 b c 2

22 2 2cccababaabbababab

 C a B

从而 2222coscababC (图1．1-5) 同理可证 2222cosabcbcA 2222cosbacacB

于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA 2222cosbacacB

2222coscababC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222cos2bcaAbc

222cos2acbBac

222cos2bacCba

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]

例1．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A ⑴解：∵2222cosbacacB =22(23)(62)223(62)cos045

=212(62)43(31) =8 ∴22.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc ∴060.A 解法二：∵sin023sinsin45,22aABb

又∵62＞2.41.43.8, 23＜21.83.6,

∴a＜c，即00＜A＜090, ∴060.A

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初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用

初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用

初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到利用几何知识解决实际问题的情况。

而余弦定理和正弦定理作为几何知识的重要部分，具有广泛的应用价值。

本教案旨在通过具体的例子，让学生理解并能够熟练应用余弦定理和正弦定理。

二、教学目标1. 掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式；2. 理解余弦定理和正弦定理的应用场景；3. 能够灵活运用余弦定理和正弦定理解决实际问题。

三、教学内容1. 余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos∠C示例题目1：已知三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=7cm，∠C=60°，求边c的长度。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°c^2 = 25 + 49 - 70*cos60°c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，c≈6.24cm示例题目2：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=9cm，c=10cm，求∠A的大小。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：8^2 = 9^2 + 10^2 - 2*9*10*cos∠A64 = 81 + 100 - 180*cos∠A180*cos∠A = 181 - 64cos∠A = 117/180∠A ≈ 51.32°2. 正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C示例题目3：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=60°，AC=8cm，求边AB与BC的长度。

解答思路：根据正弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：AB/sin45° = 8/sin60°AB = 8*sin45°/sin60°AB ≈ 8*0.7071/0.8660 ≈ 6.928cmBC/sin60° = 8/sin45°AB = 8*sin60°/sin45°AB ≈ 8*0.8660/0.7071 ≈ 9.398cm四、教学方法1. 结合实际生活进行示例分析，增加学生的兴趣；2. 组织学生小组合作，共同解决问题，培养合作意识；3. 引导学生总结规律，归纳定理应用方法。

《正弦定理、余弦定理的应用》教学案

《正弦定理、余弦定理的应用》教学案

1．3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案•三维目标1. 知识与技能( 1)能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；( 2)体会数学建模的基本思想，掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤；( 3)了解常用的测量相关术语 ( 如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义 ) ，综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；( 4)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力；( 5)规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰．2. 过程与方法(1)本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；( 2)让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．3．情感、态度与价值观( 1)激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；( 2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神；(3) 培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力. •重点、难点重点： (1) 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；( 2)掌握求解实际问题的一般步骤；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图．体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想，认识研究实际问题的方法，是本节教学的重中之重，而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析，抽象出数学问题，再利用解三角形的知识加以解决．教学方案设计( 教师用书独具 )•教学建议在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图. 生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础. 解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会.测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维.借助计算机等多媒体工具来进行演示，利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法.引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.•教学流程课前自主导学【问题导思】小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，至U达学校上课. 1•小明的学校在家的哪个方向？【提示】东南方向.2•能否用角度确定学校的方位？【提示】能.课堂互动探究例1如图1-3—1图1—3—1在山顶C测得塔顶A的俯角为45°已知塔高AB为20 m,求山高CD（精确到0. 1 m）【思路探究】D（可放到厶BCD中，要求CD已知/ DBC= 60° / CDB= 90°所以只需求BD 或CB在厶AB（中，AB勺长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB则Cd CB-s in 60°【自主解答】由条件知/ DBC= 60° / ECA= 45°•••/ ABC 90° —60°= 30° / ACB 60°—45°= 15° ,/ CA= 180° —（ / ABQ-Z ACB = 135°BC AB在^ ABC中,由正弦定理得sin 135 ° = sin 15 ° ,AB- sin 135 °20x 2 40二B C= sin 15 °= 1 = 3— 1.4乐-衣7在Rt △ BC中,40 \/3CD^ BC- sin / CB=书—〔x 2 ~ 47. 3（m）.•山高C哟为47.3 m.规律方法1.本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键.2.测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题.变式训练如图1-3-2所示，空中有一气球 C,图1-3—2在它的正西方A点测得它的仰角为45°同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为3 0° A, B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】设0C= x,则OA= x, OB= x • tan 60°= 3x.在厶AO中，/ A0= 90° + 60°= 150° AB= 266,所以A^= OA+ OB - 2OA OBi os / AOB=x2+ 3x2— 2x •3x • （—） = 7x2,所以x= TAB= T X 266= 38 7（米），所以气球离地（38,7 + 1）米.例2甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船, 问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】画图T分析三角形满足条件T选择定理列方程T求相关量T作答【自主解答】如图所示：设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，/ BAC= 45°180° —105° = 120°在厶AB(中，由余弦定理得，BC= AC+ A8— 2AC・ AB- cos / BA(2 2 2(3v) 2= ( 3 x 9)2+ 102— 2 x 3X 9x 10x cos 120°,整理得v= 21.BC AC又由正弦定理可知 sin Z BAC= sin B，2AC- sin Z BAC 3x9坐sin B= BC = 2 x sin 120° = 14 ,3x 21■ B^ 2147'.即B应以每小时21海里的速度，按东偏北 45。

《正弦定理和余弦定理》教案

《正弦定理和余弦定理》教案

情感：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数
授课类型：新授课
⑹ ， ， ，求
四、课堂练习：
1在△ABC中， ,则k为( )
A2RBRC4RD (R为△ABC外接圆半径)
2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形
五、小结：
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的应用范围：
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
（证法一）如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则 ，
C
同理可得 ，ba
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
过点a作jac??????c由向量的加法可得abaccb??????????则acjab?jcb???????????????abjabjacjcb???????????????????j??00cos900cos90???????jab?????jcbacsincsinaac即sinsinacac同理过点c作?????jbc可得sinsinbcbc从而sinsinababsincc证法三
三、讲解范例
例1．在 中，已知 ， ， cm，解三角形。
《正弦定理》教案(含答案)

《正弦定理》教案(含答案)

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。