四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题

成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期半期考试

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}

24|0log 1,|40A x x B x x A

B =<

<=-≤=，则（ ）

A.()01，

B.(]02，

C.()1,2

D.(]12， 2.设x R ∈,且0x ≠,“1

()12x >” 是“

1

1x

<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

3.已知动点P 到点(2,0)M -和到直线2x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．抛物线

B ．双曲线左支

C ．一条直线

D ．圆 4.下列结论中，正确的是（ ） A ．“2x >”是“220x x ->”成立的必要条件 B ．命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为假命题

C ．命题“2

:,0p x R x ∀∈≥”的否定形式为“2

00:,p x R x ⌝∃∈≥D ．已知向量,a b ，则“//a b ”是“0a b +=”的充要条件

5．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九

章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的3a =，则输入的,a b 分别可能为 （ ） A ．15,18 B ．14,18 C ．13,18 D ．12,18

6.过抛物线x y 42

=的焦点作两条垂直的弦,AB CD ，则=+CD

AB 11（ ） A ．2 B ．4 C ．

21 D ．4

1 7.过点(1,1)M 的直线与椭圆22

1x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）

8

9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11C D 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）

A ．

9

2

B ．．．10．如图所示，,,A B

C 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的三个点，AB 经过原

点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）

A B C ．32 D ．3

11.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中不正确的是（ ）

A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称；

B ．()y f x =的图像关于直线2

x π

=对称；

C ．()f x ；

D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数． 12. 设奇函数()f x 在R 上存在导数()f x '，且在()0,+∞上()2f x x '<，若331

(1)()(1)3

f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦ D ．11,,22⎛

⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥

⎢⎝⎦⎣⎭

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．

13．

2

1

1

dx x

+=⎰

⎰

. 14．在椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>中，斜率为k ()0k >的直线交椭圆于左顶点A 和另一点B ，点B

在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆离心率1

3

e =

，则k 的值为________． 15.若直线l ：1y kx =+与圆C ：23022

x y x +--=交于,A B ， 则AB 的最小值为 .

16.已知双曲线2

2

14

y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||

||

PM PF = .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)

已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且2441,1,a a S ++成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设112n n n n n

a a

b a a ++=

+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.（本小题12分）

设ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知3c =，且1

sin()cos 6

4

C C π

-⋅=

. （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求,a b 的值. 19．（本小题满分12分）

如图1，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，1

22

BC AD =

=，60A ∠=︒， E 为AD 中点，点,O F 分别为,BE DE 的中点．将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图2）．

（Ⅰ）求证：1

AO CE ⊥； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1

ACE 所成角的正弦值； （Ⅲ）侧棱1AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面1AOF ? 若存在，求出11A P

A C

的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题12分） 已知函数()x

f x e x =- （Ⅰ）求()f x 的极小值；

（Ⅱ）对()0,x ∀∈+∞，()f x ax > 恒成立，求实数a 的取值范围.

E

C

D

B

A

图 1

B

F

O

C

D

A 1

E 图2