微分方程-可降阶的高阶微分方程

dx C2

dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通
解.
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例1.
解: y e2x cos x d x C1

1 2
e2x

sin
x

C1
y

1 e2x 4
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例7.
解初值问题
y e2y 0 y x0 0 ,
y x0 1
解: 令y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2

1 2
e2
y

C1
利用初始条件,得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
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2020/3/1
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a

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f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得 设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M

T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章 第五节 可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程 一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到

再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2 ……
接连积分n次, 得到含有n个任意常数的通解.
2
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e
3
x
cos
x
C1
x
C2
y
1 e 3 x sin x C1
27
2
x2 C2 x
1,
知C2 = 1
y x4 4x 1
6
对 于 不 含 有y、y、、y( k 1)的n阶 方 程
F( x, y(k) , y(n) ) 0 只须作变换, 令 p y(k ) .
方程就可化为 n k 阶方程
F( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后,
再积分k次,即可求得原方程的通解.
解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p dp dy
p2
0,
即
p( y dp dy
p)
0
由 y dp dy
p 0，可得
p
C1
y,
dy dx
C1
y
原方程通解为 y C2eC1x
9
作业
习题6.3 (24页） 1.(1)(2)
10
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1 )dx C2
4
例 解方程
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
解 因方程中不含未知函数y,
属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得