函数概念与基本性质-电子教案第一章：函数的概念1.1 函数的定义介绍函数的概念解释函数的几个基本要素：自变量、因变量、函数值、定义域、值域举例说明函数的性质和特点1.2 函数的表示方法解析式表示法：代数表达式、图像表示法：坐标系中的曲线、表格表示法：列表第二章：函数的性质2.1 函数的单调性单调递增函数和单调递减函数的定义利用图像和导数判断函数的单调性2.2 函数的奇偶性奇函数和偶函数的定义利用图像和函数表达式判断函数的奇偶性第三章：函数的图像3.1 图像的画法利用描点法、平移法、对称法等方法画出常见函数的图像3.2 函数图像的变换上下平移、左右平移、缩放变换第四章：函数的极限4.1 极限的概念函数极限的定义和性质左极限、右极限和极限的一致性4.2 极限的计算常见极限的求法：0.999=1、sinx/x、e^x/x等第五章：函数的连续性5.1 连续函数的定义函数在某一点的连续性的定义连续函数的性质和特点5.2 连续函数的判断与性质利用图像、极限和导数判断函数的连续性连续函数的重要性质：介值定理、闭区间连续函数取值定理第六章：导数与微分6.1 导数的定义引入导数的概念，解释导数的几何意义和物理意义利用极限的定义求函数在某一点的导数6.2 导数的计算基本导数公式和求导法则：和差、积、商的导数，链式法则，反函数的导数高阶导数的概念和计算方法第七章：函数的单调性与极值7.1 单调性利用导数判断函数的单调区间函数的单调性与单调区间的关系7.2 极值极值的概念：极大值、极小值利用导数求函数的极值：构造函数、求导判断、验证极值第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程切线的定义和性质利用导数求函数在某一点的切线方程：斜率、点斜式、一般式8.2 法线方程法线的定义和性质利用导数求函数在某一点的切线法线方程：斜率、点斜式、一般式第九章：导数在实际问题中的应用9.1 运动物体的速度与加速度速度、加速度与导数的关系利用导数解决运动物体的速度与加速度问题9.2 函数的优化问题利用导数求函数的最值：一元函数、多元函数实际问题中的最大值和最小值问题：成本、收益、利润等第十章：泰勒公式与导数逼近10.1 泰勒公式的定义与展开泰勒公式的概念和意义利用泰勒公式展开函数：线性项、平方项、高阶项10.2 导数逼近利用泰勒公式逼近函数的导数：误差估计、逼近程度实际问题中的导数逼近方法：数值逼近、图形逼近重点和难点解析1. 函数的概念与表示方法：理解函数的基本要素，如自变量、因变量、函数值、定义域、值域，以及函数的解析式表示法、图像表示法和表格表示法。
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。
()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。
变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。
()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。
y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。
内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。
内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。
(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。
