一致连续性定理

函数一致连续的若干方法一、函数的连续性在数学中，函数的连续性是指函数在其中一区间上的从一个点到另一个点的变化是连续而不中断的。

具体而言，对于给定的函数f(x)，如果对于任意给定的x=a和x=b（a<b），当x在区间(a,b)上变化时，函数f(x)在这个区间上的变化也会连续且不中断。

例如，考虑函数f(x)=2x，在区间(0,2)上，当x增加时，函数值也会相应地增加。

无论x在该区间上的取值是多少，函数的变化都是连续的。

二、函数一致连续性函数的一致连续性是指对于给定的函数f(x)和任意正数ε，存在正数δ，当x在给定的区间上变化时，函数值的变化都不会超过ε。

具体而言，函数f(x)在区间(a,b)上一致连续，意味着对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当x和y在(a,b)区间内满足，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。

函数的一致连续性相较于函数的普通连续性更强。

普通连续性要求在给定的区间上，函数在任意一点上的极限存在，而一致连续性要求在给定的区间上，对于任意一个ε>0，存在一个δ，使得整个区间上的函数值的变化都不会超过ε。

三、判定函数一致连续的方法函数的一致连续性常用以下方法加以判断：1.强制法：使用函数定义、极限运算、数列性质等直接证明函数的一致连续性。

2.辅助函数法：构造一个辅助函数，该函数在给定区间上是连续的，且与原函数在区间的差别足够小，从而利用其连续性证明原函数的一致连续性。

3.导数法：对函数进行导数运算，判断导数是否有界，并利用有界导数的性质证明函数的一致连续性。

4.间断点法：对函数在给定区间上所有可能的间断点进行分析，通过排除间断点引起的非一致连续性，判断函数的一致连续性。

5.紧致性定理法：利用数学分析的紧致性定理，即闭区间上连续函数的最大值和最小值存在的性质，证明函数的一致连续性。

以上方法可以根据具体问题的特点选择适用的方法来判断函数的一致连续性。

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直做下去，便得到一个 闭区间套{[an , bn ]}, f ( x )在其中 任何一个闭区间[a n , bn ]上都是无界的 . 根据闭区间套定 理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间 [an , bn ], 并且
＝ lim an lim bn
n n
因为ξ [a, b]，而f(x)在点 ξ连续，
由连续函数的局部有界 性定理，
存在M 0, 0, 对于一切x O ( , ) [a , b], 成立
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f ( x) M .
由于 lim an lim bn , 我们又可知道对于充分 大的n
n n
[an , bn ] O( , ) [a, b],
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由于 x ( y )是严格单调增加 的, 因此要不等式 x0 x x0 成立 , 只需 f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 即f ( x0 ) f ( x0 ) y y0 f ( x0 ) f ( x0 )
证明： 不妨假设 y f ( x) 在 [a, b] 是严格单增且连续的 .
我们已经证明了反函数 的存在性和单调性，现 在只 需要证明：
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1)函数 y f ( x) 的值域是 [ , ] ； 2) 反函数 x ( y) 在 [ , ] 上连续 . 证明如下
x x0
和数列极限的关系可得
lim f ( xn ) lim f ( x) f ( x0 ) .
k
k
x x0
即证明了 f ( x)有最大值，同理可证 f ( x)有最小值 .

Key wordformly continnity,elementary function
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16

编号 2013110254研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1.前言 (1)2.函数一致连续 (2)2.1函数一致连续的定义 (2)2.2 证明函数一致连续的相关真命题 (2)2.3 函数一致连续相关定理 (3)2.3.1函数)f在区间上一致连续的充分条件 (3)(x2.3.2函数)f在区间上一致连续的充要条件 (6)(x2.4 应用举例 (8)3.函数非一致连续 (12)3.1函数非一致连续的定义 (13)3.3 应用举例 (14)4.参考文献 (16)5.致谢 (17)关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。

事实表明该流程图对函数一致连续证明是非常有效的。

相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大的指导作用。

关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and MethodsHuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。