20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.3 函数的奇偶性(原卷版)

『高考一轮复习·讲练测』『分项解析·逐一击破』1．（2020·陕西省咸阳一中模拟）函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称2．（2020·四川省宜宾一中模拟）下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x 3．（2020·山东省威海一中模拟）已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)4．（2020·广东省梅州一中模拟）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－25．（2020·山东省烟台一中模拟）若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )6．（2020·江西省九江一中模拟）已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020·安徽省滁州一中模拟）定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．8098．（2020·广东省汕头一中模拟）已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a －x )是奇函数，则a ＝________，若g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，2x －1，x ＞0，则g (g (－1))＝______.9．（2020·福建省宁德一中模拟）奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)＝________.10．（2020·安徽省淮南一中模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．11．（2020·福建省莆田一中模拟）已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 12．（2020·湖北省宜昌二中模拟）已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 019)＝________.13．（2020·黑龙江省牡丹江一中模拟）已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.14．（2020·浙江省温州中学模拟）f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．15．（2020·河南省漯河一中模拟）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．16．（2020·四川师大附中模拟）已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-． （Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅰ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 17．（2020·上海格致中学模拟）已知函数()21f x x x a =+-+，其中a ∈R .（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当()f x 为偶函数时，求使()f x k x ≥恒成立的k 的取值范围.18．（2020·江苏省启东中学模拟）对任意x ∈R ，给定区间()11,22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，设函数()f x 表示实数x 与x 所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.（1）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求出()f x 的解析式；()11,22x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 时，写出绝对值符号表示的()f x 解析式；（2）求43f ⎛⎫⎪⎝⎭，43f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断函数()()f x x ∈R 的奇偶性，并证明你的结论；（3）当121ea -<<时，求方程()log 0af x -=的实根.（要求说明理由，1212e->） 19．（2020·北京101中学高三质检）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()111f x f x f x -+=+.（1）证明：2是函数()f x 的周期；（2）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时的解析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程()f x ax =恰好有20个解，求实数a 的取值范围.。

1.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为 ．【答案】c a b << 【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<．2.若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】13.设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于________. 【答案】－3【解析】由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1， f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.4.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 【答案】0【解析】由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0.5.已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为________. 【答案】1【解析】f (－5. 5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1.6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值范围是________. 【答案】(0，1)【解析】依题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )＜0＝f (0)等价于lg x ＜0，故0＜x ＜1.7. 定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则①f (3)<f (－2)<f (1)；②f (1)<f (－2)<f (3)； ③f (－2)<f (1)<f (3)；④f (3)<f (1)<f (－2). 其中正确的是________(填序号). 【答案】①8.设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 【答案】－9【解析】观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.9.设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．【答案】－8【解析】∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在 (0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝⎛⎭⎫－92＝－8. 10. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 7【解析】因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. [答案] (1，3].12.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．【答案】(1) 详见解析，(2) 503. 【解析】(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.13. 已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式.【答案】(1) f (1)＝0，f (－1)＝0. (2) f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.【解析】(1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.14.已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【答案】(1) 详见解析，(2) f (x )max ＝6，f (x )min ＝－6.。

学习资料2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1。

函数的奇偶性2。

函数的周期性(1）周期函数：T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0；②对定义域内的任意x都成立.（2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x）的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x）（x∈R）的一个周期，则nT（n∈Z，且n≠0）也是函数f(x）的周期，即f(x+nT）=f(x）.1.函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f（x）在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f（0）=0.(2）如果函数f（x）是偶函数,那么f(x)=f(|x｜)。

（3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

（4)在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。

（5）只有f（x）=0（定义域是关于原点对称的非空数集）既是奇函数又是偶函数.2。

周期性的三个常用结论对f(x）定义域内任一自变量的值x（a，b为非零常数）:(1)若f（x+a）=—f(x),则T=2a；(2)若f(x+a)=±1f(x)，则T=2a；（3)若f（x+a)=f（x—b），则T=a+b。

3.对称性的四个常用结论（1）若函数y=f（x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a—x）=f(x）或f(—x）=f（2a+x),则y=f（x）的图象关于直线x=a对称.（3）若函数y=f（x+b）是奇函数，即f（-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x）的图象关于点(b,0）中心对称;（4)若y=f（x）对任意的x∈R，都有f(a-x）=f（b+x)，则函数y=f（x)的图象关于直线x=a+b2对称;都有f（a-x）=b—f(x）,即f（a-x）+f(x）=b，则函数y=f（x)的图象关于点a 2,b2中心对称。

第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】---千里之行始于足下一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。