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8(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

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1 （新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2012年12月9日 上午9:00~11:00） 题 号 一 （1~8） 二 总 分 9 10 11 12

得 分 评 卷 复 核

解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题10分，共80分） 1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。 2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则 的值为______________。 3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。 4. 在矩形中，。点分别在上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。 5. 使得是素数的整数共有___________个。 6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。 7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。 2

8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）

二、 解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分） 9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。

10. 解方程组。 3 11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。

（1） 若，求的取值范围；

（2） 求证：。

12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足 4 2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2011年12月4日 上午9:00~11:00） 题号 一 （1~8） 二 总分 9 10 11 12

得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题10分，共80分）

1. 已知关于x的两个方程：032mxx①，02mxx②，其中0m。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。 2. 已知梯形ABCD中，AB//CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，则梯形ABCD的面积为_______________。

3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。 5

4. 将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得22hgfedcba的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得3AE，2BF，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，则边AC的长为______________。

7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分

和的54，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则dcba的最小值为_________。

二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知60DAC，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：LCSM//。 解

OMSL

DCBA 6

10. 对于正整数n，记nn21!。求所有的正整数组fedcba,,,,,，使得!!!!!!fedcba，且fedcba。

解

11. （1）证明：存在整数x，y，满足2022422yxyx； （2）问：是否存在整数x，y，满足?2011422yxyx证明你的结论。 解 7 12. 对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为1p，2p，...，kp，对于每个kipi1，存在正整数ia，使得1iiaiaipnp，

记kakaapppnp2121例如，895210026p。 （1）试找出一个正整数n，使得nnp； （2）证明：存在无穷多个正整数n，使得n.np11。 解 8 9 10 11 12 13 14

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分） 1. 已知31xx，则10551011xxxx_________。

2. 满足方程33222yxyx的所有实数对yx，为__________。 3. 已知直角三角形ABC中，3690CABCC，，，CD为C的角平分线，则_________。 4. 若前2011个正整数的乘积201121能被k2010整除，则正整数k的最大值为________。 5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。

7. 整数qp，满足2010qp，且关于x的一元二次方程

0672qpxx的两个根均为正整数，则p________。

8. 已知实数cba，，满足0cbacba，且0a。设21

xx，

是方程02cbxax的两个实数根，则平面直线坐标系内两点1221xxBxxA，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。

10. 设cba，，是整数，91cba，且1cabbcaabc能被9整除，则cba的最小值是_________，最大值是__________。

二、 解答题（每题15分，共60分） 11. 已知面积为4的ABC的边长分别为bccABbCAaBC，，，，AD是A的角平分线，点'C是点C关于直线AD的对称点，若BDC'与ABC相似，求ABC的周长的最小值。

yxMNOCB

A

OGF

E

HD

CB

A

QPEDCB

A

C'CD

B

A15

12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数 cfibehghidefabc，，，，和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值

13. 设实数zyx，，满足0zyx，且2222xzzyyx，求x的最大值和最小值

14. 称具有22161ba形式的数为“好数”，其中ba，都是整数 （1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数yx，，使得161161yx是“好数”，而yx不是“好数”。

ih

g

fedcb

a16 17 18 19 20 21 22 23 2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题

（2009年12月6日） 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是 。

2、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。

5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。

6、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。

第五题图F

EC

B

AP

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2015年上海市初三数学竞赛(大同中学杯)(原新知杯)试题答案

2015年上海市初三数学竞赛(大同中学杯)(原新知杯)试题答案

有对称性不妨设 a b ， 35b 35a 35 a a ，6 a ， ，b 6b 35 6a 35 3 则 a 在 6，7，8，9，10，11 中取得， 代入得： a, b 10,14 ，
A E J G B D FH I C
AB 15 ．
12. 设 a、b 是正整数， a 2 b2 不是 4 的倍数，求证： a 3b 5a 7b 不是完全平方数． 【解析】
AB 1 ， BC 1 ，CD 是圆 O 的切线， 1 3 2 OD ， OC ， CD 2 ， DH ， 2 2 3 1 2 2 SABD ． 2 3 6
D
AO HB源自CD 2. 有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7 的 7 个大小相同的小球，从中任取 3 个小球，则取 出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为______． 【解析】奇数 4 个，偶数 3 个， 3 奇或者 1 奇 2 偶两种情况， 3 1 2 C4 C4 C3 16 ． 3 C7 35 3. 实数 x，y 满足 x 2 3 y 4 ， y 2 3x 4 ， x y ，则 【解析】作差得： x y x y 3 0 由韦达定理： xy 1 ， 2 x y x y 2 xy 5 ． y x xy 4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，则这三个素数为________． 【解析】设 abc 23 a b c ，


x y 的值为______． y x
x y 3 ，代入得： x2 3x 1 0 ， y 2 3 y 1 0 ，
a 23 ， bc b c 23 ，
b 1 c 1 24 ，
2017年新知杯上海市数学竞赛

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2017年新知杯上海市数学竞赛2017年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷2017年12月4日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：x-x+3m=……①，x+x+m=……②，其中m≠0.若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。

2.已知梯形ABCD中，XXX，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为_______________。

3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。

4.将8个数-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得(a+b+c+d)+(e+f+g+h)的值最小，则这个最小值为____________。

5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得AE=3，BF=2，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。

6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则边AC的长为______________。

7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的4/5，则第2名选手的得分是_________。

8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则a+b+c+d的最小值为_________。

二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知∠DAC=60°，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。

2008年新知杯上海市初中数学竞赛

2008年新知杯上海市初中数学竞赛

2008年新知杯上海市初中数学竞赛
佚名
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】说明：解答本试卷可以使用计算器．一、填空题（第1～5小题，每小题8分，第6～10小题，每小题10分，共90分）
【总页数】4页(P17-20)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.2012年新知杯上海市初中数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;刘鸿坤;叶声扬
2.2010年新知杯上海市初中数学竞赛 [J], 熊斌;刘鸿坤;顾鸿达;叶声扬;李大元
3.2013年新知杯上海市初中数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;刘鸿坤;叶声扬
4.2011年新知杯上海市初中数学竞赛 [J],
5.2008年新知杯上海市高中数学竞赛 [J], 熊斌; 顾鸿达; 刘鸿坤; 李大元; 叶声扬因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

2011年新知杯上海市初中数学竞赛解答

2011年新知杯上海市初中数学竞赛解答

2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x 的两个方程：230x x m -+=……①，20x x m ++=……②，其中0m ≠.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m 的值是_________。

【解析】-22.已知梯形ABCD 中//AB CD ，90,,5,13,ABC BD AD BC BD ︒∠=⊥==则梯形ABCD 的面积为______。

【解析】略565243.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________. 【解析】3265120,210,2C p ===总取法数三张都大于或等于的取法数C 4.将8个数，-7、-5、-3、-2、2、4、6、13排列为,,,,,,,a b c d e f g h ,使得22()()a b c d e f g h +++++++的值最小，则这个最小值为________.【解析】222,+,8,64()2()=x a b c d y e f g h x y x y x y =+++=+++==+≤+注意“”取不到， 22x y +>32,奇偶相同，可以取到34=223+5.5.已知正方形ABCD 边长为4，,E F 分别在,AB BC 上，3,2,AE BF ==,AF DE 交于G ，则四边形DGFC 的面积为。

【解析】【方法一】41055407,,,,7.336111111FGD ADF GDCF FG FM MB FM S S S GA AD ∆∆======= 【方法二】38321281287,4,,4781111111111DGM GFCD AE GH S S DM ∆==⨯===-= 6.在等腰直角三角形ABC 中，90,ACB PABC ︒∠=∆是内一点，使得11,7,6PA PB PC ===，则AC 边长为____________。