甘肃省会宁县第一中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题(精品解析)
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宁一中2018-2019学年第一学期高三级第二次月考数学（文科）试题一.选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴．故选．2.函数的图象为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的对称性排除B、D，再由图象过点（0，1），故排除C，从而得出结论．【详解】由于函数y=2|x| x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，从而得到应选A，故选：A．【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性，函数的图象特征，用排除法、特殊值法解选择题，属于中档题．3.下列命题中正确的是( )A. 命题“”的否定是“”B. 命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件C. 若“，则”的否命题为真D. 若实数，则满足的概率为.【答案】C【解析】【分析】选择题可以逐一判断，对于A项，x2 x≤0”的否定应该是x2 x＞0”.对于B项，“p∧q为真”是“pVq为真”的充分不必要条件.对于C选项，若“，则”的否命题为“若am2＞bm2，则 a＞b”，正确.对于D项，由几何概型，x2+y2＜1的概率为，应由对立事件的概率的知识来求x2+y2≥1的概率.【详解】由全称命题的否定是特称命题可知“∀x∈R，x2 x≤0”的否定应该是“∃x∈R，x2 x＞0”，因此选项A不正确．对于B项，p∧q为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故“p∧q为真”是“pVq为真”的充分不必要条件，因此B错误．对于选项C，“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题是“若am2＞bm2，则a＞b”，显然其为真命题．对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，则满足x2+y2≥1的概率为p==1 =，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念，本题还涉及到了命题与概率的综合内容．4.若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】利用扇形的周长与面积的数值相等，建立等式，即可求得结论．【详解】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，∴l=∵l＞0，∴R＞2故选：B．【点睛】本题考查扇形的周长与面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.设函数,则满足f(x)≤2的x的取值范围是（ ）A. [-1,2]B. [0,2]C. [0,+∞)D. [1,+∞)【答案】C【解析】【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当x≤1时，21 x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：C．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．6.函数在区间上是增函数且，，则A. 0B.C. 1D. -1【答案】C试题分析：因为函数在区间上是增函数，且，所以所以 1.考点：三角函数的性质；三角函数的最值对应的x的值。
点评：若.7.中，角所对的边分别为，若，则为( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：B．8.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.9.设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（ ）A. f（x）在（，π）单调递减B. y=f（x）的图象关于直线x=对称C. f（x+π）的一个零点为x=D. f（x）的一个周期为﹣2π【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【详解】A.当时，，此时函数f（x）不是单调函数，故A错误B．当x=时，为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C.当x=时，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D.函数的周期为2kπ，当k=-1时，周期T=-2π，故D正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．10.设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lgx n，则a1＋a2＋…＋a99的值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，进而得到x n、a n，再利用“裂项求和”即可得出．【详解】∵y′=（n+1）x n，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线的斜率为y′|x=1=n+1．∴切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0，得x n=．∴a n=lgx n==lgn lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1 lg2）+（lg2 lg3）+…+（lg99 lg100）=lg1 lg100= 2．故选：C．【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、“裂项求和”，属于基础题．11.已知为R上的可导函数，且,均有，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即函数g（x）为R上的减函数，∴g（ 2013）＞g（0）＞g（2013），即∴e2013f（ 2013）＞f（0），∴f（2013）＜e2013f（0）．故选：D．【点睛】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题. 12.已知函数为增函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2 3a（x＞0）为增函数，可得f′（x）≥0，化为2a≥ ，令g（x）=﹣，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【详解】∵函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2 3a（x＞0）为增函数，∴f′（x）=（2x+1）e x+2ax≥0，化为2a≥ ，令g（x）=﹣，则g′（x）=﹣，可得：x=时，函数g（x）取得极大值即最大值，= 4．∴a≥ 2．∴a的取值范围是[ 2，+∞）．故选：A．【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13.已知函数f(x)的导函数为，且满足，则______【答案】【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x=1可得f′（1）=2f′（1）+2，计算可得答案．【详解】f′（x）=2f′（1）+2x，令x=1得f′（1）=2f′（1）+2，∴f′（1）= 2，故答案为：-2．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替．14.化简______________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式、分类讨论k，求得要求式子的值．【详解】当k=2n，n∈Z时，== 1；当k=2n+1，n∈Z时，== 1，综上可得，：= 1．故答案为：-1.【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．15.已知，则sin2x=_____．【答案】【解析】【分析】由可得 ,两边平方即可得到答案.【详解】由可得两边平方，则sin2x=.即答案为.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，属中档题.16.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1( )是单函数．下列命题：①函数（x R）是单函数；②指数函数（x R）是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）【答案】答案：②③④解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．【解析】【分析】根据单函数的定义分别进行判断即可．【详解】①若函数f（x）=x2（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1= x2或x1=x2，∴不满足单函数的定义．②若指数函数f（x）=（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，即x1=x2，∴满足单函数的定义．③若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），则根据逆否命题的等价性可知，成立．④在定义域上具有单调性的函数一定，满足当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，∴是单函数，成立．故答案为：②③④.【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键．三.解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.17.已知α，β∈(0，π)，tanα＝－，tan(α＋β)＝1.(1)求tanβ及cosβ的值；(2)求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先进行角的变换，由β=α+β﹣α，得代入已知，可求出tanβ，再由同角三角函数的关系求出cosβ（2）先求出，再对用差角公式展开求出它的值，然后就可求出的值【详解】（1）∵∴，∴（2）∴【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，解题的关键是熟练掌握三角函数中的相关公式及符号判断的规则，正确利用这些性质求出函数值，本题在求值过程中用到了角的变换，这是所求的三角函数值的角与已知三角函数值的角之间关系式学采用的技巧，其规律是用已知表示未知．18. 已知函数f（x）="2sin" ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以的单调递增区间为（）．【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．19.在中，、、的对边分别为、，，记，，且.（1）求锐角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1） .（2）的最大值为 .【解析】．解：（1）…………2分………………4分（2）………………8分又………………10分……12分20.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值；【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）由，得,所以，又，由点斜式可求曲线在点处的切线方程；（2），得.列表得到与在区间的情况，比较极值与的大小关系，即得到可函数在上的最大值.【详解】（1）由，得,所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：，即： .（2）令，得. 与在区间的情况如下：学]-0+极小值因为，所以函数在区间上的最大值为6.【点睛】本题考查函数在一点处的切线方程的求法以及利用导数求函数最值，属基础题.21. (本小题满分12分)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
