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“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

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1
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

题 号 一 二 三 总 分
1～5 6～10
11 12 13 14

得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为
A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代
号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设71a，则代数式2212aa的值为( ).
（A）-6 （B）24 （C）4710 （D）4712

2．在同一直角坐标系中，函数xky（0k）与kkxy（0k）的图象大
致是

（A） （B） （C） （D）
3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等
腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ）

（A）1 （B）7 （C）10 （D）15
2

4．若1x，0y，且满足3yyxxyxxy，，则xy的值为( ).
（A）1 （B）2 （C）92 （D）112
5．设3333111112399S，则4S的整数部分等于( ).
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。
7．若关于x的方程2(2)(4)0xxxm有三个根，且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .
8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另
一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷
这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .
9．如图，点AB，为直线yx上的两点，过AB，两点分别作y轴的平行线交双
曲线1yx（x＞0）于CD，两点. 若2BDAC，则224OCOD 的值
为 .

10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，
且其边长为12，则△ABC的周长为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知：不论k取什么实数，关于x的方程1632bkxakx（a、b是常
数）的根总是x＝1，试求a、b的值。

（第9题） （第10题）
3

12.已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程
2
0xaxb
的两个根都大1，求abc的值.

13．如图，点A为y轴正半轴上一点，AB，两点关于x轴对称，过点A任
作直线交抛物线223yx于P，Q两点.
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线
PQ

的函数解析式.

（第13题）
4

14如图，△ABC中，60BAC，2ABAC．点P在△ABC内，且
352PAPBPC，，
，求△ABC的面积．

（第14题）
5
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A
二、填空题

6. 2(1)a 7．3＜m≤4. 8．19. 9．6. 10．84
三、解答题
11. 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a

要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有02704ab
解之得 27a，4b
12．解：设方程20xaxb的两个根为，，其中，为整数，且

≤，则方程20xcxa的两根为11，，由题意得


11aa，
，

两式相加得 2210，
即 (2)(2)3，

所以 2123，； 或2321.，

解得 11，； 或53.，
又因为[11]abc（），，（）（）， 所以
012abc，，；或者8156abc，，
，
故3abc，或29.

13．解：（1）如图，分别过点PQ，　作y轴的垂线，垂足分别为CD，　.
6

设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）.
设直线PQ的函数解析式为ykxt,并设PQ，的坐
标分别为 PPxy（，）,QQxy（，）.由

2
2
3

ykxtyx，

，

得 2203xkxt，
于是 32PQxxt，即 23PQtxx.

于是 222323PPQQxtytBCBDytxt22222()333.222()333PPQPPQPQQPQQQPxxxxxxxxxxxxxx
又因为PQxPCQDx，所以BCPCBDQD.
因为∠BCP∠90BDQ，所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ.
（2） 设PCa，DQb，不妨设a≥b>0，由（1）可知
∠ABP=∠30ABQ，BC=3a，BD=3b，
所以 AC=32a，AD=23b.
因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.

于是PCACDQAD，即3223aabb，
所以3abab．
由（1）中32PQxxt，即32ab，所以33322abab，，
于是可求得23.ab

（第13题）
7

将32b代入223yx，得到点Q的坐标（32，12）.
再将点Q的坐标代入1ykx，求得3.3k
所以直线PQ的函数解析式为313yx.
根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为313yx，或313yx.
14．解：如图，作△ABQ，使得
QABPACABQACP，，
则△ABQ∽△ACP .
由于2ABAC，所以相似比为2.
于是
22324AQAPBQCP，
．
60QAPQABBAPPACBAPBAC
.
由:2:1AQAP知，90APQ，于是33PQAP．
所以 22225BPBQPQ，从而90BQP．
于是
222
()2883ABPQAPBQ
.

故 213673sin60282ABCSABACAB．

（第14题）

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2011全国初中数学竞赛试题解答

2011全国初中数学竞赛试题解答

1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ）A 、24B 、25 （63）C 、1074+ （） D 、1274+ （）解法一：直接思维：直接代入进行计算。

立方计算，很费时间。

原式=333123(81)(861)(4411)66a +--=⨯=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1）原式=3a 3+3a 2+9a 2+9a-15a-15+3=（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3=[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3=6a 2+12a+6-18=42-18=24解法三：构造：（a+1）2原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12=3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。

24=3×8原式除以3得：a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4=a 2+2a+2=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+4a 2-2a-4=a(6-2a)+4(6-2a)-2a-4=-2a 2-4a +20=-2(6-2a)-4a +20=8赛点：1、两数和的平方、两数立方和的公式及其拆分、组合、变换 2、平方根式的运算3、因式分解4、构造的思想方法5、猜想的思想方法())()))))())323222222312612=3+1+12615=3111261511261534253482153185524a a aa a aa a a a aa a a aa a+----+-++--=-++--⎡⎤=-+-⎣⎡⎤=--++⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦=2、对于任意实数dcba,,,，定义有序实数对（ba,）与（dc,）之间的运算“△”为：（ba,）△（dc,）=（bcadbdac++,）。

2011年全国初中数学竞赛预赛试题含答案

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2011年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．如果2121≤≤-x ，则=+-+++14414422x x x x （ B ） （A ）x 4 （B ）2 （C ）2- （D ）x 42-2．如果多项式201142222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ A ）（A ） 2008 （B ） 2009 （C ） 2010 （D ） 20113．已知四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.则AB 的长为（ C ） （A ） 3 （B ） 34（C ）334 （D ） 3434．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。

开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（ D ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）15．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。

设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ A ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分. ）BACD6．从分数组{}111111,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是 ． 解：11810与7．如果我们把y x *定义为)1)(1(++=*y x y x ，2*x 定义为x x x *=*2，那么多项式12)(32+*-**x x ，当2=x 时的值为 .解：328．将54321，，，，这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种。

2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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４ 如 图 ， 知 ＡＢ 是 ｏ （ ． 已 ）的
Ｄ， Ｆ， Ｍ 为 ＡＢ 的平 分 线 ， Ｐ 的延 长 线 交 Ａ ￡， Ｂ Ｃ Ｍ Ｂ
Ｃ
于 点 Ｎ． 果 ＰＤ—ＰＥ＋ ＰＦ， 证 ： 如 求 ＣＮ 是 ＡＣＢ 的 平分线．
直 径 ， Ｃ 与 Ａ 交 于 点 Ｅ， 弦 Ｄ Ｂ 过 点 Ａ 作 圆 的切 线 与 Ｃ 的 延 长 Ｄ
ＡＥ 的 延 长 线 于 点 Ｈ ． 由 Ｄ 为 ＡＣ 的 中 点 ， ＣＨ ＝２ 知 ＦＤ． 由分 析 ２， ＢＦ＝ ４ ＦＤ．
由 ：Ｂ ＿ ③ 圈２ Ａ
、
ＳｎＡ Ｆ ￣
④ 得 ＢＥ一２ ＥＣ．
＠ 芝
注 该证法灵活运用三角形面积比 及三 罐
角 形 相 似 的 性 质 ， 开 生 面 ， 截 了 当． 别 直 继 续 探 究 ， 有 其 它 的 证 法 ， 用 梅 涅 劳 还 如
一
２ 二 次 函数 一２ ＋６ ． １ ７ ｚ＋Ｃ的 图像 的 顶 点 为 Ｄ， 与
２轴 正 方 向 从 左 至 右依 次 交 于 Ａ ， ２ Ｂ两 点 ， Ｙ轴 正 方 与
向 交 于 ｃ点 ， △ ＡＢＤ 和 △ ＯＢＣ 均 为 等腰 直 角 三 角 若 形 （）为坐 标 原 点 ） 则 ６ ｃ （ ， ＋２ ＝ ．
二 、 空 题 ：本 题 满 分 ２ 填 （ ８分 ， 每小 题 ７分 ）
１ 在 △ ＡＢＣ 中 ， 知 Ｂ 一 ２ Ａ ， ． 已 ＢＣ一 ２， ＡＢ一 ２ ＋２ ， 则 Ａ 一 ．
三 、 本 题 满 分 ２ 分 ） 知 ｍ， 为 正 整 数 ， （ ５ 已 ， ｍ＜
一６ 。 ＥＦＧ＝Ｉ 。ＦＧ上ＢＣ， ＡＥ＝ （ ０ ５， 则 ）
２ 已 知 △ ＡＢＣ 的两 条 高 线 的 长 分 别 为 ５和 ２ ， ． Ｏ
2011年全国初中数学竞赛初赛试卷

2011年全国初中数学竞赛初赛试卷

2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）数 学 试 卷一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母1．设xy ＜0，x ＞|y |，则x+y 的值是A. 负数B. 0C. 正数D. 非负数 2．若(x +3)(x +n )=x 2+mx -15，则m 等于 A. -2B. 2C. -5D. 53．若0||=+a a ，则化简22)1(a a +-的结果为A ．1B ．-1C ．12-aD ．a 21- 4．无论m 为何实数，直线y=x +m 与y=-x -4的交点不可能在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是A ．92B ．94 C ．95D．32 6．A 地在河的上游，B 地在河的下游，若船从A 地开往B 地速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，则A 、B 两地间往返一次的平均速度为A ．221v v +B ．21212v v v v + C ．212v v + D ．21212v v vv +7. 图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离(y )与时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是B.图1A.C.D.8．如图2，AB是坡角为30°的山坡上铅直的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为A．4米 B．6米 C．8米 D．10米9．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA=AD，且OB=OC=OD=1，则该菱形的边长为A．51+B．251-C．1 D．210．根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300 km的点O处（如图4），正以20 km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250 km范围内都会受到影响，若台风移动的方向不变，A市将会受到台风的影响，则A市受影响持续的时间是A．10小时 B．20小时 C．30小时 D．40小时二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（0≠n）是关于x的方程022=++nmxx的根，则nm+的值为 .12．若03=+ba，则22222(1)24b a ab ba b a b++-÷=+-．13．某校为了解初三女学生的体能，随机抽查30名初三女学生，测试1分钟内仰卧起坐的次数，并绘制成（如图5）所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．14．如图6，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________．15．已知二次函数的图象经过原点及点1124⎛⎫--⎪⎝⎭，，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．16．图7中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O点20 cm，滑块B距O点15 cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了_________．12953图51ABC图6A BCDO图3 图4图7图217．如图8，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD的度数是90°，则∠B 的度数是_________． 18．如图9，将长为4 cm 宽为2 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处 压平后得到折痕MN ，则当点E 是CD 的中点 时，线段AM 的长度为__________． 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图10，正方形ABCD 的边长为1，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 边上的一个动点（点P 不与点A 、B 重合），CP 与BD 相交于点Q ． （1）若CP 平分∠ACB ，求证：AP =2QO ． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.① 把线段PC 绕点P 旋转90°，使点C 落在点E 处，并连接AE ．设线段BP 的长度为x ，△APE 的面积为S . 试求S 与x 的函数关系式； ② 求出S 的最大值，判断此时点P 所在的位置．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程图9BEACBDO图8C DABCDPOQ 图10火车票至少．．需11220元，并且学生家长与教师的人数之比为2∶1．文昌到三亚的火车票价格（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票只能买到x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？。