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高一数学教案复习函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在数理科学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。
高一学生正处于数学基础知识的学习和掌握阶段，因此对于函数的基本概念与性质的复习显得尤为重要。
本篇教案将细致地介绍函数的基本概念和常见的性质，以帮助学生加深对该知识点的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是指两个集合之间的一种特殊关系，其中每个元素（自变量）在定义域内只对应一个元素（因变量）。
为了确定一个函数，我们需要明确以下几个要素：1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。
需要注意的是，函数的定义域可以是实数集、整数集或自然数集等不同数集。
1.2 关系式或图表函数可以通过关系式或图表的形式来表示。
关系式是指将自变量和因变量之间的关系用式子表示出来，如y = 2x + 3；图表则是将自变量和因变量的对应关系用表格或图像呈现出来。
1.3 函数的特性函数可以通过一些特性来描述和判断，比如奇偶性、单调性、周期性等。
这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
二、函数的性质与图像除了基本概念之外，函数还具有一些常见的性质。
下面我们将介绍一些关于函数性质的重要内容，并通过图像来进一步说明。
2.1 奇偶性一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2.2 单调性单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。
如果函数在某一区间上递增，那么它是递增函数；如果函数在某一区间上递减，那么它是递减函数。
2.3 周期性周期函数是指在一定区间内，函数的值按照一定规律重复出现。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
周期可以通过函数的图像来观察和确定。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学上，函数可以用于解决各种数学问题，如方程的求解、不等式的证明等。
函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。
在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。
通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。
本文将介绍函数图像的基本特征与应用。
一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。
1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。
其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。
在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。
2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。
如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。
如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。
偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。
4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。
周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。
5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。
函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。
二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。
以下是几个常见的应用。
1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。
当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。
同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。
函数值域定义域问题： 1的值域求函数x x y-+-=53 2的值域求函数322122+-+-=x x x x y 分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如fex dx c bx ax y ++++=22m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，注意（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式（2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到） 3的值域求函数xx y cos 3sin 1++= 函数单调性问题：1. 若()x x x x f +-++=11lg 21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x x f ＜21的解集为 2.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）.A )10(， .B )2,1( .C )2,0( .D ),2[+∞3.已知函数，讨论函数的单调性；函数奇偶性问题：1判断下列函数奇偶性 <1>32()1x x f x x -=-; <2> 判断()(f x x =-2已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +-1()2004f +1()2005f + 3已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）任意t R ∈，22(2)(2)0f t t f t k -+-< 成立，求k 的取值范围； 函数的对称性问题1.已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点（ ） A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2）D. （4，-2） 2. x ∈R ，恒有)21()21(x f x f --=+成立，当1(0,)2x ∈时,()4x f x =,则3()4f =___________． 3. 若函数f(x)的图象与g(x)=2x-1的图象关于直线y=x+1对称，则函数f(x)的解析式为f(x)=_______________ 函数的周期性问题1 已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x －2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝2对称；②若f （x +2）＝－f （x －2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y ＝f （2+x ）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称； 1ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f④函数y ＝f （x －2）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称. 其中正确的命题序号是 ④ . 2若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为___________ 3 设)(x f 是偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 21)(-=，则=)6.8(f __。
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
大一数学函数知识点归纳数学函数是大一学生学习数学必不可少的知识点。
函数是描述两个数集之间对应关系的一种工具，具有广泛的应用价值。
下面将对大一数学函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的定义与表示方式函数是一种映射关系，通常表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用多种方式表示，包括函数图像、函数表格和函数公式等。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性指函数关于坐标轴的对称性，可用函数的公式来判断。
3. 单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减性质，可通过导数或函数的图像来判断。
4. 周期性：具有周期性的函数在一定范围内的取值规律是相同的，可用函数的公式或函数的图像来判断。
5. 特殊函数：特殊函数包括常数函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们具有特殊的性质和图像。
三、函数的运算与复合函数1. 四则运算：函数可以进行加减乘除等运算，保持函数性质。
2. 反函数：若函数f(x)的定义域、值域与f(x)相互对应，则称f(x)的反函数为f^(-1)(x)。
3. 复合函数：当一个函数的自变量是另一个函数时，可以得到复合函数，如f(g(x))。
四、函数的极限与连续性1. 函数的极限：函数的极限是函数在某一点或无穷远处的取值情况，常用于描述函数的趋势。
2. 函数的连续性：函数在某一点连续表示函数在该点的函数值与它的极限值相等。
五、函数的导数与微分1. 函数的导数：函数的导数表示函数在某一点的变化率，可用于刻画函数图像的斜率。
2. 函数的微分：函数的微分表示函数在某一点附近的局部线性逼近。
六、常见函数的应用1. 刚体运动：位移、速度、加速度等物理量可用函数来描述。
2. 统计学：概率密度函数、累积分布函数等统计函数在数据分析中具有重要应用。
3. 经济学：成本函数、收益函数等在经济学中用于分析成本与收益的关系。
函数性质知识点总结函数是数学中的常见概念，它是描述变量之间关系的一种数学工具。
函数性质是指函数在定义域上所具备的特征和特点。
在学习函数性质时，我们经常需要了解函数的定义和图像，以及它们在数轴上的位置和形状。
这篇文章将总结函数性质的几个重要知识点。
1.定义域和值域：函数的定义域是指函数中所有自变量可能取值的集合，即可以使函数有意义的自变量的范围。
函数的值域是指函数所有可能取值的集合，即函数的输出值的范围。
在研究函数性质时，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便分析函数的特点。
2.单调性：函数的单调性是指函数在定义域上取值的变化趋势。
函数可以是递增的，即随着自变量的增大，函数的值也增大；也可以是递减的，即随着自变量的增大，函数的值减小。
我们可以通过函数的导数或斜率来判断函数的单调性。
3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。
如果对任意x，都有f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；如果对任意x，都有f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数既不是偶函数也不是奇函数。
4.周期性：函数的周期性是指函数具有以一些常数T为周期的特点。
如果对任意x，都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，而T是函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。
5.极值点和极值：函数的极值点是指函数在定义域上取得的最大值或最小值的点。
函数的极值是指函数的最大值或最小值。
我们可以通过求解函数的导数等于0的方程来找到极值点。
极大值是函数的局部最大值，极小值是函数的局部最小值。
6.零点和方程：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
我们可以通过解函数的方程来找到函数的零点。
函数的方程是指使函数等于一个常数的方程。
例如，如果我们要找出一个多项式函数的零点，我们就需要解多项式方程。
7.渐近线：函数的渐近线是指函数图像在一些特定位置或方向上的趋势。
常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
函数的定义及性质专题复习一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应，其中一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。
函数可以用符号表达，通常表示为f(x)，表示x在函数f中的映射。
1.定义域：函数的自变量（也称为输入）可以取值的集合。
2.值域：函数的因变量（也称为输出）可以取值的集合。
3.对应关系：定义域中的每个元素都与值域中的唯一元素相对应。
二、基本性质1.定义域和值域：定义域和值域确定了函数的输入和输出的范围。
2.单调性：函数在定义域中的一些区间上是单增还是单减，可以用导数的正负来判断。
3.奇偶性：若函数满足f(-x)=f(x)，则称为偶函数；若函数满足f(-x)=-f(x)，则称为奇函数。
4.周期性：若存在常数T，使得对于所有x∈定义域，有f(x+T)=f(x)，则称函数有周期T。
5.有界性：函数是否有上界或下界，或者说是否在定义域上有最大值和最小值。
6.连续性：函数在定义域上是否存在间断点，可以通过极限的存在与否来判断。
7.极值与最值：函数在定义域上的最大值和最小值称为最值；而函数在特定点处的导数为零，且导数的符号发生变化，这个点称为极值点。
8.对称性：函数关于一些轴或一些点是否对称，可以用函数关于直线或点的性质来判断。
9.反函数：若函数f将自变量x映射到因变量y，反函数f^{-1}将因变量y映射回自变量x。
三、常见函数类型1. 线性函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，且斜率等于a，截距等于b。
2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为常数。
幂函数的图像根据系数n的正负性和大小而有所不同。
3.指数函数：f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1、指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特征。
4. 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1、对数函数是指数函数的反函数，图像是对应指数函数图像的镜像。
函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．xy 1= 5．幂函数：)(Q a x y a ∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
如：d cx bx ax y +++=23，x x y 2log 1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。
二．定义域：1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1）23()lg(31)1x f x x x=++- （2）)25(log sin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。
三．值域：1．①432+=x x y ②11y 22+-=x x2． ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x x x x y ④1sin 10sin 7sin 2+++=x x x y3． ①2123y x x =++； ②22422--=x x x y4． ①12-+-=x x y ； ②12y x x =--5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S 的最大值。
③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6．函数23x x 21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。
练习：已知二次函数bx ax x f +=2)( 满足0)2(=f 且方程x x f =)(有等根。
（1）求)(x f 的解析式；（2）问是否存在实数n m ,)(n m <使)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]2,2[n m 。
如存在，求出n m ,的值，若不存在说明理由。
答案：(1)x x x f +-=221)(，（2）m=-2,n=07．已知函数12)(22+++=x cbx x x f （b<0）的值域为[1，3]，求实数b ，c 的值。
8．（07浙江理）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）CA ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞9．已知 3()2log f x x =+1(9)81x ≤≤，求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值。
小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。
难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。
四．单调性：1．单调性的证明： （1）定义法：例 判断函数)()(3R x x x f ∈-=的单调性，并用定义证明。
练习：已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(--在)(x f 的反函数图像上。
（1）求)(x f 的反函数)(1x f-；（2）证明)(1x f -在定义域内是减函数。
答案：（1）]1,4[,224)(21-∈-+-=-x x x x f2．单调性的简单应用：例 （1）函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________（2）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则a 的取值范围是_________练习：若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是____________________ 高考真题：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1[,1)7解：依题意，有0<a <1且3a －1<0，解得0<a <13，又当x <1时，（3a －1）x ＋4a >7a －1，当x >1时，log a x <0，所以7a －1≥0解得x ≥17故选C例 已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）DA ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0(例 设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下述命题：①)(x f 有最小值；②当0=a 时，)(x f 的值域为R ；③当0>a 时，)(x f 在区间),2[+∞上有反函数；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a 则其中正确的命题是_____________（要求：把正确命题的序号都填上）例 函数)(x f 对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时，1)(>x f ， ⑴求证：)(x f 在R 上是增函数；⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 五．函数的奇偶性：常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
例 设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 【解析】A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定，C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。
例 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .解：当x ∈(0,+∞) 时，有-x ∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x 4 ．从而应填-x-x 4．例 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。
又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-练习：已知函数1().21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。
解析：函数1().21xf x a =-+若()f x 为奇函数，则(0)0f =，即01021a -=+，a =21.例 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；例 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______六．函数的周期性： （一）要点：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和b x =)(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期3． 若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于点)0,(a )0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期4．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 4是它的一个周期5．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期 （二）例题讲解：例1 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f = _______________。
