湖南省高考数学第二轮复习 专题升级训练17 优选法与试

专项小测(十六) “17~19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{a n}为正项数列,且na错误!－4（n＋1)a错误!＝0，令b n＝错误!，n∈N*。

(1）求证：｛b n｝为等比数列；（2）若a1＝1，求数列｛a错误!}的前n项和S n.解：(1）由na错误!－4（n＋1）a错误!＝0,得错误!＝4·错误!，因为a n>0，所以错误!＝2·错误!. （2分）又b n＝错误!，所以b n＋1＝2b n，因此错误!＝2。

(4分）故数列{b n｝是公比为2的等比数列．(5分）（2）b1＝错误!＝1，所以结合(1）可得b n＝2n－1，(6分)即错误!＝2n－1，所以a n＝错误!·2n－1，因此a错误!＝n·4n－1。

(8分)于是S n＝1＋2×4＋3×42＋…＋n×4n－1,所以4S n＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1）×4n－1＋n×4n,以上两式相减得，－3S n＝1＋4＋42＋…＋4n－1－n·4n＝错误!－n·4n＝错误!. （11分)故S n＝错误!. (12分)18．（12分)如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是梯形，AD∥BC且AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝4，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD,E是PB的中点，点M在棱PC上．(1）求证:AE⊥BM；(2)若M为PC的中点，求平面DME与平面PDC所成锐二面角的余弦值．解：(1)因为AD∥BC且AD⊥AB,所以BC⊥AB. （1分）又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB,因此BC⊥AE. (2分）因为△PAB是等边三角形，E是PB的中点，所以AE⊥PB。

又BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又BM⊂平面PBC，故AE⊥BM。

2 考题引路
4 易错防范
第一部分 一 考点强化练
走向高考 ·高考二轮总复习 ·数学
考向分析
第一部分 一 考点强化练
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推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单 独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．
通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识 为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、 推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．
第一部分 一 考点强化练
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[答案] 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋… ＋21n
[解析] 观察等式知：第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减， 奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1，分母是 1 到 2n 的连续 正整数，等式的右边第 n 个等式有 n 项相加，分子都是 1，分 母从 n＋1 到 2n，即n＋11＋n＋1 2＋…＋21n.故答案为 1－12＋13－14 ＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
A．Biblioteka a3＋b3＋c3 3C．a2＋b2＋c2 3
3 B．
a3＋b3＋c3 3
D．
a2＋b2＋c2 2
第一部分 一 考点强化练
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[易错分析] 考查类比推理，解答本题常见错误是仅从形 式上类比，将平方改为立方，将2改为3致误．
[解答] 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，所以 半径等于斜边长度一半；四面体 S－ABC 中，若 SA，SB，SC 两两垂直，其实是长方体的一部分，而长方体的体对角线的中 点为长方体外接球的球心，所以类比到这里，外接球半径是长 方体体对角线长的一半，即 R＝ a2＋2b2＋c2，故选 D．

大题规范练(二) “17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图4，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0.图4(1)求cos∠BOC 的值；(2)若△ABC 的面积为15，求b 2＋c 2－a 2的值.【导学号：07804231】[解] (1)设△ABC 外接圆的半径为R ，由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0得3OB →＋4OC →＝－2OA →， 两边平方得9R 2＋16R 2＋24R 2cos∠BOC ＝4R 2， 所以cos∠BOC ＝－21R 224R 2＝－78.(2)由题意可知∠BOC ＝2∠BAC ，∠BAC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos∠BOC ＝cos 2∠BAC ＝2cos 2∠BAC －1＝－78，从而cos∠BAC ＝14， 所以sin∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝154， △ABC 的面积S ＝12bc sin∠BAC ＝158bc ＝15，故bc ＝8，从而b 2＋c 2－a 2＝2bc cos∠BAC ＝2×8×14＝4.18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从特征量y 600的概率； (2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当特征量x 为570时特征量y 的值．(附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x )[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ， 则P (A )＝1－C 23C 25＝710.(2)由题中表格可知，x ＝555＋559＋551＋563＋5525＝556，y ＝601＋605＋597＋599＋5985＝600.∴b ^＝－1×1＋3×5＋－－＋－＋－－－2＋32＋－2＋72＋－2＝30100＝0.3， a ^＝y －b ^x ＝600－0.3×556＝433.2，∴线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2.当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2， 故特征量x 为570时，特征量y 的估计值为604.2.19．在平面四边形ACBD (如图5(1))中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5(2)所示的三棱锥C ′­ABD ，且使C ′D ＝2.图5(1) 图5(2)(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)求二面角A ­C ′D ­B 的余弦值．[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt△AC ′B ，Rt△ADB 中，AB ＝2，C ′O ＝DO ＝1. 又∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD .又∵C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ，∴C ′O ⊥平面ABD .又∵C ′O ⊂平面ABC ′，∴平面C ′AB ⊥平面DAB .(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，C ′(0,0,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， ∴AC ′→＝(0,1,1)，BC ′→＝(0，－1,1)，C ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1.设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AC ′→，n 1⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ′→＝0，n 1·C ′D →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，32x 1＋12y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3，∴n 1＝(3，－1,1)．设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ′→＝0，n 2·C ′D →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＋z 2＝0，32x 2＋12y 2－z 2＝0，令z 2＝1，则y 2＝1, x 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，1， ∴cos〈n 1，n 2〉＝3×33＋－＋1×13＋1＋1×13＋1＋1＝15×73＝10535， 二面角A ­C ′D ­B 的余弦值为－10535. (请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修4－4：标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ＝12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP ||AQ |＝6，求直线l 的普通方程． [解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C ：x 2＋2y 2＝12. 直线l 恒过的定点为A (2,0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得： (sin 2α＋1)t 2＋4(cos α)t －8＝0.由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.∵点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t 1t 2＝－8sin 2α＋1，∵|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝6， 即81＋sin 2α＝6，∴sin 2α＝13，∵α∈(0，π)， ∴sin α＝33，cos α＝±63， ∴直线l 的斜率k ＝±22， 因此，直线l 的方程为y ＝22(x －2)或y ＝－22(x －2)． 23．选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围.【导学号：07804232】[解] (1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1－x ＋－x －，或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3x ＋－x －，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3x ＋＋x －，解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)法一：化简f (x )得，当－m ≤3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤－m m ＋3，－m ＜x ＜32x ＋m －3，x ≥3，当－m ＞3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，2x ＋m －3，x ≥－m根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＞3－m －3≤5，即－8≤m ＜－3，∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．法二：∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|， ∴f (x )min ＝|3＋m |， ∴|m ＋3|≤5， ∴－8≤m ≤2，∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．。

（新高考）高考数学二轮复习专项小测20“17～19题”＋“二选一”理专项小测(二十) “17～19题”＋“二选一”时间：45分钟 满分：46分17．(12分)数列{a n }中，a 1＝2，(n ＋1)(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋n ＋1)． (1)求a 2，a 3的值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，a n ＝n 2＋1，a n ＝n 2＋n 中的一个，设数列{1a n}的前n 项和为S n ，{a n ＋1－a n }的前n 项和为T n ，若T n S n＞360，求n 的取值范围．思路分析：(1)根据已知条件，分别令n ＝1，n ＝2，求得a 2，a 3的值．(2)根据a 2＝6判断出数列的通项公式为a n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，利用裂项求和法求得S n 的值，利用累加法求得T n 的值，根据T n S n＞360列不等式，解不等式求得n 的取值范围．解：(1)∵(n ＋1)(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋n ＋1)， ∴a n ＋1＝n ＋3n ＋1a n ＋2， ∴a 2＝1＋31＋1a 1＋2＝6，(2分) a 3＝2＋32＋1a 2＋2＝12. (4分)(2)由数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，a n ＝n 2＋1，a n ＝n 2＋n 中的一个，和a 2＝6得数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1a n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， ∴S n ＝1－1n ＋1. (8分)∵(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝a n ＋1－a 1，a n ＝n (n ＋1)， ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝n 2＋3n ， 即T n ＝n 2＋3n .(10分)由T n S n＞360，得n 2＋4n －357＞0， 解得n ＞17或n ＜－21.∵n 是正整数，∴所求n 的取值范围为n ＞17，且n 是正整数． (12分)18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2AD ＝4，∠DAB ＝60°，AE ＝BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求二面角P －EC －D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解：设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥平面ABCD ， 又∵AD ＝AE ＝2，∠DAB ＝60°，所以△ADE 为正三角形，OE ⊥AD . 建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则P ()0，0，3，E ()0，3，0C ()－2，3，0，D ()－1，0，0，于是PC →＝(－2，3，－3)，PE →＝(0，3，－3)，DP →＝(1,0，3)． (1)设平面PEC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )．由PC →·n 1＝0，PE →·n 1＝0得一个法向量n 1＝(0,1,1)， 平面EDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)．设二面角P －EC －D 的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. 由图知θ为锐角，所以二面角P －EC －D 的余弦值为22. (2) 设PM →＝λPC →(0≤λ≤1)，则PM →＝(－2λ，3λ，－3λ)，DM →＝DP →＋PM →＝(1－2λ，3λ，3－3λ)，PE →＝(0，3，－3)，所以|cos 〈DM →，PE →〉＝|DM →·PE →|DM →‖PE →|＝|6λ－3|6·10λ2－10λ＋4＝68，解得λ＝13或23，所以存在满足题设的点M ，且点M 为线段PC 的三等分点．19．(12分)为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛．已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示．(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数；(2)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；(3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数)．参考数据：P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)设中位数为x ，则0.005×20＋0.015×20＋(x －60)×0.02＝0.5，解得x ＝65，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65. (3分)(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为(0.01＋0.02)×20×10＝6，不合格的人数为10－6＝4.由题意可知ξ的可能取值为0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 410＝1210.所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×14＋1×21＋2×7＋3×35＋4×210＝5635. (8分)(3)由题意可得，μ＝(30×0.005＋50×0.015＋70×0.02＋90×0.01)×20＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，则σ＝18，由Z 服从正态分布N (μ，σ2)，得P (64－18<Z ≤64＋18)＝P (46<Z ≤82)≈0.682 7，则P (Z >82)≈12(1－0.6827)＝0.15865，P (Z >45)≈0.6927＋0.158 65＝0.841 35，所以此次竞赛受到奖励的人数为60×0.841 35≈50.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数且t ＞0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2)曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β(β为参数，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcos θ＝1.(1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设曲线C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立曲线C 3，C 4的极坐标方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2ρcos θ＝1，得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，ρ＝1－52(舍去)，即交点到极点的距离为1＋52.(5分)(2)由题意得曲线C 1的极坐标方程为θ＝α，⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，ρ＞0，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，联立两方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立，得ρ＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)， 其中φ的终边经过点(2,1)，当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值为1＋ 5.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知f (x )＝|x －1|＋|ax ＋1|.(1)a ＝1时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤3－x 的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝1，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1，f (x )≥3，则x ≤－32或x ≥32，所以不等式的解集为⎩⎨⎧x |x ≤－32或x ≥32. (5分)(2)f (x )≤3－x 的解集包含[－1,1]，即为f (x )≤3－x 在[－1,1]上恒成立． 当x ∈[－1,1]，f (x )＝|x －1|＋|ax ＋1|＝1－x ＋|ax ＋1|， 故f (x )≤3－x 即为1－x ＋|ax ＋1|≤3－x ， 即|ax ＋1|≤2，所以－2≤ax ＋1≤2，－3≤ax ≤1.又因为x ∈[－1,1]，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤(－1)·a ≤1，－3≤1·a ≤1，所以a ∈[－1,1]． (10分)。