13.知识讲解_简单的幂函数_基础

1 简单的幂函数 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如()yxR的函数，叫做幂函数，其中为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如()yxR的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：2423,1,2yxyxyx等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：

(1)xy；(2)21xy；(3)2xy；(4)1xy；(5)3xy．

要点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； (3)0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． 2

(3)如函数()afxkx是幂函数，求()fx的表达式，就应由定义知必有1k，即()afxx． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()fxfxfxfxfx，

f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()fxfxfxfxfx，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()fx的定义域，化简函数()fx的解析式；

（3）求()fx，可根据()fx与()fx之间的关系，判断函数()fx的奇偶性. 若()fx=-()fx，则()fx是奇函数； 若()fx=()fx，则()fx是偶函数； 若()fx()fx，则()fx既不是奇函数，也不是偶函数； 若()fx()fx且()fx=-()fx，则()fx既是奇函数，又是偶函数 要点四、判断函数奇偶性的常用方法 3

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与()fx之一是否相等.

（2）验证法：在判断()fx与()fx的关系时，只需验证()fx()fx=0及()1()fxfx是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是

先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx与()fx的关系.首先要特别注意x与x的范围，

然后将它代入相应段的函数表达式中，()fx与()fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 要点五、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知()fx是奇函数，它在区间[a,b]上

是增函数（减函数），则()fx在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知()fx是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()fx在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）. 【典型例题】 类型一、求函数解析式

例1.已知21212223mymmxn是幂函数，求m、n的值． 【答案】33,2mn 【解析】由幂函数的概念易得关于m、n的方程组．

由题意得22221,10,230,mmmn解得3,3.2mn 33,2mn即为所求．

【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 举一反三： 【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？ 4

（1）2yx；（2）23yx；（3）3yxx；（4）23yx；（5）21yx；（6）3y． 【答案】（4）、（5）是幂函数． 类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)yx；(2)2yx；

(3)3yx；(4)1yx；(5)12yx．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（ ）． 【答案】⑤①②③④ 举一反三：

【变式1】函数13yx的图象是（ ）

【答案】B 【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．

取11,88x，则11,22y，选项B，D符合；取1x，则1y，选项B符合题意．

类型三、幂函数的性质 例3.比较下列各组数的大小.

(1)523.14与52； (2)35(2)与35(3). 【答案】（1）；（2）。

【解析】(1)由于幂函数52yx(0x)单调递减且3.14，∴55223.14. (2)由于35yx这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x) 因此，3355(2)(2)，3355(3)(3)，而35yx(x>0)单调递减，且23， ∴ 33335555(2)(3)(2)(3).即3355(2)(3). 【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三：

【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9的大小. 5

【答案】0.50.50.50.80.90.9 【解析】先利用幂函数0.5yx的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9的大小.

0.5yx在(0)，∞上单调递增，且0.80.9，

0.50.50.80.9.

作出函数0.5yx与0.5yx在第一象限内的图象， 易知0.50.50.90.9. 故0.50.50.50.80.90.9. 类型四、判断函数的奇偶性 例4. 判断下列函数的奇偶性：

(1)1-()(1)1xfxxx； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)21-()|2|-2xfxx； (5)22-(0)()(0)xxxfxxxx； (6)1()[()-()]()2fxgxgxxR． 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断. 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)2-1x11-x0 x-1,00,1x0x-4x+22且

221-1-()(2)-2xx

fxxx



221-(-)1-(-)--()-x

x

fxfxxx，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；