人教版数学高二A版选修4-5素材4.2用数学归纳法证明不等式

庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实：假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确.完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k+1)>g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？ 典题·热题知识点一： 命题的结构特征例1 求证：6531312111>+++++++n n n n ,n≥2,n ∈N . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，k31不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾.根据此分母的特点，在3k 后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了131+k ,231+k ,331+k 共三项，而不是只增加)1(31+k 一项.证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=31+41+51+61>65，不等式成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即65312111>+++++k k k .则当n=k+1时，)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k=)11331231131(312111+-+++++++++++k k k k k k k >)11331231131(65+-++++++k k k k >65)113313(65)11331331331(65=+-+⨯+=+-++++++k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立. 误区警示错误的思维定式认为从n=k 到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，S n =1+21+31+…+n1,n ∈N ， 用数学归纳法证明：n S 2>1+2n,n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k 项，而不是只增加了121+k 这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（Ⅰ）当n=2时，22S =1+21+31+41=1+>12131+22， ∴命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即k S 2=1+21+31+…+2121k k +>. 则当n=k+1时，12+k S =1+21+31+…+12122112121+++++++k k k k >1+111121212121212211212++++++++>++++++k k k k k k k k2112121212211++=++=⨯++=+k k k k k 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N 均成立. 方法归纳本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k 到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二： 比较法 例3 求证：1+21+31+…+n 1≥12+n n . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明1)1()1(2112+++>++k k k k ，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=1112+⨯，左式=右式; 当n=2时，左式=1+21=23,右式=1222+⨯=34;23>34,左式>右式. ∴当n=1或n=2时，不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时，不等式成立，即 1+21+31+…+121+≥k k k . 则当n=k+1时， 左式=1+21+31+…+1121112111++=+++≥++k k k k k k k . ∵)2)(1(1)1()1(2112++=+++-++k k k k k k k >0, ∴1)1()1(2112+++>++k k k k =右式. 由不等式的传递性，可得左式>右式， ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n ∈N ,不等式都成立. 误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定. 知识点三： 放缩法 例4 证明：n n21312111<++++，n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，在证明12112+<++k k k 时，使用了均值定理进行放缩. 证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=223212211=+<+，右边=22. ∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k 时，不等式成立，即k k21312111<++++. 当n=k+1时，112111312111++<++++++k k k k1211)]1([1112112+=++++<+++•=+=<k k k k k k k k k ∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.知识点四： 转化等价命题例5 数列{a n }的通项公式为a n =3n+2，将数列{a n }中的第2,4,8,…,2n 项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，记其前n 项和为S n ,T n =n(9+a n )，当n ≥4时，证明S n >T n . 思路分析：要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化. 证明：∵a n =3n+2， ∴n a 2=3×2n +2，∴S n =a 2+a 4+a 8+…+a n a 2=3(2+4+8+…+2n )+2n=3×2n+1+2n-6. 而T n =n(9+a n )=3n 2+11n. 要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ， 即证2n+1>n 2+3n+2. 用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S 4=98,T 4=92,S 4>T 4成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2k+1>k 2+3k+2，那么 2k+2-［(k+1)2+3(k+1)+2］>2(k 2+3k+2)-(k 2+5k+6) =k 2+k-2=(k+2)(k-1).∵k≥4,∴(k+2)(k-1)>0.∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，S n >T n 也成立. 由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,S n >T n 都成立. 方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1>n 2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的. 巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1>n 2+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时， 2n+1=2·2n =2(1+1)n=2(11210n n n n n n C C C C C +++++- ) ≥2(11210n n n n n n C C C C C ++++-)=n 2+3n+4 >n 2+3n+2.知识点五： 单调性例6 已知数列{a n }中，所有项都是正数，且a n+1≤a n -a 2n ，求证：a n <n1. 思路分析：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a k <k1. 则当n=k+1时，a k+1≤a k -a 2k =a k (1-a k )，∵a k <k1， ∴1-a k >1-k 1=kk 1-.由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k 到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x 2+x 的单调性进行证明：函数f(x)=-x 2+x 的最大值为f(21)=41，且在(-∞,21］上为增函数.证明：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立.而a 2≤a 1-a 12=f(a 1)≤41<21，故n=2时命题也成立. （Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，命题成立，即a k <k1，因为函数f(x)=-x 2+x 在(-∞,21］上为增函数，所以由a k <k 1≤21及a k+1≤a k -a 2k 得a k+1≤f(a k )<f(k 1)=21k -+k 1=21k k -<11112+=--k k k ,即a k+1<11+k ， 所以当n=k+1时，命题也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，a n <n1. 知识点六： 活用起点的位置 例7 已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈［41,21］时，f(x)≥81. （1）求a 的值； （2）设0<a 1<21,a n+1=f(a n ),n ∈N *,证明:a n <11+n . 思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=23-a 2n +a n 的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解：由于f(x)=ax 23-x 2的最大值不大于61,所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.又x ∈［41,21］时f(x)≥81, 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥.813234,81832,81)41(,81)21(a a f f 即解得a≥1. ∴a=1.(2)证明：（Ⅰ）当n=1时，0<a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立； 因f(x)>0,x ∈(0,32),所以0<a 2=f(a 1)≤61<31,故n=2时不等式也成立.（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，不等式0<a k <11+k 成立， 因为f(x)=x-32x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0,31］为增函数，所以由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ),于是有0<a k+1<11+k -32·21)2()1(24212121)1(122+<+++-+=+-+++k k k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，不等式a n <11+n 成立.方法归纳将起点的位置推移至2的目的，就是要将a k 和11+k 置于函数f(x)的单调区间［0,31］内，从而由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ). 问题·探究交流讨论探究问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x ）n ＞1+nx 的证明，如果我们加强条件，如：已知x ＞-1，且x≠0，n ∈N ，n≥2.如何来证明不等式（1+x ）n ＞1+nx.证明的方法有哪些呢？ 探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x ）2=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因x 2＞0，则原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx. 现在要证的目标是（1+x ）k +1＞1+（k+1）x ，请同学们考虑.同学甲：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有（1+x ）k +1=（1+x ）k （1+x ）.因为x ＞-1（已知），所以1+x ＞0,于是（1+x ）k （1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）.同学乙：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x. 显然，上式中“=”不成立.故只需证：（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 老师：证明不等式的基本方法有哪些？同学丙：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.老师：在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用.同学丁：证明不等式（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x ，可采用作差比较法.（1+kx ）（1+x ）-［1+（k+1）x ］=1+x+kx+kx 2-1-kx-x=kx 2＞0（因x≠0，则x 2＞0）. 所以，（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 同学甲：也可采用综合法的放缩技巧.（1+kx ）（1+x ）=1+kx+x+kx 2=1+（k+1）x+kx 2.因为kx 2＞0，所以1+（k+1）x+kx 2＞1+（k+1）x ，即（1+kx ）（1+x ）＞1+（1+k ）x 成立. 老师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.探究结论:在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），并借助于其他数学方法（如分析法、比较法、综合法、反证法等）.问题2 我们在证明不等式的时候，常用放缩法的技巧来达成目的，可在具体的题目中究竟如何放缩还要视具体的题目而定，我们不妨来看看这样一个命题的证明，求证：2上标n+2＞n 2，n ∈N .探究过程:老师：（1）当n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边.所以原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥1且k ∈N ）时，不等式成立，即2k +2＞k 2. 现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立. 同学甲：利用归纳假设2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2·k 2-2.老师：将不等式2k 2-2＞（k+1）2，右边展开后得k 2+2k+1.由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k 2+2k+1方向进行转化，即2k 2-2=k 2+2k+1+k 2-2k-3.由此不难看出，只需证明k 2-2k-3≥0，不等式2k 2-2＞k 2+2k+1即成立.同学乙：因为k 2-2k-3=（k-3）（k+1），而k ∈N ，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立.老师：不成立的条件是什么？同学乙：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立.老师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立.那么，n=3时是否也需要论证？同学丙：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立.老师：通过上例可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.探究结论:设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定.。