高一下学期数学期末测试试题

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．在ABC 中，3a =，1b =，60A =︒，则B =（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】A【分析】由正弦定理求得sin B ，再结合边的关系即可得解．【详解】由正弦定理sin sin a b A B=，所以31sin 12sin 23b A B a ⨯===，又a b >，所以A B >所以30B = ．故选：A.2．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，2A O ''=，那么ABC 的周长为（）A ．6B ．222+C ．2215+D ．2217+【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则作出原图ABC ，求出各个边长即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则作出原图ABC 如图：由直观图中1B O C O ''''==，2A O ''=，可得ABC 中，1BO CO ==，4AO =，因为AO BC ⊥，则224117AB AC ==+=，又底边2BC =，所以ABC 的周长为2217+.故选：D.3．某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于1，求出m 的值，再由第四个小矩形面积乘以100即可求解.【详解】由图可得:()0.010.020.060.0751m ++++⨯=，解得0.04m =，所以第四组的人数为0.04510020⨯⨯=.故选：A.4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①//m α，//αβ，则//m β；②m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；③m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥；④n β⊂，m α⊥，//m n ，则αβ⊥.A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.【详解】解：①若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，故①错误；②若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；③若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，又n β⊥，则m n ⊥，故③正确；④若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，m α⊥，可得αβ⊥，故④正确.故选：D.5．设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B ．223C ．63D ．23【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题意得23rl r ππ=，解得3l r =，又222l r h =+，则22h r =，223h l =．故选：B.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，3CO CE →→=，BE 的延长线与CD 交于点F .若→→=AB a ，AD b →→=，则EF →=（）A ．6176a b→→-B ．11306a b→→-+C ．11306a b→→+D ．61+76a b→→【答案】B【分析】根据向量的线性运算律进行运算.【详解】解：如图所示：由3CO CE →→=得15CE EA =，由//DC AB 得EFC ∽EBA △，∴15CF CE AB EA ==，又∵DC AB =，∴15CF DC =，111111116565306306EF EC CF AC CD DC DA DC DC DA a b →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=--=--=-+ ⎪⎝⎭，故选：B.7．已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，体积为23，M 为1A B 中点，则点M 到平面11A B C的距离为（）A ．217B ．455C ．77D ．233【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M 到平面11A B C 的距离为d ，利用1111M A B C C A B M V V --=以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，设棱长为a ，因为体积为23，所以213234ABC V S AA a a =⋅=⋅= ，解得：2a =，设点M 到平面11A B C 的距离为d ，因为112A B =，1122CB CA ==，所以11A B C 中，11A B 边上的高为()222217-=，则1112772CA B S =⨯⨯= ，取AB 的中点H ，连接CH ，则CH AB ⊥，因为1AA ⊥面ABC ，CH ⊂面ABC ，所以1AA ⊥CH ，因为1AA AB A = ，所以CH ⊥面11ABB A ，在ABC 中，3CH =，由1111M A B C C A B M V V --=，即11111133B M CA B A d S CH S ⋅⋅=⋅⋅ ，即1117321332d ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，解得：217d =，故点M 到平面11A B C 的距离为217，故选：A.8．下列四个命题正确的个数为（）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“312++”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6636⨯=种，向上点数之和不小于10的基本事件有()4,6，()5,5，()5,6，()6,4，()6,5，()6,6共6种，所以所求事件的概率61366P ==，故①正确，②：因为775% 5.25⨯=，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故②错误，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为246C =，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率3162P ==，故③正确，故选：B.二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11,A D BD 的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCD D ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π【答案】BD【分析】连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，而点C 不在平面11ABC D 中，即可判断选项A ；由已知得MN 为△1ABD 的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B ；由已知得点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,1A D 与平面11A BCD 相交，即可判断选项C ；由1MN =即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径，即可判断选项D .【详解】对于选项A ，连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，点C ∉平面11ABC D ，则四点A ，M ，N ，C 不共面，即选项A 不正确；对于选项B ，由正方体的性质结合条件可知M ，N 分别是11,AD BD 的中点，所以MN ∥AB ,又因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD ，即选项B 正确；对于选项C ，点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,所以1A D 与平面1BCD 相交，即选项C 不正确；对于选项D ，因为MN 为△1ABD 的中位线，且1MN =，所以正方体的棱长为2，设正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为R ,则2221112=23R D A AA AB ++=,即3R =，则外接球的表面积为24π12πS R ==,即选项D 正确；故选：BD .10．已知复数13z i =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为32i 【答案】ABC【分析】对选项,A 求出13=22w i -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A 由题得13,z i =--213(13)22313=42213(13)(13)i i i w i ii i -----+∴===-+-+-+--.所以复数w 对应的点为13(,)22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为13144w =+=，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为32,所以选项D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A ．甲与乙互斥B ．乙与丙互斥C ．甲与乙独立D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC12．设△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若2cos sin cos sin ac A B b B C =，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得A B =或2A B π+=，从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===知：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由2cos sin cos sin ac A B b B C =知：2224sin sin cos sin 4sin cos sin R A C A B R B B C=所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，而(),,0,A B A B π+∈，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以△ABC 是等腰三角形，或直角三角形，故选：AC.三、填空题13．已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为．【答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；【详解】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+=故答案为：3.514．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =.【答案】22【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为.【答案】2764【分析】直接利用二项分布的概率公式即可求解【详解】由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为223332714464C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2764.16．已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为.【答案】92π【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.四、解答题17．已知函数()2332sin cos 3sin cos 222f x x x x x =+--．(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若θ为锐角，π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos θ的值．【答案】(1)511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)255【分析】（1）利用三角变换公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法可求单调减区间.（2）利用两角差的余弦可求cos θ的值.【详解】（1）()223sin 23sin 2cos sin 23cos 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+-⨯=-=- ⎪⎝⎭，令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得10sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因θ为锐角，故444πππθ-<-<，而sin 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故044ππθ<-<，所以310cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而2241025cos cos cos sin 442442105ππππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.18．已知平面向量a →，b →满足()1,3a →=，102b →=.（1）若//b a →→，求b →的坐标；（2）若25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求32a b →→-的值；（3）若a →在b →上的投影向量为2b →-，求a →与b →的夹角.【答案】（1）13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）310；（3）34π.【分析】（1）由题意设()1,3b λ→=，解方程2210132λ+=即得解；（2）根据25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出56a b →→⋅=，利用22329124a b a a b b →→→→→→-=-⋅+求解；（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，解方程cos 2ba b b θ→→→→⋅⋅=-得解.【详解】解：（1）由题意设()1,3b λ→=，2210132b λ→=+=，解得12λ=±，即13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，（2）∵25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴250a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222950a a b b →→→→-⋅-=，即()22102139504a b →→⨯+-⋅-⨯=，故56a b →→⋅=，所以22329124*********a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-+=，（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，则cos 2b a b b θ→→→→⋅⋅=-，即10cos 2102b b θ→→⋅⋅=-，即2cos 2θ=-，因为[0,]θπ∈，所以34πθ=.所以a →与b →的夹角为34π.19．某大学为调研学生在A 、B 两家餐厅用餐的满意度，从在A 、B 两家都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：[010)，、[10)20，、[20)30，、[30)40，、[40)50，、[5060]，，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[020)，范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率.（3）如果从A 、B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20人；（2）35；（3）选择B 餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，记为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，记为a 、b 、c ，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．【详解】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30分的频率为：(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，∴对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=人，（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，设为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，设为a 、b 、c ，从这5人中随机选出2人的选法为：mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ，共10种，其中恰有1人评分在[010)，范围内的选法包括：ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc ，共6种，故2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率为63105P ==，（3）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，∴A 餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B 餐厅评分低于30分的人数为23510++=，∴B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B 餐厅用餐.20．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）2525.【解析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出5sin 5C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为5b =，2c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得52sin 45sin C= .所以5sin 5C =在ADC △中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故225cos 1sin 5C C =-=因为4cos 5ADC ∠=-，所以22431cos 155sin ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪⎝⎭，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C=∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求三棱锥1C C DE -的体积；（2）求异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【答案】（1）43；（2）25.【解析】（1）因为11C C DE C CDE V V --=，由正四棱柱1111ABCD A B C D -，可知1CC 为点1C 到平面CDE 的高，结合已知，即可求得答案；（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明//NQ MB 且NQ MB =，可得1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角)，求解三角形可得115,17,25DE C E C D ===再由余弦定理可得异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【详解】（1） 1113C C DE C CDE CDE V V S h --∆==，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中∴1CC ⊥平面ABCD ，即1CC 为点1C 到平面CDE 的高111111421432323C C DE V CD CE CC -∴=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQN 为1A D 的中点∴1//NQ AA 且112NQ AA =， M 为1BB 的中点，∴1//MB AA ，且112MB AA =∴//NQ MB 且NQ MB=∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ 且MN BQ=同理可证//DE BQ 且DE BQ=∴//MN DE 且MN DE=∴1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角).在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点∴115,17,25DE C E C D ===∴22211112cos 25DE DC C C D E E DC DE +-∠==⋅⋅.∴异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值为25.【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.22．如图，平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，3AB AD BC ===，23BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且6PC =.（1）若E 为棱PD 中点，求异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）证明：平面BCD ⊥平面PBC ；（3）求二面角P BD C --的平面角的正弦值.【答案】（1）13；（2）证明见解析；（3）306.【分析】（1）取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，证明出MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，分别求出NE 、EC 、CM ，在MEC 中，由余弦定理求出异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，证明出PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，求出PF ，PM ，在Rt PFM △中，可以求出二面角P BD C --的平面角的正弦值.【详解】（1）解：取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，因为E 为PD 的中点，则//ME PB ，则MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，在PCD 中，6PC =，3CD =，3PD =，则222PD PC CD =+，所以PCD 为直角三角形，则1322CE PD ==，在MEC 中，1322ME PB ==，132MC BD ==，32CE =，由余弦定理可得，222993144cos 3323222ME CE MC MEC ME CE +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，故异面直线CE 与PB 所成角的余弦值为13；（2）证明：由（1）可知，CD PC ⊥，又CD BC ⊥，PC BC C ⋂=，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，由（2）可知，平面BCD ⊥平面PBC ，又平面BCD 平面PBC BC =，所以PF ⊥平面BCD ，因为PM BD ⊥，由三垂线定理可得，MF BD ⊥，则PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，在PBC 中，由余弦定理可得2229962cos 22333PB BC PC B PB BC +-+-===⋅⋅⨯⨯，在Rt PBF 中，2cos 33BF BF B PB ===，所以2,945BF PF ==-=，在等腰PBD △中，22936PM PB BM =-=-=，在Rt PFM △中，530sin 66PF PMF PM ∠===，故二面角P BD C --的平面角的正弦值为306.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.。

一、单选题 1．已知复数,则的共轭复数 2i3iz =-z z =A ．B ．C ．D ．13i 55--13i 55-+1355i +13i 55-【答案】A【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数. z z z 【详解】因为， 2i 3iz =-所以，()22313955i i z i i +==-+-所以的共轭复数 z 1355z i =--故选A 项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题. 2．已知向量，则()()2332a b == ，，，|–|a b =A B ．2C ．D ．50【答案】A【分析】本题先计算，再根据模的概念求出． a b -||a b - 【详解】由已知，，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-所以||a b -==故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ． B ．C ．D ．0.60.50.40.3【答案】D【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为，3名女同学为，12,A A 123,,B B B 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 121323,,B B B B B B 则选中的2人都是女同学的概率为， 30.310P ==故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本A n A 事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率. m ()mP A n=A 4．为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（ ）A ．50B ．100C ．150D ．250【答案】C【解析】由题意先求出产量在75件以上（含75件）的频率，再求解工人数即可. 【详解】产量在75件以上（含75件）的频率为， 0.010100.005100.15⨯+⨯=所以该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为. 10000.15150⨯=故选：C【点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率和频数的概念，属于简单题.5．袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红､黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判断即得解【详解】袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立.在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红､黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立. 故选：C6．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角 D ．60°[【答案】C【详解】 由，得，即，222sin sin 2sin A B C +=2222a b c +=22220a b c c +-=> 又由余弦定理可得，所以角为锐角，故选C.222cos 02a b c C ab+-=>C7．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A ．B ．C ．D ．323π4π2π43π【答案】D【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积22R ==1R =224441333V R πππ===，故选D.【解析】正四棱柱的几何特征；球的体积.8．已知直线和平面.且，则“”是“”的（ ） l ,αβl α⊂l β////αβA ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不允分也不必要条件.【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义结合面面平行的判定与性质判断． 【详解】，，必要性成立//αβ//l l αβ⊂⇒但，时，与可能平行也可能相交，充分性不满足． l β//l α⊂αβ故选：B ．二、多选题9．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论中正确的是（ ）A ．0OA OC OB ++= B ．()OA AF BC OA BC AF BC +⋅=⋅+⋅ C ． ()()0OA AF EF DC -⋅-=D ．||||OF OD FA OD CB +=+- 【答案】BC【分析】根据向量的线性运算判断A ，数量积的运算律判断B ，由向量的数量积运算，向量模的运算判断CD ．【详解】因为点O 为正六边形ABCDEF 的中心，所以是平行四边形，，，A 错； OCBA OA OC OB +=u u r u u u r u u u r 2OA OC OB OB ++=由数量积的运算律知B 正确；，C 正确； 22()()()()0OA AF EF DC OA FA OA FA OA FA -⋅-=+⋅-=-= 设六边形边长为1， AO FA OD CB FA AO FO AO +-=++=+ ，1OF OD OE +==，D 错．FO +=== 1≠故选：BC ．10．如图，在正方体中，以下四个选项正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．平面B ．与平面相交 1DC 11A ABB 11AD 1BCD C ．平面 D ．平面平面AD ⊥1D DB 1BCD ⊥11A ABB 【答案】AD【分析】对A ，根据面面平行的性质判定即可； 对B ，证明判断即可； 11//A D BC 对C ，根据线面垂直的性质判定即可； 对D ，根据平面证明即可BC ⊥11A ABB 【详解】对于A ，因为平面∥平面，而平面，故与11A ABB 11D DCC 1D C ⊂11D DCC 1D C 平面没有公共点，所以∥平面，即A 正确； 11A ABB 1D C 11A ABB 对于B ，因为，所以平面，所以B 错误；11//A D BC 11A D ⊂1BCD 对于C ，若平面，则，但，所以C 错误；AD ⊥1D DB AD DB ⊥45ADB ∠= 对于D ，在正方体中，易得平面，而平面，1111ABCD A B C D -BC ⊥11A ABB BC ⊂1BCD 所以平面平面，所以D 正确; 1BCD ⊥11A ABB 故选：AD11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ） 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A ．甲地 B ．乙地C ．丙地D ．丁地【答案】AD【解析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A 正确. 257+=对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不0,0,0,2,2,2,2,2,2,8满足每天新增疑似病例不超过7人,故B 错误.对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,0,0,0,0,0,0,0,1,90, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C 错误.对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与()2182 3.6310⨯-=>题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D 正确. 故选：AD【点睛】本题主要考查极差,平均数,中位数与方差等的运算与理解,属于中等题型. 12．（多选题）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，内ABC cos b c A =角A 平分线交BC 于点D ，，以下结论正确的是（ ） 11,cos 8AD A ==A ． B ． 34AC =8AB =C ．D ．18CD BD =ABC 【答案】AC【分析】首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到2C π=，依次计算的值，根据面积比值，判断选项C 和D.3cos 4CAD ∠=,AC AB ACD ADB S S 【详解】在中，由，即 ABC cos b c A =cos b A c=根据余弦定理得，，即，所以.222cos 2b c a bA bc c+-==222b a c +=2C π=由倍角公式得，解得.21cos 2cos 18BAC CAD ∠=∠-=3cos 4CAD ∠=在中，，故选项A 正确 Rt ACD △3cos 4AC AD CAD =∠=在中，，解得.故选项B 错误； Rt ABC 1cos 8AC BAC AB ∠==6AB =，解得，故选项C 正确； 11sin 2211sin 22ACD ADBCD ACAC AD CADS S BD AC AB AD BAD ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠ 18CD AC BD AB ==由，则，又，1cos 8A =sin A =6AB =34AC=故选项D 不正确 113sin 6224ABC S AC AB A =⋅⋅∠=⨯⨯=故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，解答本题的关键是由条件结合余弦定理得出，进而得到，然后借助直角222b a c +=2C π=三角形、三角形的面积公式和二倍角公式进行分析判断，属于中档题. 三、填空题13．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________. 【答案】0.3【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算． 【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环， 所以概率为． 60.320P ==故答案为：0.3．14．如图，在中，是的中点，若，则实数ABC 1,2AN AC P =BN 14AP mAB AC =+ m的值是__________.【答案】120.5【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值AP ,AB ACm 【详解】因为，所以为的中点，12AN AC =N AC 因为是的中点，P BN 所以，()111111222224NP NB AB AN AB AC AB AC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ 所以,1111122424AP AN NP AC AB AC AB AC =+=+-=+ 因为，14AP mAB AC =+所以， 12m =故答案为：1215．某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2019年高考中的方差为__________. 【答案】187【分析】先求出总体均值，然后由方差的关系计算．【详解】由题意甲的平均值为，方差为，1665x =21131S =乙的平均值是，方差为，2208x =22208S =则总体平均值为， 30665406586617070x ⨯⨯=+=方差为． 2223040(131(665661)](208(658661)]1877070S =⨯+-+⨯+-=故答案为：187．16．已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列P ABCDEF -PA ⊥ABC 2PA AB =命题中正确的有_____．(填序号) ①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.【答案】②④【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案． 【详解】∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，∴①不成立；∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，在正六边形ABCDEF 中，AB ⊥AE ，PA AE=A ，∴AB ⊥平面PAE ，且AB 面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAE ，故②成立；⊂∵BC ∥AD ∥平面PAD ，平面PAD 平面PAE=PA ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，即 ③不成立．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，故④成立． 故答案为②④．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质的合理运用，属于中档题． 四、解答题17．如图，正方体的棱长为2，E ，F 分别为，AC 的中点．1111ABCD A B C D -1A B（1）证明：平面； //EF 11A C D （2）求三棱锥的体积． 11C A C D -【答案】(1)证明见解析；(2)43【分析】（1）可利用线线平行来证明线面平行 （2）可采用等体积法进行求解 【详解】证明：（1）如图，连结BD ；因为四边形ABCD 为正方形， 所以BD 交AC 于F 且F 为BD 中点；又因为E 为中点，所以；1A B 1//EF A D 因为平面，平面，所以平面；EF ⊄11A C D 1A D ⊂11A C D //EF 11A C D （2）三棱锥的体积.11C A C D -111111111422333C A CD A CC D CC D V V S A D --==⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查了线面平行的证明及锥体体积的求解方法，证线面平行一般是通过证线线平行来证明，三棱锥的体积常用等体积法转换底面和高进行求解.18．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不12,a a 1b 放回，连续取两次，求：（1）一切可能的结果组成的基本事件空间． （2）取出的两件产品中恰有一件次品的概率【答案】(1) 和 ；(2)()12,a a ()()()()()1121211112,,,,,,,,,a b a a a b b a b a 23【分析】（1）注意先后顺序以及是不放回的抽取；（2）在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即和()12,a a ()()()()()1121211112,,,,,,,,,a b a a a b b a b a 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品 （2）用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件， 则 ()()()()11211112,,,,,,,A a b a b b a b a ⎡⎤=⎣⎦∴事件A 由4个基本事件组成，因而，=． ()46P A =23【点睛】本题考查挂古典概型的基本概率计算，难度较易.对于放回或不放回的问题，一定要注意区分其中的不同.19．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次453423为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.122356（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2） 1130【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则，，. 412()525P A =⨯=321()432P B =⨯=255()369P C =⨯=因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. ()()()P C P B P A >>（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则. 21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.20． 在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，ABC A B C a b c ABC S .()2223163c S b a +=-（1）求的值；tan B （2）若，，求的值． 42S =10a =b【答案】（1）；（2） 34b =【解析】（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得，3sin cos 4B B =根据同角三角函数基本关系式即可求得； tan B （2）由同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形面积公式求得的值，代sin B c 入所给等式，即可求解的值.b 【详解】（1）在中，ABC 由三角形面积公式得，， 1sin 2S ac B =由余弦定理得，， 222cos 2c a b B ac+-=， ()2223163c S b a +=-， ∴()222316S c a b =+-整理可得， ()22233sin cos 84c a b B B ac +-==又，，故，()0,B π∈∴sin 0B >cos 0B >. ∴sin 3tan cos 4B B B ==（2）由（1）得， 3tan 4B =, ()0,B π∈， ∴3sin 5B =，，42S =10a =， ∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==解得，14c =， ()2223163c S b a +=-∴b ===【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题.21．已知向量满足.,a b ||||1,|||(0,R)a b xa b a xb x x ==+=->∈ (1)求关于的解析式；a b ⋅ x ()f x (2)求向量与夹角的最大值；a b (3)若与平行，且方向相同，试求的值.a b x 【答案】(1) ()11(0)4f x x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(2) π3(3)2=x 【分析】（1）根据模长公式即可化简求解；（2）由二次函数的性质即可求最值；（3）根据向量相等可求数量积即可求解.【详解】(1)由题意得， 22|3|xa b a xb +=- 即.因为，所以， 2222222363x a xa b b a xa b x b +⋅+=-⋅+ 1a b == 2822xa b x ⋅=+ 所以，即. 21(0)4x a b x x+⋅=> ()11(0)4fx x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(2)设向量的夹角为，则,a b θ()21cos 24a b f x a b θ⎡⎤⋅===+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=即时，有最小值.因为，所以. 1x =cos θ120πθ≤≤max π3θ=(3)因为且方向相同，，所以，所以，解得//a b ||||1a b == a b = 1114a b x x ⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭2=x 22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 的中点为.2,PA AB PD ==F(1)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，指出点在上AB G AF //PCG G AB 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若，求二面角的余弦值.3ABC π∠=F AC D --【答案】(1)在线段上存在中点，使得平面，证明见解析AB G //AF PCG【分析】（1）取中点，可证平面；AB G //AF PCG （2）过作于点，过作于点，证明为二面角F FM AD ⊥M M MO AC ⊥O FOM ∠的平面角，在直角三角形中解之可得．F AC D --【详解】(1)在线段上存在且为中点，使得平面. ABG AB //AF PCG 证明如下：如图所示，设的中点为，连接，PC H FH因为， 11//,,//,22FH CD FH CD AG CD AG CD ==所以，所以四边形为平行四边形，则 //,FH AG FH AG =AGHF //AF GH 又平面平面平面.GH ⊂,PGC AF ⊄,//PGC AF ∴PGC (2)过作于点，过作于点，连接.连接平面F FM AD ⊥M M MO AC ⊥O FO .MC PA ⊥，平面，所以，ABCD AD ⊂ABCD PA AD ⊥，为的中点，所以为中点，，//FM PA ∴F PD M AD 1AM =所以平面而平面. FM ⊥,ABCD OC ⊂,ABCD FM OC ∴⊥又， ,OC MO FM MO M ⊥⋂=平面，所以平面平面，,FM OM ⊂FMO OC ⊥,FMO OF ⊂FMO ,OC FO FOM ∠∴⊥∴为二面角的平面角. F AC D --，,33ABC DAC ππ∠∠=∴=sin 3MO AM π∴==. cos FOM ∠∴==。

高一下学期数学测试一、选择题 1、sinx=54－,且x 在第三象限，那么tanx= A.43.43.34.34--D C B2. 己知向量)2,1(-=，那么=|| A ．5.5.5.5±±D C B3．)2,1(-=，)2,1(=，那么=⋅ A ．〔-1，4〕 B 、3 C 、〔0，4〕 D 、34．)2,1(-=a ，)2,1(=b ，与所成的角为x 那么cosx=A. 3B.53C. 515D.－515５．在平行四边形ＡＢＣＤ中，以下错误的选项是 Ａ、D C B =-=-=+=...６、把函数y=sin2x 的图象向右平移6π个单位后，得到的函数解析式是〔 〕 〔A 〕y=sin(2x+3π) 〔B 〕y=sin(2x+6π)〔C 〕y=sin(2x －3π) 〔D 〕y=sin(2x －6π)sin65°的值是〔 〕 〔A 〕21 〔B 〕－21 〔C 〕23 〔D 〕－23 ８、函数y=tan(32π+x )的单调递增区间是〔 〕 〔A 〕(2k π－32π，2k π+34π) k ∈Z 〔B 〕(2k π－35π，2k π+3π)k ∈Z〔C 〕(4k π－32π，4k π+34π) k ∈Z 〔D 〕(k π－35π，k π+3π) k ∈Z ９、设0<α<β<2π，sin α=53，cos(α－β)＝1312，那么sin β的值是〔 〕 〔A 〕6516 〔B 〕6533 〔C 〕6556 〔D 〕656310、△ABC 中，tanA=31，tanB=21，那么∠C 等于〔 〕 〔A 〕30° 〔B 〕45° 〔C 〕60° 〔D 〕135° 11、假如θ是第三象限的角，而且它满足2sin2cos sin 1θθθ+=+，那么2θ是〔 〕 〔A 〕第一象限角 〔B 〕第二象限角 〔C 〕第三象限角 〔D 〕第四象限角12、y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴是〔 〕〔A 〕x=－2π 〔B 〕x=－4π 〔C 〕x=8π 〔D 〕x=π4513、0<θ<4π，那么θ2sin 1-等于〔 〕 〔A 〕cos θ－sin θ 〔B 〕sin θ－cos θ 〔C 〕2cos θ 〔D 〕2cos θ14、函数y=3sin(2x+3π)的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下挪动而得到〔 〕〔A 〕向左平移3π单位 〔B 〕向右平移3π单位 〔C 〕向左平移6π单位 〔D 〕向右平移6π单位 15、假设sin 2x>cos 2x ，那么x 的取值范围是〔 〕 〔A 〕{x|2k π－43π<x<2k π+4π，k ∈Z } 〔B 〕{x|2k π+4π<x<2k π+45π，k ∈Z} 〔C 〕{x|k π－4π<x<k π+4ππ，k ∈Z} 〔D 〕{x|k π+4π<x<k π+43π，k ∈Z}二、填空题：16、函数y=cos2x －8cosx 的值域是 。

河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．复数312i 1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=I ，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3．已知向量()2,m λ=r ，()2,4n λ=--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或44．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．Z Z =甲乙，22s s >乙甲B ．Z Z =甲乙，22s s <甲乙C ．Z Z >甲乙，22s s >乙甲 D ．Z Z <甲乙，22s s >乙甲5．已知函数π())(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．π8B ．π4C ．3π8 D ．π26．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A ．等边三角形B ．正方形C ．梯形D ．正五边形10．若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（ ）A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．a a cb bc <D ．log log c b b a c a >11．在锐角ABC V 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边，1a =，cos cos 1b A B -=，则下列选项正确的有（ ）A ．2B A =B ．b 的取值范围是)C ．当32b =时ABC VD ．若当,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为⎛ ⎝⎭三、填空题12．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格增函数，则实数ω的取值范围是.13．已知函数()f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则函数()()()5log 1g x f x x =-+的零点有个.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．四、解答题15．已知()()4,3,23213a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r ．(1)求a r 与b r的夹角；(2)若a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+． (1)求C ；(2)a -的取值范围．17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[]40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间[)70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[]80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[]70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求：（1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值；（3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围.19．在直角梯形ABCD 中，,22AD BC BC AD AB ===∥90ABC ∠=︒（如图1），把△ABD 沿BD 翻折，使得A ∉平面BCD ，连接AC ，M ，N 分别是BD 和BC 中点（如图2）．(1)证明：平面BCD ⊥平面AMN ；(2)记二面角A —BC —D 的平面角为θ，当平面BCD ⊥平面ABD 时，求tan θ的值； (3)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()R AP NQPB QDλλ==∈（如图3），令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．。