《空间向量的线性运算》教学案1

∴四边形ABCD为平行四边形．
课堂小结
课堂小结
1．空间向量与平面向量的关系
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量，
Ԧ b可以在任意平面α内，
以任意点O为起点，作向量＝，＝
Ԧ
b.
课堂小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”
向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
跟踪练习
练习1：设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO + OB= DO + OC ，则四边
形ABCD是( A )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析 ∵ AO + OB= DO + OC ，
∴ A= D.
∴ A与D平行，| A |＝| D |.
向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
典例精析
例3: 化简( − ) − ( − )
解析： ( − ) − ( − )
结合律
= − − +
化为加法
= + + +
= + + ( + )
= +
(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
(4)向量与向量的长度相等．
典例精析
解析： (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，
但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，
只要它们的方向不相同即可．

高二数学高效课堂资料教案：课题：3.1.1空间向量的线性运算编写人：钮志红教学目标：1． 运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；2． 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理．重点难点：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题教学方法：类比法、合作探究教学过程：一、导入新课复习引入 ：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识：1、平面向量的概念是怎样的？ 如何表示？2、平面向量有哪些线性运算？满足哪些运算法则？二、形成概念1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ；⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，因此我们说空间任意两个向量是共面的．2. （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），的充要条件是存在实数λ，使(0)a b b λ=≠3．空间向量的运算师：空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样定义师：空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．生：空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律 ⑵加法结合律 ⑶数乘分配律师：空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立三、概念深化练习：（1）判断对错：①首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.( ) ②平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则到了空间中就不再成立了.( ) ③若a b =，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反。

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思考题1 下列命题是真命题的是( )
A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量 不在同一个平面内
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B>C→D
√D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D
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思考3 向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系．
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【知识拓展】 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为 相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
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知识点二 几类特殊的空间向量
特殊向量
定义
零向量
模为_0__的向量
单位向量
模为_1__的向量
相反向量 与向量a长度相__等__而方向_相__反_的向量
相等向量
方向_相__同_且模_相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1或
|A→B|＝1
－a a＝b或
A→B＝C→D
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课前自学
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知识点一 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小__叫做空间向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示. (3)表示法②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也
提示 起点、终点未必相同．

理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和平面向量的概念，给出空间向量的概念.的量叫做空间向量，向量的大小叫做向师生互动：1.想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关吗？2.你能否证明这些运算律？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？】.-般地，对于三个不共为邻边作平行六面体，则c b a ,,的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量，另外，利用向量加法的交换律和结合，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得的方向向量.任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的，那么，什么情况下三个空间向量共面呢?【师生互动：板书示范.】四课堂练习四归纳总结1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．五课后作业同步基础训练六板书设计空间向量及其线性运算空间向量的概念方向向量与共面向量加减运算及运算律例题1随堂练习设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.教学反思：教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。

二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。

并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。

三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。