人教B版高中数学必修五高二(文科)试题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作滨河中学2010——2011学年高二下学期期中考试数学（文科）试题一、选择题：10小题，每题5分，共50分。

1、复数21ii-的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i D ．i -2、复数1011i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是A.1-B.1C.32-D.32 3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线4、下列变量关系是相关关系的是（ ）①家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④学生的学习态度与学习成绩之间的关系；A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 5、设有一个回归直线方程2 1.5y x =-，则变量x 增加1个单位时（ ） Ａ．y 平均增加1.5个单位 Ｂ．y 平均增加2个单位 Ｃ．y 平均减少1.5个单位 Ｄ．y 平均减少2个单位 6、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．277、若对任意的x 有34)(x x f ='且1)1(-=f ，则此函数的解析式是 （ ）x yOA 、4)(x x f =B 、2)(4+=x x fC 、2)(4-=x x fD、1)(4-=x x f8、y=f(x)的图象如左下图所示，则导函数y=f '(x)可能（ ）.9、函数xx y 1+=在0>x 时有（ ）A 极小值B 极大值C 既有极大值又有极小值D 不存在极值10、设f 0(x)=sinx,)()(),...()(),()(11201x f x f x f x f x f x f n n '='='=+,则f 2011(x)= A sinx B -sinx C cosx D -cosx二、填空题：4小题，每题5分，共20分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高二文科数学试卷命题：叶县数学命题组 责任老师： 崔洪澎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在∆ABC 中，A=60，a=34，24=b ，则B 等于（ ）A ． 45或135B ． 45C ． 135D ．752．在∆ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且B b A a cos cos =,则三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为nS 。

若m>1，且211mm m a a a -++-=0，3812=-m S ，则m=（ ）A ．9B ．10C ．20D ．384．数列{a n }的通项公式为22+-=an n a n ,若数列{a n }是个递增数列,则a 的范围是（ ）A ． a<2B ．1≥aC ．23>a D ．a<35．在∆ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC 边上的高是（ ）A ．223B ．233 C ．23 D ．236．等比数列}{n a 中，3a ，5a 是方程022=+-kx x （k 为常数）的两根，若02<a ，则A ．24-B ．24C ．24±D ． 87．两个等差数列{a n }和{b n },其前n 项和分别是n s ，n T ，且222++=n n T S n n ，则88a a b b +=+24（ ）A ．1320B ．1913C ．1710 D ．无法确定8．若直线1=+b y a x 通过点)sin ,cos αα（M ,则（ ）A ．122≤+b a1.22≥+b a B111.22≤+b a C111.22≥+b a D9．在∆ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且ac b c a c b a 3))((=-+++，则C A C A tan tan tan tan 3--⋅等于（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．310．若x,y,z 是正实数，且032=+-z y x ,则xz y 2的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．二次函数)(x f 过原点，且2)1(1≤-≤f ，4)1(3≤≤f ，则)2(-f 的范围是（ ）A ．]11,5[B ．]10,6[C ．]10,5[D ．]11,6[12．设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-4212y x y x ay x 时，目标函数z=x+y 既有最大值也有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ． a<1B ．0<a<1C ．10<≤aD ．a<0二、填空题（本大题共4小题，每题5分） 13．已知1)3(log -+=x y a （a>0,且1≠a ）恒过定点A ，且点A 在直线mx+ny+1=0上，且mn>0，则n m 21+的最小值是 . 14．已知等比数列{a n }中，4321=++a a a ，2432-=++a a a ，则=+++++876543a a a a a a.16．设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若104≥S ,155≤S ,则4a 的最大值是 .三、计算题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，12,111+==+n n S a a )1(≥n（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求 T n18．（本小题满分12分）已知不等式0122<+--m x mx 。

必修五第一章 解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角． 答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15 D ．－15 解析 在△ABC 中，由余弦定理得cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．假设三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a2－2a22·a ·3a＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a2＋3a2－a 22·2a ·3a＝32， ∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，假设a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定解析 由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinAa ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解． 答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32.∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3.答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3.答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 kmD.32km 解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝ACtan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1. 答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.假设a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)． 答案 4(3－1)14．在△ABC 中，假设b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60°，得sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA.又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA.即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0， ∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案 30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______. 解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案 60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7. 答案 11：9：7三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)假设a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA2sinB，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.假设A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求： (1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求： (1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝126，由正弦定理，得AD ＝ABsinBsin ∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°. 解得CD ＝83(nmile)．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.20．(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a ＝b.故△ABC为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得 4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0.解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.第二章 数列1．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n−12〔n ≥2〕，则a 6=〔 〕 A ．16 B ．4 C ．2√2 D ．45【解答】解：∵正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n ﹣12〔n ≥2〕， ∴a n+12﹣a n 2=a n 2﹣a n ﹣12，∴数列{a n 2}为等差数列，首项为1，公差d=a 22﹣a 12=3，∴a n 2=1+3〔n ﹣1〕=3n ﹣2，∴a n =√3n +2 ∴a 6=√3×6−2=4， 故选：B 2．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加〔 〕 A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺 D ．1631尺 【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知S 30=30×5+30×292d =390，解得d=1629．故该女子织布每天增加1629尺．故选：B ．3．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1={2a n ,(n 为正奇数）a n +1,(n 为正偶数），则其前6项之和是〔 〕A ．16B ．20C ．33D ．120【解答】解：∵a 1=1，a n+1={2a n ,(n 为正奇数）a n +1,(n 为正偶数），∴a 2=2a 1=2，a 3=a 2+1=2+1=3，a 4=2a 3=6，a 5=a 4+1=7，a 6=2a 5=14 ∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C ． 4．定义n p 1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…p n 的“均倒数”．假设已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+1，又b n =a n +14，则1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=〔 〕A ． 111 B ． 910C ． 1011 D ． 1112【解答】解：由已知得，na1+a 2+⋯+a n=12n+1∴a 1+a 2+…+a n =n 〔2n+1〕=S n当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4n ﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a n =4n ﹣1， ∴b n =a n +14，∴1bn ′b n+1=1n −1n+1∴1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b10b 11=(1-12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(110−111)=1−111=1011． 故选C ．5．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．假设a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= 63 ． 【解答】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，所以a 1=1，a 3=4．设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2=a 3a 1=41=4，所以q=2．则S 6=a 1(1−q 6)1−q=1×(1−26)1−2=63． 故答案为63．6．如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为a ij 〔i ≥j ，i ，j ∈N *〕，则a 53等于 ，a mn = 〔m ≥3〕．14 12,14 34,34,316【解答】解：①第k 行的所含的数的个数为k ，∴前n 行所含的数的总数=1+2+…+n=n(n+1)2．a 53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为12，公差d=12−14=14的等差数列，∴第一列的第5 个数=14+(5−1)×14=54;又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=3834=12，∴第5行是以为首项，12为公比的等比数列，∴a 53=54×(12)2=516．②a mn 表示的是第m 行的第n 个数，由①可知：第一列的第m 个数=14+(m −1)×14=m4，∴a mn =m 4×(12)n−1=m 2n+1．故答案分别为516， m2n+1．7．等差数列{a n }中，a 7=4，a 19=2a 9，〔Ⅰ〕求{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕设b n =1na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；84：等差数列的通项公式． 【分析】〔I 〕由a 7=4，a 19=2a 9，结合等差数列的通项公式可求a 1，d ，进而可求a n 〔II 〕由b n =1na n=2n(n+1)=2n −2n+1，利用裂项求和即可求解【解答】解：〔I 〕设等差数列{a n }的公差为d ∵a 7=4，a 19=2a 9，∴{a 1+6d =4a 1+18d =2(a 1+8d)解得，a 1=1，d=12∴a n =1+12(n −1)=1+n 2〔II 〕∵b n =1na n=2n(n+1)=2n −2n+1∴S n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+18．已知等差数列{a n }，的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足b 1=12，b n+1=n+12n b n ． 〔1〕求数列{a n }，{b n }的通项公式；〔2〕记T n 为数列{b n }的前n 项和，f (n )=2S n (2−T n )n+2，试问f 〔n 〕是否存在最大值，假设存在，求出最大值，假设不存在请说明理由． 将b n+1=n+12nb n 整理，得到{b n n}是首项为12，公比为12的等比数列，应用等比数列的通项即可求出b n ；〔2〕运用错位相减法求出前n 项和T n ，化简f 〔n 〕，运用相邻两项的差f 〔n+1〕﹣f 〔n 〕，判断f 〔n 〕的增减性，从而判断f 〔n 〕是否存在最大值． 【解答】解：〔1〕设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ， 则{a 1+d =25a 1+10d =15解得a 1=1，d=1，∴a n =n ，又b n+1n+1=b n 2n ，即{b nn }是首项为12，公比为12的等比数列， ∴bn n =b 11(12)n−1，∴b n =n2n ；〔2〕由〔1〕得：T n =12+222+323+⋯+n2n ，12T n=123+223+324+⋯+n−12n +n2n+1，相减，得12T n =12+122+123+⋯+12n +n2n+1， =12(1−12n )1−12，∴T n =2−n+22n，又S n =12n 〔n+1〕，∴f (n )=2S n (2−T n )n+2=n 2+n 2n，∴f (n +1)−f (n )=(n+102+n+12n+1−n 2+n 2n=(n+1)(2−n)2n−1，当n ＞3时，f 〔n+1〕﹣f 〔n 〕＜0，数列{f 〔n 〕}是递减数列， 又f (1)=1,f (2)=32,f (3)=32 ∴f 〔n 〕存在最大值，且为32．9．设数列{a n }的前项n 和为S n ，假设对于任意的正整数n 都有S n =2a n −3n .〔1〕设b n =a n +5，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作本册基本知能检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在△ABC 中，已知a ＝40，b ＝202，A ＝45°，则角B 等于( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°[答案] C[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝202×2240＝12，又b <a ，∴B 为锐角，B ＝30°.2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 [答案] A[解析] 由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴4d ＝a 8－a 4＝8－1＝7，∴a 12＝a 8＋4d ＝8＋7＝15.3．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N 等于( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |x >3} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |2<x <3} [答案] C[解析] M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |－1<x <3}，借助数轴进行运算，得M ∩N ＝{x |－1<x <2}． 4．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝(12)x 2－2(x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[答案] A[解析] p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立；q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q .5．在数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＝3a n ，则此数列的前5项和S 5等于( ) A ．80 B ．242 C ．486 D ．726[答案] B[解析] ∵a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n ＝3，∴{a n }是公比为3的等比数列， 又a 2＝6，∴a 1＝2，S 5＝2·(35－1)3－1＝242.6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A ．154B ．34C ．31510D ．1116[答案] D[解析] 由6sin A ＝4sin B ＝3sin C 得 sin A BC ＝，设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则由正弦定理知a b c ＝不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(22＋42－32)k 22×2k ×4k＝1116.7．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200[答案] A[解析] 由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2， ∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．8．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．34或32[答案] D[解析] c ＝AB ＝3，b ＝AC ＝1，B ＝30°. 由于c sin B ＝3×12＝32，c sin B ＜b ＜c ，∴符合条件的三角形有两个． ∵b sin B ＝c sin C ，即112＝3sin C .∴sin C ＝32. ∴C ＝60°或120°，∵A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝32或34. 9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )A ．2 2B ．2 3C ． 3D ． 2[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，平方得a 2＋c 2＝4b 2－2aC ． 又S △ABC ＝33且B ＝60°.∴12ac sin B ＝12ac sin60°＝34ac ＝3 3. 解得ac ＝12，∴a 2＋c 2＝4b 2－24.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－24－b 22×12＝b 2－88＝12.解得b 2＝12.∴b ＝2 3.10．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x 2＋8xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1[答案] C[解析] 对A 选项，x <0时无最小值； 对B 选项，因为0<x <π，所以0<sin x ≤1， 又y ＝sin x ＋4sin x 在sin x ∈(0,1]上为减函数，所以y min ＝1＋41＝5；对D 选项，函数y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22， 当且仅当x 2＋1＝2即x ＝±1时，取“＝”．故选C ．11．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定[答案] B[解析] 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥1100x ＋160y ≤800，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．12．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1.若a 1＝67，则a 20的值为( )A ．67B ．57C ．37D ．17[答案] B[解析] 逐步计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝57，a 6＝37，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3， 而20＝3×6＋2，∴a 20＝57.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在R 上定义运算⊙；a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．[答案] (－2,1)[解析] 由定义得x (x －2)＋2x ＋x －2<0， 即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.即x ∈(－2,1)．14．已知在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，log 2a n ＋1＋log 2a n ＝n (n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 013－21 008＝________.[答案] －3[解析] ∵log 2a n ＋1＋log 2a n ＝n ，∴log 2a n a n ＋1＝n ， ∴a n a n ＋1＝2n (n ≥1)， ∴a n －1a n ＝2n －1(n ≥2)．∵a n >0，∴两式相除得a n ＋1a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }中，间隔项成等比数列．∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013＝1－21 0071－2＝21 007－1，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 012＝2(1－21 006)1－2＝21 007－2，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝2×21 007－3＝21 008－3. ∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013－21 008＝21 008－3－21 008＝－3.15．不等式(k ＋1)x 2－(3k ＋1)x ＋2>0对于任意的x ∈R 都成立，则k 的取值范围是________．[答案] －79<k <1[解析] 当k ＋1＝0即k ＝－1时，不等式为x ＋1>0，不符合题意；当k ＋1≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，(3k ＋1)2－4(k ＋1)×2<0. 解得－79<k <1.综上所述，－79<k <1.16．若x >0，则3＋3x ＋3x 的最小值为________．[答案] 9[解析] ∵x >0，∴3＋3x ＋3x ≥3＋23x ·3x＝3＋2×3＝9.当且仅当x ＝1时，取等号．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·陕西理，16)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ．(1)若a 、b 、c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a 、b 、c 成等比数列，求cos B 的最小值. [解析] (1)∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ， 由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立．∴cos B 的最小值为12.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝14x ＋m (m >0)，当x 1、x 2∈R ，且x 1＋x 2＝1时，总有f (x 1)＋f (x 2)＝12.(1)求m 的值．(2)设S n ＝f (0n )＋f (1n )＋f (2n )＋…＋f (nn)，求S n .[解析] (1)取x 1＝x 2＝12，则f (12)＝12＋m ＝14，所以m ＝2.(2)因为当x 1、x 2∈R ，且x 1＋x 2＝1时，总有f (x 1)＋f (x 2)＝12，所以f (0n )＋f (n n )＝12，f (1n )＋f (n －1n )＝12，….因为S n ＝f (0n )＋f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n n )，故S n ＝f (n n )＋f (n －1n )＋f (n －2n )＋…＋f (0n )．两式相加得：2S n ＝[f (0n )＋f (n n )]＋[f (1n )＋f (n －1n )]＋…＋[f (n n )＋f (0n )]＝n ＋12，所以S n ＝n ＋14.19．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对应边长，已知2sin 2A ＝3cos A ．(1)求∠A ；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． [解析] (1)∵2sin 2A ＝3cos A ， ∴2(1－cos 2A )＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12，∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，又∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴a 2＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴bc ≤a 2＝(3)2＝3， ∴S △ABC ≤334.即△ABC 面积的最大值是334. 20．(本题满分12分)已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1.两式相减可得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)2n ＋1＝23(1－2n －1)1－2＋(－2n ＋5)2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.21．(本题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n ＋b 且a 1＝3. (1)求a 、b 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2a ＋b ， ①3＋a 2＝4a ＋b ， ②3＋a 2＋a 3＝8a ＋b ， ③解得a 2＝2a ，a 3＝4a ，∴公比q ＝a 3a 2＝2.a 23＝2a3＝2，∴a ＝3代入①得b ＝－3. ∴a n ＝3·2n －1.(2)b n ＝n a n ＝n3·2n －1，T n ＝13(1＋22＋322＋…＋n2n －1)④12T n ＝13(12＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n )⑤ ④－⑤得：12T n ＝13(1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n )＝13(1－12n1－12－n 2n )＝13(2－12n －1－n 2n )＝23(1－12n －n2n ＋1)， ∴T n ＝43(1－12n －n2n ＋1)．22．(本题满分14分)某工厂有旧墙一面，长14 m ，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126 m 2的厂房，工程条件是：①建1 m 新墙的费用为a 元；②修1 m 旧墙的费用为a 4元；③拆去1 m 旧墙，用所得的材料建1 m 新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14.问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？[解析] 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．设利用旧墙的一面矩形边长为x m ，则矩形的另一面边长为126xm.(1)利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a2元，其余建新墙的费用为(2x ＋2×126x－14)a 元． 故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x 2·a ＋(2x ＋252x－14)a＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a (x 4＋36x －1)(0<x <14) ≥7a ·(2x 4·36x－1)＝35a ， 当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14， 则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为(2x ＋252x －14)a ，故总费用为y ＝72a ＋(2x ＋252x －14)a＝72a ＋2a (x ＋126x －7)(x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则(x 1＋126x 1)－(x 2＋126x 2)＝(x 1－x 2)(1－126x 1x 2)．∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a (14＋12614－7)＝35.5a >35A ．综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12 m 为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．。