一元二次方程的解法--浙教版

13．[2019·海宁一模]对于实数 m，n，我们定义一种运算“※”为 m※n＝mn＋m ＋n. (1)化简：(a＋b)※(a－b)； (2)解关于 x 的方程：x※(1※x)＝－1. 解：(1)∵m※n＝mn＋m＋n， ∴(a＋b)※(a－b)＝(a＋b)(a－b)＋a＋b＋a－b＝a2－b2＋2a； (2)∵x※(1※x)＝－1， ∴x※(2x＋1)＝－1，∴x2＋2x＋1＝0， 解得 x1＝x2＝－1.
8．用配方法解下列方程： (1)[2018·义乌]x2－2x－1＝0； (2)x2－x－74＝0； (3)x2－2 2x＋1＝0； (4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：(1)移项得 x2－2x＝1， 配方得 x2－2x＋1＝1＋1， 即(x－1)2＝2，∴x－1＝± 2， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2；
(2)原方程可变形为 x2－x＋14＝2， 即x－122＝2，∴x－12＝± 2， 解得 x1＝12＋ 2，x2＝12－ 2； (3)原方程可变形为 x2－2 2x＋2＝1， 即(x－ 2)2＝1，∴x－ 2＝±1， 解得 x1＝ 2＋1，x2＝ 2－1； (4)原方程可变形为 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7， ∴x2－6x＋8＝0，∴(x－3)2＝1， ∴x－3＝±1，解得 x1＝2，x2＝4.
【解析】 配方得 x2－4x＋4＝16，
即(x－2)2＝16，解得 x1＝－2，x2＝6.故选 B.
6．填空：
10
(1)x2－20x＋100＝(x－_______)2；
18
(2)x2＋__x_____＋81＝(x＋9)2；
5
5
(3)y2＋5y＋(___2____)2＝(y＋_____2__)2；
(4)x2－52x＋(____54___)2＝(x－____54___)2；

浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》教案1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2.2节的内容。

本节主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。

通过本节的学习，学生能够熟练运用不同的方法解一元二次方程，并为后续学习更高难度的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的乘法、因式分解等基础知识。

但部分学生对于一元二次方程的解法可能还存在一定的困惑，特别是对于公式的运用和理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行解答和指导。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。

2.培养学生运用不同的方法解决问题的能力。

3.提高学生对于数学知识的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.教学难点：公式法的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题引导学生思考，运用案例讲解一元二次方程的解法，小组合作探讨问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例。

2.准备PPT，展示一元二次方程的解法。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法。

引导学生了解两种解法的原理和步骤。

3.操练（10分钟）让学生分组练习，运用因式分解法和公式法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。

其他学生听讲，加深对解法的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一元二次方程的解法？什么情况下适合使用因式分解法，什么情况下适合使用公式法？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的解法和应用。

用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 倍 速 课 时 学 练 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2 )2 =
= -q+( -q
)2
倍 速 课 时 学 练
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 ① ② X= ③ 3、代入求根公式 :
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
倍 速 课 时 学 练
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
倍 速 课 时 学 练
当 b2-4ac=0 时，一元二 方程有两个相等的实数根。

浙教版八下一元二次方程解法与十字相乘法练习一、知识框架定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．二、例题讲解解法一 ——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p≥0），那么平方法解形如（mx+n ）2=p （p≥0），那么p ＜0则方程无解自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）． （4）（5）； （6）； （7）；2225x =2(1)9x -=2(61)250x --=081)2x (42=--25(21)180y -=21(31)644x +=26(2)1x +=2. 关于的方程的根 ， ．3. 关于的方程的解为解法二——分解因式法 适用范围：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

解下列方程．（1）2x 2+x=0 （2）3x 2+6x=0上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x 2+x=x （2x+1），3x 2+6x=3x （x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x 2=11x （2）（x -2）2=2x -4例2．已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab+--的值．例3．（十字相乘法）我们知道x 2-（a+b ）x+ab=（x -a ）（x -b ），那么x 2-（a+b ）x+ab=0就可转化为（x -a ）（x -b ）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x 2-3x -4=0 （2）x 2-7x+6=0 （3）x 2+4x -5=0x 22291240x a ab b ---=1x =2x =x 22220x ax b a +-+=上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．一：用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2＋12x＝0；(5)4x2－1＝0；(6)x2＝7x；(7)x2－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2－x－3＝0；(11)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．解法三——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：：x 2+6x -16=0x 2+6x -16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x 1=2，x 2= -8像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q ；如果q ＜0,方程无实根． 用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x -=0例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y -6恒小于0.12三、课堂练习一元二次方程解法——因式分解、配方法1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．A ．（x -3）（x -5）=10×2， x -3=10，x -5=2， x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x -2）2=0， （5x -2）（5x -3）=0， x 1= ，x 2=C ．（x+2）2+4x=0， x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12．下列命题方程kx 2-x -2=0是一元二次方程；x=1与方程x 2=1是同解方程；方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；由（x+1）（x -1）=3可得x+1=3或x -1=3，其中正确的命题有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如果不为零的n 是关于x 的方程x 2-mx+n=0的根，那么m -n 的值为（ ）．A ．-B ．-1C ．D ．1 4．x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x -3）-5（x -3）因式分解的结果是______．5．方程（2x -1）2=2x -1的根是________．6．二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．8．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0（3）x 2-12x -28=0 （4）x 2-12x+35=09．已知（x+y ）（x+y -1）=0，求x+y 的值．25351212（二）1．配方法解方程2x 2-x -2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x -）2= B ．（x -）2=0 C ．（x -）2= D ．（x -）2= 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（x -a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y -6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）．A ．1B ．2C ．-1D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x -2）2+3B ．（x -2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-35．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m -2=0（m≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或97．方程x 2+4x -5=0的解是________．8.方程左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 9．代数式的值为0，则x 的值为________． 10．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．11．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x -4y+16的值总是_______数．12．如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．13．用配方法解方程．（1）9y 2-18y -4=0 （2）x 2x（3） （4）431389231389131091222103x x -+=2221x x x ---210x x +-=23610x x +-=（5） （6）14．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．15.用配方法证明：（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．（3）多项式的值总大于的值．16.用适当的方法解下列方程（1）x 2-4x -3=0 （2）（3y -2）2=36 （3）x 2-4x+4=0（4）()()2322+=+x x （5）(2x ＋3)2－25＝0.21(1)2(1)02x x ---+=22540x x --=21a a -+2982x x -+-42241x x --4224x x --（6） 02722=--x x （7）（x -1）2=2x -2 （8）6x 2-x -2=0（9）(3x+1)2=7（10）9x 2-24x+16=11（11）4(x+2)2-9(x -3)2=0（12）(x+5)(x -5)=3（13）3x 2+1=2x（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0。