互为反函数的两个函数图像间的关系

作业与练习：
(1)练习：已知函数f ( x ) kx b的图像 过点（ 1， 2 ），它的反函数的图像 过 点（ 4， 0 ）试求f ( x )的解析式。
（2） 作业：p64 4, 5.
(3) 金版名卷：反函数A卷
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互为反函数图像间的关系
一。知识回顾：
反函数的求法:
①反解→②互换→③注明定义域
原函数 反函数
表达式： 定义域： 值域：
y=f(x) A
y=f –1(x) C
C
A
二、图像的对称性
例1 求函数 y 3 x 2( x R )的反函数; 在同一坐标系中画出原 函数 和它的反函数的图像。
y2 解：由 y 3 x 2, 的x 3 y 3 x 2的反函数是 x2 y ( x R) 3
一 一对应
R
… … 1 1 x 2 4 y -2 -8 … … y2 x 3
y=3x-2 R
思考：
1.下列函数是否具有反函数？并由此 归纳具有什么条件的函数有反函数？ （1） y=x2 ； （2）y=x2 (x≤0)。
2.互为反函数的两个函数的解析式是 否一定不同？试举例说明。
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点；交点都在直线y=x上吗？
B(-2,0)
A(0,-2)
图像关于直线 y=x对称
3 例2 求函数 y x ( x R )的反函数; 在同一坐标系中画出原 函数 和它的反函数的图像。
3 解： y xx 的反函数为 y
x( x R)
结论： (1)函数 y f ( x )的图像和他的反函数 1 y f ( x )的图像关于直线 y x对称

y x2 3
主讲：罗军
2.4.2互为反函数的图象关系
原函数与反函数的图象的关系： 函数y=f(x)的图象与它的反函数 y f
1
( x) 的图象关于直线对称。
注意： （1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，没有经过严格的证明， 现在作要求。 （2）这一结论是在同一坐标下，其横轴与纵轴长度单位一致的情 况下得出的；
1
主讲：罗军
2.4.2互为反函数的图象关系
5 y f 1 ( x 1) 1 x 1 5 x 1 y 1 y 1 5 1 ( x 1) f ( x 1) 的反函数 g ( x) 1 x 1 5 9 g (5) 1 4 4 另解： g ( x ) 是 f 1 ( x)( x 1) 的反函数。 g (5) 其实等于 f 1 ( x 1) 5 时的x的值，
2.4.2互为反函数的图象关系
例2、已知函数
b f ( x) ax b ( x ) 的图象过点（1，2）， a
它的反函数图象也过此点，求函数f（x）的解析式。
y2 b 解法一：由 y ax b 得 x a b 所以，当 x 时， y 0 a b 所以，函数 f ( x ) ax b ( x ) 的反函数是 a 2 x b f 1 ( x ) ( x 0) a 1 有，点（1，2）既在函数f（x）上，也在函数 f ( x) 上， 2 a b a 3，b 7 1 b 2 a 7 f ( x ) 3 x 7 ( x ) 所以函数 3
1 y f ( x ) y f ( x) 的图象关于直线 y x 对 （3）函数 与 1 称，而不是函数 y f ( x ) 与 x f ( y ) 的图象关于 直线 y x对称。

反函数基础概念 一、基础知识概述本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．二、重难点知识归纳1、反函数的概念： （1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称，即点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在)(1x f y -=图象上．（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．2、反函数的性质： （1）)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)(x f y =也是)(1x f y -=的反函数，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数．（2）函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数)(x f y =是定义域到值域的一一映射．（3）函数)(x f y =和反函数)(1x fy -=的定义域，值域互换，即：函数)(x f y = 函数)(1x f y -= 定义域A C 值域C A 3、互为反函数的图象关系：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称． 4、反函数与函数的其它性质的联系：（1）反函数与原函数：x x ff =-)]([1，x x f f =-)]([1． 注意：)]([11x ff --并不是反函数的反函数，而是)(1x f y -=与自身形成的复合函数，谨防出现)()]([11x f x f f =--的错误作法．（2）反函数与单调性：如果函数)(x f y =有单调性，则反函数)(1x f y -=也有与)(x f y =一致的单调性，即)(x f y =在],[b a 上为增函数，则)(1x f y -=在)](,)([b f a f 上为增函数；)(x f y =在],[b a 上为减函数，则)(1x f y -=在)](,)([a f b f 上为减函数．典型例题例1、求下列函数的反函数：（1）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(1)(2x x x x x f ；（2）)23(321)(≥-+=x x x f ；（3）)1(12)(2>-=x x x x f ． 解析： （1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域． 设)(x f y =，则：当0≥x 时，1-≥y ，∴12+=y x ，又0≥x ，∴1+=y x ，即)1(1)(1-≥+=-x x x f ．当0<x 时，1-<y ，∴21+=y x ，∴)1(21)(1-<+=-x x x f ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=-)1(21)1(1)(1x x x x x f ． （2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．设)(x f y =，则因23≥x ，∴1≥y ． ∴321-=-x y ，∴]3)1[(212+-=y x ， ∴)1(]3)1[(21)(21≥+-=-x x x f ． （3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求x 时注意x 的取值范围．)(x f y =，∵1>x ，∴0<y ．x yx y 22=-，即022=-+y x yx ．∵0<y ，∴yy y y x 22112442+±-=+±-=． ∵1>x ，0<y ．∴yy x 211+--=． ∴)0(11)(21<+--=-x x x x f ． 点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解x 时需要进行开方运算，特别要注意x 的取值范围，有时还要结合值域来考虑． 例2、已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(-- P 在它的反函数的图象上．（1）求)(x f 的反函数)(1x f-； （2）证明)(1x f -在其定义域上是减函数．分析：先由题设条件求出参数a 的值后，再求反函数．解析：（1）∵)4,2(-- P 在)(x f 的反函数图象上，∴)2,4('-- P 在函数)(x f y =的图象上，∴251612+-=-a ．∴92516=+a ，∴1-=a ，即251)(2+--=x x f ．∵05≤≤-x ，∴1)(4≤≤-x f ． 由2512+--=x y 得：22)1(25-=+-y x ．∴22)1(25--=y x ，∵05≤≤-x ，∴2)1(25---=y x ， ∴)14()1(25)(21≤≤----=-x x x f ．（2）∵2)1(25--=x u 在]1,4[ -上是增函数，故对1x 、2x ]1,4[ -∈，当21x x <时，有210u u ≤≤．又u -在0≥u 上是减函数，∴21u u ->-，即)()(2111x f x f-->．∴21)1(25)(---==-x x fy 在]1,4[ -上是减函数．点评： 当点),(b a 在函数)(x f 的图象上时，),(a b 必在)(x f 的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证)(x f 在]0,5[ -上是减函数，从而)(1x f -在]1,4[ -上是减函数． 例3、判断函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 是否存在反函数，若存在，求出)(1x f -．若不存在，说明理由．分析：函数)(x f 存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个y 值，方程)(x f y =有唯一的解x ，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．解析：设120++=x x y ．∵R x ∈，∴x x x -≥>+||12，∴00>y ，∴120+=-x x y ，∴12020=-x y y ． ∵00>y ，∴02021y y x -=．∴函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 存在反函数． 由以上证明过程知)0(21)(21>-=-x x x x f ． 点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明)(x f 在R 上是单调函数来证明)(x f 存在反函数． 例4、已知函数b kx y +=的图象过)2,1( 点，它的反函数)(1x f -的图象过)0,4( 点，求函数)(x f 的解析式．解析：)(1x f -的图象过)0,4( 点，)(1x f -与)(x f 的图象关于直线x y =对称，∴)(x f 的图象过)4,0( ，又由已知也过)2,1( 点，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=24204k b b k b ， ∴42)(+-=x x f ．说明：)(x f y =图象上点),(b a 关于x y =的对称点),(a b 必在)(1x f y -=的图象上．基础练习一、选择题1、函数d cx b ax x f ++=)(的反函数为)(1x f -，若433)1(1++=+-x x x f ，则a 、b 、c 、d 的值依次为（ ）A ．1、2、3、1B ．－1、2、3、－1C ．1、－2、－3、1D ．－1、2、－3、－12、若函数)(x f y =的反函数是)(x g y =，b a f =)(，0≠ab ，则)(b g 等于（ ）A ．aB ．a 1C ．bD ．b1 3、已知函数)(x f y =的反函数是21x y --=，则函数)(x f y =的定义域为（ ）A ．)0,1( -B ．]1,1[ -C ．]0,1[ -D ．]1,0[4、已知函数)(x f 的图象过点)1,0( ，则)4(x f -的反函数的图象过点（ ）A ．)4,1(B ．)1,4(C ．)0,3(D ．)3,0(5、设点)2,1( P 既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ） A ．3-=a ，7=b B ．1=a ，2=b C ．1-=a ，3=b D ．2=a ，1=b6、奇函数)(x f 的反函数是)(1x f -，若a a f -=)(，则)()(1a f a f -+-的值是（ ）A ．a 2B ．a 2-C ．0D ．无法确定7、若函数)(x f y =的图象只经过第一、四象限，那么函数)(1x f -的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限8、对于]1,0[ ∈x 的所有x 值，函数2)(x x f =与其反函数)(1x f-的相应函数值间一定有（ ）A ．)()(1x f x f -≥B ．)()(1x f x f -≤C ．)()(1x f x f -<D ．)()(1x f x f -=9、若)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则)(1x f -为（ ）A ．)2(2≥-x xB ．)2(21≥--x xC ．)3(2≥--x xD ．)3(2≤-x x10、设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f -的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题 11、函数a x x x f ++=1)(与函数12)(-+=x b x x g 的图象关于x y =对称，则=+b a _________． 12、若函数21++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则a 的取值范围是___________． 13、函数)1(1≥+=x x x y 的反函数=-)(1x f ___________． 三、解答题14、已知)21(12)(≠++=x a x x x f ． （1）求它的反函数；（2）若函数)(x f 的图象关于x y =对称，求a 的值；（3）若af 2)3(1-=-，求a 的值． 15、已知函数)1(12≥-=x x y 的图像为1C ，函数)(xg y =的图像为2C ，1C 与2C 关于直线x y =对称，又)(x g y =的定义域为M ，对于任意1x 、2x M ∈，且21x x ≠，试比较|)()(|21x g x g -与||21x x -的大小．16、已知13)(-+=x ax x f ．（1）求)(x f y =的反函数)(1x fy -=的值域； （2）若点)7,2( 是)(1x f y -=的图象上的一点，求)(x f y =的值域．。

函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
y
x2 3
2 A ( , 0) 1 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的
定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示出来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成
y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义
而莫艳艳刚好相反，她的瞩目总是吸引着别人不自主地向她靠近，那怕是她还未成年的中学时代！ 大学毕业后孤独晓寂并没有打算就此结业学业，因为她要考博，这是她进入那个大学第一天就下定的决心！莫艳艳流浪了很多城市之后，不知 出于何种缘由、最后居然浪迹到孤独晓寂所在的城市！ 她俩第一次遇见的时候难得莫艳艳居然第一眼就将她认了出来，莫艳艳笑得不可思议“孤独晓寂，怎么会是你，你怎么在这里，高材生居然都 开始沦落到端盘子了？”莫艳艳说完那样的一句话忽然觉得心中升起了一种莫名的快意，虽然她觉得自己并不在意她的邻居女生的学习成绩比 她好了几倍、几十倍，但是小时候可没少因为这样的一个邻居而被念叨。 孤独晓寂推了下鼻梁上厚重的眼镜，看向了那个艳丽的女子“你是？”她居然不太认识面前这个认识她的美丽女子。 莫艳艳何许人也，何时受过这等不公平的待遇，只有她忘记别人的份，那能被她人忘记呢，她一下子气结“我、莫艳艳！”她终是没能忍住在 那样一处高档餐厅提高嗓门，也似乎忘却了对面正坐了一位看起来既优雅而精致的男士。 孤独晓寂仔细地看向了面前的女子，约莫的辨识起来了一点点，小时候的模样还在，只不过现今越发的妖娆起来。 孤独晓寂若有所思的点了下头“哦，小时候对门的莫艳艳？” 莫艳艳忍不住吐槽“你可真是更年不变的让人欢喜不起来，除了那个莫艳艳能记得你、还有谁？” 孤独晓寂笑得腼腆的回应“啊，真是抱歉，我没有第一时间认出你来！”她的语气温和的让人没有办法继续跟她较真！这不能怪她，她平时放 假在家便几乎不出家门，况且莫艳艳他们家在高中过后便搬离了那个地方，她又向来无暇顾及其他。 莫艳艳又回到一开始的话题“我说、高材生，你怎么都沦落到端盘子的份上了？” 孤独晓寂并不气恼依旧笑的温和，难得遇上一个旧识，她心情居然莫名的变好了起来“我现在在读研，这家酒店要求会说意大利文，时薪也不 错，所以我在这里打零工！” 莫艳艳一下子被掐灭了火焰“哦，我就说呢！”略显心虚的笑了笑，又问道“那你一直在这个地方吗？” 孤独晓寂点点头“嗯”了声。