第三章导数及其应用(精)

1 第三章 导数及其应用 3.1变化率与导数 3.1.1变化率问题

自主探究学习

能够通过对日常实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程..会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.

1.平均变化率：已知函数y=f(x)，令Δx=21xx，21()()yfxfx，则当0x时，

比值2121()()fxfxxx=yx，称作函数f(x)从1x到2x得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度. 名师要点解析 要点导学 平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化率的步骤是：

（1） 求自变量的增量Δx=0xx，

函数的增量000()()()()yyyfxfxfxxfx

（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(00，要注意Δx、y的值可正、可负，但0x，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则y=0

【经典例题】 【例1】已知质点M按规律s=2t2+3作直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),

(1)当t=2，Δt=0.01时，求ts;

(2)当t=2，Δt=0.001时，求ts; (3)求质点M在t=2时的瞬时速度 【分析】利用平均变化率的求解步骤来解决问题.

【解】：∵ttsttsts)()(

tttt)32(3)(222

=4t+2Δt, ∴(1)当t=2，Δt=0.01时，

ts=4×2+2×0.01=8.02 (cm/s).

(2)当t=2，Δt=0.001时， 2

ts=4×2+2×0.001=8.002(cm/s).

(3) 00limlimxxtsv(4t+2Δt)=4t=4×2=8(cm/s). 【点拨】Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，ts即平均速度，当Δt越小，求出的ts越接近某时刻的速度. 【例2】(2004年陕西省高考模拟试题)某一物体的运动规律为s=t3-t2+2t+5(其中s表示位移，t表示时间，单位：s).则物体在2s时的瞬时速度为_____________.

【分析】Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，ts即瞬时平均速度

【解】ttttttttts10)(5)(135)2(2)2()2(2323 =(Δt)2+5·Δt+10. ∴当Δt→0时，

00limlimxxts(Δt2+5·Δt+10)

=10,即为t=2时的瞬时速度. 【点拨】解题时要注意式子的整体代入，不要有所遗漏. 3.1.2 导数的概念 自主探究学习 理解并掌握导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.

导数：一般地，函数y=f(x)在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfx)()(lim000=

xyx0lim.我们称它为函数y=f(x)在0xx处的导数，记作f′(x0)或f′(x0)，即

f′(x0)=xxfxxfx)()(lim000. 对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在0x处的该变量，所以Δx可正可负，但0x；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数. 名师要点解析 要点导学 函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数.如果f(x)在开区间(a,b)内任一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样，对开区间(a,b)内每一个值x，都对一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a,b)内f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f′(x). 求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (1)求函数y=f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(00; 3

(3)取极限，得函数f′(x0)=xyx0lim. 【经典例题】 【例1】求函数y=x2在点x=1处的导数

【分析】①求函数增量Δy;②求函数的变化率xy;③求极限xyx0lim. 【解】Δy=(1+Δx)2-12 =2·Δx+(Δx)2,

∴xxxxxy2)(22. ∴xxxyxxx000lim2)2(limlim=2+0=2. ∴y′|x=1=2. 【点拨】应用求函数在某一点的导数的步骤进行求解. 【例2】已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4，求a的值. 【分析】这道题函数f(x)中含有字母a,已知f′(-1)=4,那么先要把f′(-1)用a表示出来，这样才能求出a的值. 【解】Δy=a(-1+Δx)3+3(-1+Δx)2+2-［a(-1)3+3(-1)2+2］=a·(Δx)3+(3-3a)(Δx)2+(3a-6)Δx.

∴xxaxaxaxy)2(3)()1(3)(23=a·(Δx)2+(3-3a)·Δx+3a-6. ∴00limlimxxxy［a(Δx)2+(3-3a)Δx+3a-6］=3a-6. ∴f′(-1)= xyx0lim=3a-6. 又∵f′(-1)=4, ∴3a-6=4.∴310a.

故所求a的值为310. 【点拨】利用导数定义先求导数，然后代入再求a的值. 3.1.3导数的几何意义 自主探究学习 了解导数的几何意义，函数y=f(x)在一点处的导数就是曲线y=f(x)在这点处的切线的斜率；了解导数与切线斜率的关系. 1.导数的几何意义

k=tanα=f′(x0) 4

图3-4 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). 切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0). 2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法： ①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0). ②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0. 名师要点解析 要点导学 学习了导数的几何意义后，可以知道，由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征，反过来，由曲线在一点处的切线斜率，借助图象，能够知道曲线在这点处的导数的特征. 导数与切线的关系. ①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角. ②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角. ③f′(x0)=0，切线与x轴平行. ④f′(x0)不存在，切线与y轴平行. 【经典例题】 【例1】曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标 【分析】求f(x)的导数f′(x)，根据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标. 【解】∵f(x)=x3+2x+1，

∴xxfxxfxfx)()(lim)(0

])(323[lim)()(3)23(lim)12(1)(2)(lim2203220330xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx





=3x2+2. ∴f′(x)=3x2+2=2,x=0. 又f(0)=1, ∴M的坐标为(0，1) 【点拨】先根据导数公式求出点的横坐标，再将横坐标代入函数式子求出纵坐标. 【例2】(2004年扬州市高考模拟题第22题)由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a≠0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),…,

如此继续地作下去,得到点列{Pn(xn,yn)}，试回答下列问题： (1)求x1; (2)求xn与xn+1的关系； (3)当a＞0时，求证：当n为正偶数时有xn＜a,当n为正奇数时有xn＞a. 【分析】过Pn(xn,yn)的切线的斜率kn=f′(xn)，利用点斜式写出直线方程. 5

又由于点Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上，所以坐标满足方程. 于是建立xn与xn+1的递推关系.对于第(1)问,设P0(x0,y0)即为P0(0，0). 因为原点也在曲线上，于是应该满足递推关系，求出x1.利用递推数列的知识求解xn的通项公式，最后运用分类思想给予证明. 【解】(1)原点(0，0)， kn=f′(xn)， ∵f(x)=x3-3ax2+bx,∴f′(x)=3x2-6ax+b， f′(xn)=3xn2-6axn+b. ∴k1=f′(x1)=3x12-6ax1+b. ∴过P1的切线l1的方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1). ∵l1过点O(0，0)， ∴-f(x1)=f′(x1)(0-x1). ∴x13-3ax12+bx1=(3x12-6ax1+b)x1. 又∵x1≠0，

∴x12-3ax1+b=3x12-6ax1+b.

∴2x12-3ax1=0.又x1≠0，∴231ax. (2)过Pn的切线ln的方程为 y-f(xn)=f′(xn)(x-xn), 又∵ln过点Pn-1(xn-1,yn-1), ∴f(xn-1)-f(xn)=f′(xn)(xn-1-xn). ∴xn-13-3axn-12+bxn-1-xn3+3axn2-bxn=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn). ∴(xn-13-xn3)-3a(xn-12-xn2)+b(xn-1-xn)=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn). 又∵xn-1≠xn, ∴xn-12+xnxn-1+xn2-3a(xn+xn-1)+b=3xn2-6axn+b, ∴xn-12+xnxn-1-2xn2+3a(xn-xn-1)=0. ∴(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0. ∴xn-1+2xn-3a=0,

即axxnn23211.

同理axxnn23211. (3)axxnn23211, ∴xn+1-a=-21(xn-a). ∴数列{xn-a}是等比数列，且公比为-21，首项为21a. ∴xn-a=21a·(-21)n-1. ∴xn=a-a·(-21)n. 当n为正偶数时，xn=a-a·(21)n＜a;