最新精编高中人教A版选修4-4高中数学跟踪检测(六)球坐标系和答案

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【解析】选D.由于点P的柱坐标为（ρ,θ,z）= (2, , 3) ，故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形，得P到直线Oy的距离为 ( 3)2 +( 3)2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ，则点M的柱坐标为(
6 4
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ=
在平面yOz内，故选A.
时，点P 2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
答案： (4, , ) 6 3
9.已知柱坐标系中,点M的柱坐标为 (2, 2 , 5) ,且点M在数轴Oy
上的射影为N,则|OM|=______,|MN|=______.
【解析】设点M在平面Oxy上的射影为P,连结PN, 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
3
（ρ ,θ ,z）围成的几何体的体积.
【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知，满足ρ=1，0≤θ
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
)
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
（B）直线 （D）半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=

⾼中数学选修4-4课后习题答案[⼈教版]⾼中数学选修4-4课后习题答案 fl ft ill-：的 h P,1 为 i* \ -⼬Ml ： 2fi HP. BKj A( - SH-o\?.曲：ar ?亦o "「⼯(⼀肛 rh A C < 7 ⼀ HC C ■ 4{' 由帼的⾎料戌h 程,W 直戏⽫J 的⽅⾴为達就卍帕岸时壮谨厅刊” 葩注-；⾎:【￥|.刖.BE.⼩仆慣丄丄伽⽬W 「的斥帕JR 边nifffifl-的“忧剧 f 的商⑴所征的愀为厲細建⽴直⽤望标系? 设⼉IL 「的世械俶狀为￡ “ * 0). (A-O). a <),则 * 畐H h 1励N 贞1 杯枚⽹宦点为m 仏以线⽤⼋”的⼩点为惶戊.w 祈釘徴为』軸it#⾎处唯标氛m 的电际⾻堆如-:讥［叽⼝* O)；为 yk ihUWil -r +y =1. ii 就屯也W 的執送h ffl.这圧以AH 的⼬点沟阴⼼.J 占半性的町 *fr ⽫代⼩「轴.汕庭⼋叭和帕f ［线⼒￥辅世，沖Iff 倆出标廉?即⽫M ⾋“占Uh ⽐AIIC 的蚌昜⽚P 仃?“?旧为P 昼?w ⽫的>a tt 平井如:的氐呃丄rc c 的慄标“别为〔r ⼀趴⑴.< J + 2. O). W 为/也打细3 AH 的朿|、平仆纯！ . M m PA PH .即v / (S :{1 /?□* 圍就.曲出渊说牒轴I 妇n K.⼚的坐怵値歐a ?eg "?“n (g 由厅祁Q ；T ⑵?HI fl} r-（—6>（x — -l ev （）?（D-②初妳“MU （）?闵为所以点“任⼋“边的阳役上?即AA/?'M 三廉胡线交「?点? 4. ?1）v 3 h ⑵：⼀⾷ 1 * <3> y ，' 2J>，(3.r>:4 9v : 9.化简鮒刘F +y=h这就⾒曲纯「的⽅⽤?（图略） 6. W ：（I ）计紳妳住快为｛严?i V PV*代⼈2Z / I 评列ZAr —I.椒Di —2y 2 (即2r 1y I)⽐较??U=1?⼃I ?故所求的仲坯变快为 J,.’I# =4y.⑵设伸的咚换为■(A>0. “>(Dy =w代⼊⼋\iiy 7(A.r)? — 16(py)? —lA-rIV16/ry 2 —Rr 0. 将①“ v" 2< 。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．点A 的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π6，7，则它的直角坐标是( ) A ．(3，1,7) B ．(3，1，－7) C ．(23，1,7)D ．(23，1，－7)解析：∵ρ＝2，θ＝π6，z ＝7，∴x ＝ρcos θ＝3，y ＝ρsin θ＝1，z ＝7，∴点A 的直角坐标是(3，1,7)．答案：A2．若点M 的直角坐标为(2,2,22)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，5π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫4，π4，π4 C.⎝⎛⎭⎫4，π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫4，3π4，3π4 解析：由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝4，由r cos φ＝z ＝22得cos φ＝22，所以φ＝π4，又tan θ＝y x ＝1，点M 在第Ⅰ卦限，所以θ＝π4，所以M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，π4，π4. 答案：B3．若点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2 C.3D. 6解析：由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.答案：D4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，3π4，1 B.⎝⎛⎭⎫2，π4，1 C.⎝⎛⎭⎫2，5π4，1 D.⎝⎛⎭⎫2，7π4，1 解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，1. 答案：C5．已知点P 1的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，5π3，P 2的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，1，则|P 1P 2|＝( )A.21B.29C.30 D．4 2解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＝4sinπ2cos5π3，y1＝4sinπ2sin5π3，z1＝4cosπ2，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2，y1＝－23，z1＝0.故P1(2，－23，0)，设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，故⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cosπ6，y2＝2sinπ6，z2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3，y2＝1，z2＝1.故P2(3，1,1)．则|P1P2|＝(2－3)2＋(－23－1)2＋(0－1)2＝21.答案：A6．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5，则|OM|＝________.解析：∵(ρ，θ，z)＝⎝⎛⎭⎫2，π3，5，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝22，∴|OM|＝x2＋y2＋z2＝22＋(5)2＝3.答案：37．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tan θ＝______. 解析：如图所示，tan φ＝x2＋y2z＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 8．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________.解析：设点M 在平面xOy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面xOy 上的射影．因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， 所以PN ⊥直线Oy .所以|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1， 所以|OM |＝ρ2＋z 2＝22＋(5)2＝3. 在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°，所以|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝(5)2＋12＝ 6. 答案：369．已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，π4，求它的直角坐标． 解析：由变换公式得： x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2.y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2.z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－2 2. 它的直角坐标为(2,2，－22)．10．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标． 解析：M (2，π4，1)的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x <0，y <0.∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，－1 ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，－1. [B 组 能力提升]1．球坐标系中，满足θ＝π4，r ∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P (r ，φ，θ)的轨迹为( )A ．点B ．直线C ．半平面D ．半球面解析：由于在球坐标系中，θ＝π4，r ∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OQ 平分∠xOy ，由球坐标系的意义，动点P (r ，φ，θ)的轨迹为二面角x -OP -y 的平分面，这是半平面，如图．答案：C2．已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )A ．P (5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎫364，324，62 B ．P (1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎫364，324，62 C ．P ⎝⎛⎭⎫364，324，62，B (1,1,5) D ．P (1, 1,5)，B ⎝⎛⎭⎫62，364，324解析：设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ′，y ′，z ′)，则 x ′＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ′＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324，z ′＝6cos π3＝6×12＝62.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫364，324，62. 答案：B3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5)，C 1⎝⎛⎭⎫6，π2，5，则此长方体外接球的体积为________． 解析：由A 1、C 1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R ，则有(2R )2＝16＋25＋36＝77， 所以R ＝772，V 球＝43πR 3＝7777π6. 答案：7777π64．已知球坐标系中，M ⎝⎛⎭⎫4，π6，π3，N ⎝⎛⎭⎫4，π3，π6，则|MN |＝________. 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin π6cos π3＝1，y ＝4sin π6sin π3＝3，z ＝4cos π6＝2 3.∴M 的直角坐标为(1，3，23)， 同理N 的直角坐标为(3，3，2)， ∴|MN |＝(1－3)2＋(3－3)2＋(23－2)2 ＝25－2 3. 答案：25－2 35.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解析：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝ x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝ x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r (r ≠0)，得⎩⎨⎧ρ＝ 2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝ 3，cos φ＝33， 结合题图得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy ，以原点指向北极点的方向为z 轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz ，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，已知地球半径为R ，点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎫R ，π4，π3，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎫R ，π4，5π6，求：(1)A ，B 两地之间的距离； (2)A ，B 两地之间的球面距离．解析：(1)由于球坐标(r ，φ，θ)的直角坐标为(x ，y ，z )＝(r sin φcos θ，r sin φsin θ，r cos φ)， 所以A ，B 点的直角坐标分别为⎝⎛⎭⎫24R ，64R ，22R ，⎝⎛⎭⎫－64R ，24R ，22R ，所以A ，B 两地之间的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋64R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24R 2＋⎝⎛⎭⎫22R －22R 2＝R . (2)由上述可知，在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝|AB |＝R ，得∠AOB ＝π3，所以A ，B 两地之间的球面距离为AB ＝π3R .。

选修4-4第一讲测评(时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换′′后得到的曲线方程为( )A.y=3sin xB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=sin x2.在极坐标系中,已知M-,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )A. B. C. D.--3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为( )A.--B.-C.--D.-4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为( )A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-D.ρ=-sin θ5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( )A. B. C.(1,0) D.(1,π)6.可以将椭圆=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是( )A.′′B.′′C.′′D.′′7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为( )A.11B.11C.11D.228.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的位置关系为( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为( )A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=1610.在球坐标系中,集合M=(r,φ,θ)2≤r≤6,0≤φ≤,0≤θ<2π表示的图形的体积为( )A. B. C. D.11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=112.圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.ρ(sin θ+cos θ)=rD.ρ(sin θ+cos θ)=-r二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线θ=对称,则|PQ|=.14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为,球坐标为.16.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为′′曲线C在此变换下变为椭圆+y'2=1,求曲线C的方程.18.(本小题满分12分)已知定点P.(1)将极点移至O'处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:ρ=2cos θ-4sin θ,C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP 的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.21.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.22.(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρsin交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.第一讲测评答案解析(时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换′′后得到的曲线方程为( )A.y=3sin xB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=sin x解析由伸缩变换,得′′将其代入y=sin 3x,有′=sin x',即y'=3sin x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin x.答案A2.在极坐标系中,已知M-,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )A. B.C. D.--答案A3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为( )A.--B.-C.--D.-解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=rsin φcos θ=5·sin cos=-,y=rsin φsin θ=5sin sin,z=rcos φ=5cos=-,所以直角坐标为--.答案A4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为( )A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-D.ρ=-sin θ解析设M(ρ,θ)为直线上除以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos,则ρcosθ=1,经检验符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.答案B5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( )A. B.C.(1,0)D.(1,π)解析由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.答案B6.可以将椭圆=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是( )A.′′B.′′C.′′D.′′解析将x2+y2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为′′将其代入x'2+y'2=4,得λ2x2+μ2y2=4,即=1,与椭圆=1,比较系数得解得故满足题意的伸缩变换为′′即′′答案D7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为( )A.11B.11C.11D.22解析由圆的极坐标方程ρ=22sin θ,得ρ2=22ρsin θ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.答案A8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的位置关系为( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=-=1=r,所以直线与圆相切.答案B9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为( )A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.答案B10.在球坐标系中,集合M=(r,φ,θ)2≤r≤6,0≤φ≤,0≤θ<2π表示的图形的体积为( )A.B.C.D.解析由球坐标中r,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=×63-×208=.答案A11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1解析由题意可知圆ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.答案B12.圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.ρ(sin θ+cos θ)=rD.ρ(sin θ+cos θ)=-r解析圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①圆ρ=-2rsin=-2r=-r(sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-r(ρsin θ+ρcos θ),所以x2+y2+rx+ry=0,②由①-②,并化简得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-r.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线θ=对称,则|PQ|=.解析直线θ=的直角坐标方程为y=x.设点P到直线的距离为d,则|PQ|=2d==2.答案214.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析∵①②将②代入①,得6sin θcos θ=3, ∴sin 2θ=1.∵0≤2θ<π,∴θ=.代入①得ρ=3.∴C1与C2交点的极坐标为.答案15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为,球坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ).由得由得即所以点M的直角坐标为-,球坐标为.答案-16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是.解析因为三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B-.所以S△AOB=×1=.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为′′曲线C在此变换下变为椭圆+y'2=1,求曲线C的方程.解因为′′所以将其代入方程+y'2=1,得=1,即x2+=1.故曲线C的方程为x2+=1.18.(本小题满分12分)已知定点P.(1)将极点移至O'处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.解(1)设点P的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2,|OP|=4,∠POx=,∠O'Ox=,所以∠POO'=.在△POO'中,ρ2=42+(2)2-2×4×2×cos=16+12-24=4,则ρ=2.又∠′∠′,所以sin∠OPO'=×2,即∠OPO'=.所以∠OP'P=π-,则∠PP'x=,∠PO'x'=.故点P的新坐标为.(2)如图所示,设点P的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=.故点P的新坐标为.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:ρ=2cos θ-4sin θ,C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.解(1)由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x2+y2=2x-4y.∴C1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=--,∴|AB|=2-.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP 的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解设点Q,P的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA中,|OP|=ρ1=·sin-θ,|PA|=.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得ρ=2acos-θ.故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2acos-θ.21.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.解(1)设M(ρ,θ)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.在△OCM中,∠COM=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM,即32=ρ2+32-2×3×ρcos,ρ=6cos.因为极点适合上式,所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos.(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由=2,得=2(),即,所以ρ1=ρ,θ1=θ.因为点Q在圆C上,所以有ρ1=6cos-.将ρ1=ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos-的方程,得ρ=6cos, 即ρ=9cos.故动点P的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos.22.(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρsin交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程. 解(1)(方法一)∵ρ=2,∴x2+y2=4,半径r=2.又ρsin,∴y=x+2.∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=,∴|AB|=2-=2=2.(方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则sin-,sin-.∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=,即∠AOB=.又|OA|=|OB|=ρ=2,∴|AB|=2.(2)∵曲线C2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1, ∴直线l的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos.。