四川省成都市状元廊学校中考数学思维方法讲义 第9讲 二次函数的实际问题应用

二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。

满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数), 得 16 + 4 + = 0.8,
25 + 5 + = 0.5.
如图15-3记录了三次实验的数据.根据上述
= -0.2,
函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时
解得 = 1.5,
间为(
)
= -2,
A.3.50分钟
即 p=-0.2t2+1.5t-2,
[解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.
∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,
∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克).
设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)
=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售
[答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
大利润,其售价应定为(
)
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
后 4 s 滑行 24 m.
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,
小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1
元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为

第十七讲　实际问题与二次函数 知识点：运动问题、利润问题、投篮问题、面积问题（围长方形问题）、拱桥问题（水位、船通过问题）．１．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离ｓ（ｍ）与时间ｔ（ｓ）的函数关系式为ｓ＝２０ｔ－５ｔ２，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 ｍ才能停下来．２．飞机着陆后滑行的距离ｙ（单位：ｍ）关于滑行时间ｔ（单位：ｓ）的函数解析式是ｙ＝６０ｔ－３２ｔ２．在飞机着陆滑行中，最后４ｓ滑行的距离是 ｍ．３．飞机着陆后滑行的距离ｙ（单位：ｍ）关于滑行时间ｔ（单位：ｓ）的函数解析式是ｙ＝６０ｔ－３２ｔ２．在飞机着陆滑行中，滑行最后的１５０ｍ所用的时间是 ｓ．４．四边形ＡＢＣＤ的两条对角线互相垂直，ＡＣ＋ＢＤ＝１２，则四边形ＡＢＣＤ的面积最大值是 ．５．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面２ｍ时，水面宽４ｍ；若水面下降２．５ｍ，则水面宽度增加 ．第５题图 第６题图６．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径ＡＢ间按相同间隔０．２ｍ用５根立柱加固，拱高ＯＣ为０．３６ｍ，则立柱ＥＦ的长为 ．７．某商店经销一种成本为每千克４０元的水产品，据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能售出５００千克．若销售价每涨１元，则月销售量减少１０千克．（１）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？（２）要使月销售利润不低于８０００元，请结合图象说明销售单价应如何定？８．如图，要建一个矩形的鸡场ＡＢＣＤ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为１４ｍ，墙的对面开一个１ｍ宽的门，现有竹篱笆总长３１ｍ．（１）若要围成的鸡场面积为１２０ｍ２，求鸡场的长和宽各是几米？（２）当ＡＢ边的长为多少ｍ时，鸡场面积最大？最大面积为多少？９．实验学校数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第ｘ（１≤ｘ≤９０）天的售价与销量的相关信息如下表：时间ｘ（天）１≤ｘ＜５０５０≤ｘ≤９０售价（元／件）ｘ＋４０９０每天销量（件）２００－２ｘ已知该商品的进价为每件３０元，设销售该商品的每天利润为ｙ元．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式；（２）问销售该商品第几天时，每天销售利润最大？最大利润是多少？（３）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于４８００元？请直接写出结果．１０．如图，女子排球场的长度ＯＤ为１８ｍ，位于排球场中线处网球的高度ＡＢ为２．２４ｍ．一队员站在点Ｏ处发球，排球从点Ｏ的正上方２ｍ的Ｃ点向正前方飞出．当排球运行至离点Ｏ的水平距离ＯＥ为６ｍ时，到达最高点Ｇ．将排球看成一个点，它运动的轨迹是抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系．（１）当球上升的最大高度为３米时，求排球飞行的高度ｙ（单位：ｍ）与水平距离ｘ（单位：ｍ）的函数关系式（不要求写自变量ｘ的取值范围）；（２）在（１）的条件下，对方距球网１ｍ的点Ｆ处有一队员，他起跳后手能拦截的最大高度为２．７ｍ，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；（３）若队员发球既要过网又不出界，问排球飞行的最大高度ｈ（ｍ）的取值范围是 （排球压线属于没出界）．１１．某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩型花园ＡＢＣＤ，为了节约材料并种植不同花卉，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块．已知所用栅栏的总长为６０米，墙长为３０米，设花园垂直于墙的一边的长为ｘ米．（１）若平行于墙的一边长为ｙ米，直接写出ｙ与ｘ的函数关系式及自变量的取值范围；（２）当为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值为多少？（栅栏占地面积忽略不计）（３）当这个花园的面积不小于２８８平方米时，试结合函数图象，直接写出ｘ的取值范围．１２．如图，某单向行驶隧道横截图面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，矩形的长是１２米，宽是３米，隧道的最大高度为６米，现以Ｏ点为原点，ＯＭ所在的直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系．（１）直接写出点Ｍ，Ｎ及抛物线顶点Ｐ的坐标；（２）求出这条抛物线的函数解析式；（３）一大货运汽车装载某大型设备后高为５米，宽为４米，那么这辆货车能否安全通过？１３．某公司生产的商品的市场指导价为每件１５０元，公司的实际销售价格可以浮动ｘ个百分点（即销售价格＝１５０（１＋ｘ％））．经过市场调研发现，这种商品的日销售量ｙ（件）与销售价格浮动的百分点ｘ之间的函数关系为ｙ＝－２ｘ＋２４．若该公司按浮动－１２个百分点的价格出售，每件商品仍可获利１０％．（１）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（２）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为６６０元？（说明：日销售利润＝（销售价格－成本）×日销售量）（３）该公司决定每销售一件商品就捐赠ａ元利润（ａ≥１）给希望工程，公司通过销售记录发现：当价格浮动的百分点大于－２时，扣除捐赠后的日销售利润随ｘ增大而减小，直接写出ａ的取值范围．１４．公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销ｘ件，产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲５２ａ１００乙１８８３０＋０．１ｘ２４０其中ａ为常数，且８０≤ａ≤１００．（１）若产销甲乙两种产品的年利润分别为ｙ１万元，ｙ２万元，直接写出ｙ１、ｙ２与ｘ的函数关系式；（２）分别求出产销两种产品的最大年利润；（３）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．１５．某公司生产某环保产品的成本为每件４０元，经过市场调研预测：这件产品在未来两个月天（６０天）的日销量ｍ（件）与时间ｔ（天）的关系如图所示（前３０天三点共线，后３０天三点共线）．未来两个月（６０天）该商品每天的价格ｙ（元／件）与时间ｔ（天）的函数关系式为：ｙ＝１４ｔ＋８０（１≤ｔ≤３０，ｔ为整数）－１３ｔ＋９０（３１≤ｔ≤６０，ｔ为整数）{．（１）请分别确定１≤ｔ≤３０和３１≤ｔ≤６０时该产品的日销量ｍ（件）与时间ｔ（天）之间的函数关系式；（２）请预测未来第一月日销量利润Ｗ１（元）的最小值是多少？第二个月日销量利润Ｗ２（元）的最大值是多少？（３）市政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴ａ元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润Ｗ３（元）随时间ｔ（天）的增大而增大，求ａ的取值范围．。

确定二次函数的解析式第7讲【今日目标】、会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定1 1）问为主攻方向。

二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。

以中考压轴题第（（适用于图像上的三个点或三对值）①一般式_____________________；●变式练习：是抛物线的顶点坐标．（适用于已知图__ _②顶点式_____________________；其中22 xyxbxcyaxyx求抛物上=－, +1的形状相同抛物线, =对称轴是直线+=3, +最高点在直线与= 像的顶点、对称轴和最值）线解析式。

轴的两个交点x③交点式_____________________。

其中__ _ 是二次函数的图象与轴交点）的横坐标。

（适用于已知图像与x2、能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。

【精彩知识】用待定系数法求二次函数的解析式专题一★方法归纳：考点1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析式，一般设为 B轴交于A、两点．x），0，（2，－5），且与（－，【例1】已知二次函数的图象经过点（03），3形式。

）试确定此二次函数的解析式；1（x??1，且经过点（３，－6，对称轴为【例3】已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为如果不在，）（－P2，3是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ABC的面积；2（）判断点4），求这个二次函数的解析式。

请说明理由。

●变式练习：3●变式练习：2QPbxy=axc上，求此两点，并且顶点在直线的图像过已知二次函数(6, 0)(2,0)+和+xy?432ycbxaxyx，求此二次1,1与轴、轴的交点，且经过点（已知抛物线=经过直线++）3?x??y二次函数的解析式。

2函数的解析式。

形式。

★方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为x轴的两个交点坐标求解析式，一般设为形式。