专题五 万有引力定律

1 第五章 万有引力定律 【基础知识】 一、开普勒三大定律 1、开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在所有椭圆的一个 上。 2、开普勒第二定律：对于每一颗行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过 的面积。 3、开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的 与公转周期的 的比值都相等。 用公式表示为： ，式中a表示行星椭圆轨道的__________,T是行星_________的周期， K是一个与行星 关，而只与太阳 关的常量。即所有行星的K值都 （填“相等”或“不相等”） 例1、在太阳系里有许多小行星，如发现某一颗小行星绕太阳运行的半径是火星绕太阳运行半径的4倍，则这颗小行星绕太阳运行的周期是火星绕太阳运行的周期的( ） A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 二、万有引力定律 1、内容：自然界中________两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成_________,跟它们的距离的______________________.用公式表示为：_______________, 2、万有引力定律公式只使用两个_______之间或两个质量分布均匀的球体之间，r为质点间距或两球体球心间距。 三、万有引力与重力的关系 1、假设地球是一个半径为R的密度均匀的球体，其质量为M。地面上纬度为 处有一个质量为m的物体，它受到地球的引力大小为： 。方向： 。 2、考虑地球自转 ①、地面上的物体就随着地球的自转而做匀速圆周运动，如图所示。所需的向心力F2=mrω2= 方向： 。 ②、引力F分解成两个分力：垂直指向地轴的向心力F2和使物体压紧(向)地面的力F1——此分力就是我们熟悉的重力G，显然重力方向 指向球心 例2/假如地球自转速度增大,关于物体重力的下列说法中不正确的是 ( ) A、放在赤道地面上的物体的万有引力不变 B、放在两极地面上的物体的重力不变 C、赤道上的物体重力减小 D、放在两极地面上的物体的重力增大 四、黄金代换式不考虑地球自转： 即向心力为0，地面上物体万有引力为F=_____________ 重力G=_________ 由F=G整理得：_______________（黄金代换式） 五、万有引力的应用 应用一、1、质量为m的行星（或卫星）绕某中心天体M做匀速圆周运动，轨道半径为r，试推导线速度的表达式：行星（或卫星）绕某中心天体M做匀速圆周运动 提供向心力即： 解得：V=

  F2 物体 F F1 O 2

2、 角速度的表达式：_______________3、周期的表达式:___________________ 4、向心加速度的表达式_______________5、推导r3/T2=___________,从而验证开普勒第三定律是正确的。 应用二、计算中心天体的质量：条件是:已知轨道半径r和公转周期T. 解：由万有引力提供向心力，得： 解得： 应用三：计算中心天体的密度：已知轨道半径为r、环绕周期为T和中心天体半径R：由万有引力提供向心力，得： 解得：中心天体质量为 ,中心天体体积为:_______________ 由密度公式：_____________,代入数据解得：____________________ 推广：若轨道半径为r和中心天体半径R近似相等，则密度公式为:_________________即：已知___________________________就能求出密度 六、人造卫星的运行规律 （一）(1)第一宇宙速度(环绕速度)v1= km/s，人造卫星的最小发射速度，人造卫星的最大环绕速度；根据卫星圆周运动，满足：_____________________,解得卫星的运行速度为_________对于地面附近飞行的卫星，轨道半径可取________半径。第二个公式是_______________. (2)第二宇宙速度(脱离速度)v2＝ km/s，第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝ km/s 例3、我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.

已知月球的质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）

A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s （二）、近地卫星的运行特点 1、近地卫星：离地面的高度远小于地球的半径，所以轨道半径近似为卫星的 ，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度. 其环绕速度最大，周期最小。 2、人造卫星在绕地球运行时，只考虑地球对卫星的万有引力，故卫星在轨道上做圆周运动时地球对卫星的万有引力 卫星的向心力。所以人造卫星绕地球运行时的轨道圆心必须与地心 。 （三）、同步卫星的运行特点 1、同步卫星：相对地面静止的卫星称为地球同步卫星，又称同步通讯卫星，这里所说的“静止”是相对地球静止，它的运行期与地球自转周期相等的地球卫星．同步卫星只能处于赤道面上． 2.同步卫星的“六个定量”: 1、定周期即运动周期等于地球自转周期(24h)； 2、定轨道平面即运行平面在赤道平面内(即位置固定在赤道的正上方) 3、定高度即离地面的高度一定(h=3.6×107m)； 4、定速率即运行速率为一定值（v同=3.08km/s）； 5、定角速度即运行的角速度为一定值（ω= 7.27×10-5rad/s）； 6、定加速度即运行的加速度为一定值（a =0.23m/s2）。 例4、同步卫星A的运行速率为v1，向心加速度为a1，运转周期为T1；放置在地球赤道上的物体B随地球自 3

转的线速度为v2，向心加速度为a2，运转周期为T2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星C的速率为v3，向心加速度为a3，动转周期为T3。比较上述各量的大小可得( ) A．T1=T2>T3 B．v3> v2> v1 C．a1< a2= a3 D．a3> a1> a2

（四）、变轨运行分析

由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生变化（逐渐增大或逐渐减小）。解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。 (1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝

GMr判断，根据公式再判断w,T,的变化。

(2)卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝GMmr2＝ma比较得出。 (3)要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度h），一定要给卫星增加能量。 例3、某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用v l、v 2分别表示卫星在这两个轨道上的速率，则（ ） A．r1r2，v 1< v 2 C．r1 v 2 D．r1>r2，v1> v 2

【基础应用】

1、下列说法正确的是 ( ) A、地球是宇宙的中心，太阳、月亮及各个行星都绕地球运动 B、太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运动 C、太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动 D、托勒密提出的“地心说”和哥白尼提出的“日心说”现在看来都是不正确的

2、关于开普勒第三定律的 32akT 的理解，正确的是（ ） A、T表示行星的自转周期 B、k是一个与行星无关的常量 C、该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 D、若地球绕太阳运转的半长轴为 a1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为a2，周期为 T2 ，由开普勒

第三定律可得 13322212aaTT 3、两颗行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则它们的公转周期之比为 （ ） A、12rr B、3132rr C、3132rr D、无法确定 4、若已知绕太阳运行的一个行星的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得：（ ） A 该行星的质量， B 太阳的质量， 4

C 该行星的平均密度， D 太阳的平均密度， 5、若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比M日/M地为（ ）

A.2323TrtR B.2323trTR C.3232TrtR D.3232trTR 6、某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增加到原来的n倍后，仍能够绕地球做匀速圆周运动，则（ ） A．根据rv，可知卫星运动的线速度将增大到原来的n倍。

B．根据rmvF2，可知卫星受到的向心力将减小到原来的n1倍。 C．根据2rGMmF，可知地球给卫星提供的向心力将减小到原来的21n倍。 D．根据rmvrGMm22，可知卫星运动的线速度将减小到原来的n1倍。 7．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的( ) A．速率变大，周期变小 B．速率变小，周期变大 C．速率变大，周期变大 D．速率变小，周期变小 8、两颗人造地球卫星A和B的质量比2:1:BAmm，轨道半径之比3:1:BArr，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比BAvv: ，向心加速度之比BAaa: ，向心力之比BAFF:＿ 。

9、某人在一星球上高h处自由释放一小球，经过时间t落地，已知该星球的半径为R，求这星球的第一宇宙速度？

10、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动其周期为T，地球半径为R0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需要的时间？

B R

A R0