第三章 导数及其应1
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第三章导数及其应用
第一节变化率与导数第一课时变化率问题
高二数学编号112102 主编人：穆玉兰审核人：杨菊芳
【学习目标】
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率，灵活运用基础知识；
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念；
【思维导图】请构建本节知识的思维导图
【问题探究】
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
分析：Array (1) 气球的体积V与半径r之间的函数关系是
将半径r表示为体积V的函数关系是
(２)当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(３)当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出：
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?
思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
探究: 计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
【知识要点】
（A 级）知识点一：平均变化率概念 上述问题中的变化率可用式子1
212)
()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化
率.
（A 级）知识点二：若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为
=∆∆=∆∆x f
x y x
x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 （B 级）知识点三：观察函数)(x f 的图象
平均变化率y x ∆=∆1
212)
()(x x x f x f --表示什么? 平均变化率的几何意义是什么?
（A 级）知识点四：求平均变化率的步骤是（1）
（2） （3） 【实战演练】（思而不学则殆）
1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）
A ()x x f ∆+0
B ()x x f ∆+0
C ()x x f ∆⋅0
D ()()00x f x x f -∆+ 2． 一质点运动的方程为2
21t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）
A －4
B －8
C 6
D －6
3． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()2
48R R R ∆+∆ππ C ()2
44R R R ∆+∆ππ D ()2
4R ∆π
4． 在曲线12
+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则
x
y
∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D x
x ∆-∆+12 5．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间
[]21,t t 内的
6．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、
()()222,x f x P 连线的
7．（B 级）函数8232
--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，求 ()x f 在1x 到x x ∆+1上
的平均变化率？
8．（C 级）正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？
9．质点运动规律为32
+=t s ,求在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度.
10.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.
11.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.
【课后反思】（学而不思则罔）。
