考点39 离散型随机变量的分布列、期望与方差

第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布．2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题．3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解．【知识要点】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，而每一个值的概率为P(X＝x i)＝p i (i＝1，2，…，n)．则称表为随机变量X的概率分布列．(4)分布列的两个性质①0≤p i≤1，i＝1，2，…，n. ②p1＋p2＋…＋p n＝1．2．两点分布如果随机变量X 的分布列为(其中0<p<1)，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布列．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C M k C N－M n－kC N n，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称此分布列：P148．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．P13为超几何分布列．、4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：(1)均值：称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量ξ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称Dξ＝∑ni＝1(x i－Eξ)2p i为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量ξ与其均值Eξ的平均偏离程度，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的标准差．5．均值与方差的性质(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b．(2)D(aξ＋b)＝a2Dξ．6．基本性质若ξ服从两点分布，则Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．典型例题考点一、超几何分布及其应用例题1.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>10且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于12，求n的值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ.考点二、二项分布及其应用例题2. (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？7．某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除500元，但每个员工全年最多扣除1000元销售津贴．设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴．6．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．P4 考点三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差例题3. (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.P54．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝____(结果用最简分数表示)．5．设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：则EX的最大值为____；DX的最大值为____．P10考点集训1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n和p值分别为( )A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.82．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck（k＋1），k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜ξ＜2.5)＝____．3．随机变量ξ的分布列如下：则：(1)x＝____；(2)P(ξ>3)＝____；(3)P(1≤ξ<4)＝____．考点四、期望与方差的实际应用例题4.(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．【基础检测】1．设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n与p的值为( )A．60，34B．60，14C．50，34 D．50，142．已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝( )A．2 B.5928 C.6128 D.943．已知随机变量X的分布列为：则E(6X＋8)等于____．4．已知随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是____．方法总结1．关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出ξ的所有可能取值．(2)用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率．(3)利用(1)(2)的结果写出ξ的分布列．2．常见的特殊离散型随机变量的分布列．(1)两点分布．它的分布列为(p0q1)，其中0＜p＜1，且p＋q＝1；(2)二项分布．它的分布列为(0p01p12p2……k p k……n p n)，其中p k＝C n k p k q n－k，k＝0，1，2，…，n，且0＜p＜1，p＋q＝1，p k＝C n k p k q n－k可记为b(k；n，p)．3．对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均．(2)Eξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而Eξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态．(3)Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＋…直接给出了Eξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4．对离散型随机变量的方差应注意：(1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近，统计中常用Dξ来描述ξ的分散程度．(2)Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．。

高考总复习：离散型随机变量及其分布列、期望与方差【考纲要求】一、离散型随机变量及其分布列（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

二、离散型随机变量的均值与方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，,ξη，……表示。

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

要点诠释：1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。

这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。

2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。

3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。

二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,i nx x x x ，，，，X 取每一个值(=1,2,,)i x i n 的概率(=)=i i P X x p ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式(=)=,=1,2,,i i P X x p i n 表示X 的分布列。

2．离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（=1,2,,i n ）； ②1=1ni i p =∑。

要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。

1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。

在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率。

12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

0.5 + 1 − 2q + q2 = 1，解离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解并会求离散型随机变量的数字特征(均值与方差)．
问题思考·夯实技能 【问题1】 离散型随机变量X的每一个可能的取值为实数，其实质 代表是什么？
提示：代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明 理由．
题后师说 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
巩固训练3 [2024·河北唐山模拟]某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛， 有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽
m
2 3
k
(k＝1，2，3)，则m的值为(
)
A．1378
B．2378
C．1179
D．2179
答案：B
解
析
：
由
分
布
列
的
性
质
得
P(X
＝
1)
＋
P(X
＝
2)
＋
P(X
＝
3)
＝
m×
2 3
＋
m×(
2 3
)2
＋
m×(23)3＝3287m＝1，∴m＝2378.故选B.
(2)[2024·河北张家口模拟]设随机变量X的分布列如下表：
X 1 234 Pm
则P(|X－2|＝1)＝________．
答案： 5
12
解析：m＝1－14
−
1 4
−
13＝16，P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝16