2018高考数学专题高考数学专题汇编——理科数学(解析版)12：统计

概率与统计（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）数学考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释(共31题；共350分)1．（15分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）（5分）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）（5分）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20，70)的概率；（3）（5分）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40，50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）解：平均年龄x̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+ 55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9（岁）（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89（3）设B={任选一人年龄位于区间[40，50)}，C={任选一人患这种族病}，则由条件概率公式，得P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A= {一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．2．（10分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）（5分）求甲学校获得冠军的概率；（2）（5分）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】（1）解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.16+0.16+ 0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．3．（10分）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：附： K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， （1）（5分）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）（5分）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？【答案】（1）解：由表中数据可知，A 共有班次240+20=260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ， 则 P(M)=240260=1213； 则A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 共有班次210+30=240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则 P(N)=210240=78. B 家公司长途客车准点的概率为 78 .（2）解：列联表K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 500×(240×30−210×20)260×240×450×50≈3.205>2.706 ，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.4．（15分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得∑x i2i=1=0.038，∑y i2i=1=1.6158，∑x i y ii=1=0.2474．附：相关系数r=∑(x i−x̅)ni=1(y−y̅)√∑(x i−x̅)2ni=1∑(y i−y̅)2ni=1√1.896≈1.377．（1）（5分）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）（5分）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）（5分）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．【答案】（1）解：样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x̅=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y̅=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3（2）解：r=∑(x i−x̅)10i=1(y−y̅)√∑i=1(x i−x̅)2∑i=1(y i−y̅)2=∑10i=1i i̅̅√∑10i=1i2̅2∑10i=1i2̅2=√(0.038−10×0.06)(1.6158−10×0.39)=√0.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r≈0.97（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39=186Y，解之得Y=1209m3．则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3【解析】【分析】（1）计算出样本中10棵这种树木根部横截面积的平均值及10棵这种树木材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）根据相关系数公式计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．5．（10分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P（B）=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P（C）=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4（III）甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1= 9.479乙的平均数：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数：(9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差：S2=[(9.8−9.479)2+⋯+(9.25−9.479)2]÷10=0.172乙的方差：S2=[(9.78−9.457)2+⋯+(9.23−9.457)2]÷6=0.0329丙的方差：S2=[(9.85−9.465)2+⋯+(9.16−9.465)2]÷4=0.086在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.6．（10分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）（5分）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）（5分）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B∣A)P(B̅∣A)与P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R=P(A∣B)P(A̅∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A∣B̅)；(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A∣B̅)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.625所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i) R=P(B∣A)P(B̅∣A)÷P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)=P(B∣A)⋅P(B̅∣A̅)P(B̅∣A)⋅P(B∣A̅)=P(AB)P(A)⋅P(B̅A̅)P(A̅)P(B̅A)P(A)⋅P(BA̅)P(A̅)=P(AB)⋅P(B̅A̅)P(B̅A)⋅P(BA̅̅̅̅̅)=P(AB)P(B)⋅P(B̅A̅)P(B̅)P(B̅A)P(B̅)⋅P(BA̅)P(B)=P(A∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A̅∣B)⋅P(A∣B̅)(ii) P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100，P(A∣B̅)=P(A̅B̅)P(B̅)=n(A̅B̅)n(B̅)=90100P(A∣B)=P(A̅B)P(B)=n(A̅B)n(B)=60100，P(A∣B̅)=P(AB̅)P(B̅)=n(AB̅)n(B̅)=10100R=40×9060×10=6故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅰ)由条件概率的计算公式分别求得P(A∣B)，P(A∣B̅)，P(A∣B)，P(A∣B̅)，再代入R，求解即可.7．（15分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．（1）（5分）已知p=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；（2）（5分）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p 1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；（3）（5分）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.（2）设f(x)=p3x3+p2x2+(p1−1)x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f(x)=p3x3+p2x2−(p2+p0+p3)x+p0，若E(X)≤1，则p1+2p2+3p3≤1，故p2+2p3≤p0.f′(x)=3p3x2+2p2x−(p2+p+p3)，因为f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞，x1)，(x2，+∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，若x2=1，因为f(x)在(x2，+∞)为增函数且f(1)=0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)=f(1)=0，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)=0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p=1.若E(X)>1，则p1+2p2+3p3>1，故p2+2p3>p0.此时f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(−∞，x3)∪(x4，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞，x3)，(x4，+∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，而f(1)=0，故f(x4)<0，又f(0)=p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1.（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.8．（10分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）（5分）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）（5分）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可. 9．（10分）甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）（5分）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）（5分）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附： K 2=n(ad−bc)2（a+b ）（c+d ）（a+c ）（b+d ）【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是： 150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是：120200=35（2）由于 K 2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121iz i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1D 2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R ð（ ） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->UD ．{}{}|1|2x x x x -U ≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则a 5=（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（ ） A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ）A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．33B ．23C ．32D ．3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。

母题三统计图表【母题来源一】【2018高考新课标1理数3】【母题原题】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.【命题意图】本类题通常主要考查统计图表的识别，新知识的应用等. 【基础知识整合】1.茎叶图的画法； 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按从小到大次序排成一列，写在左(右)侧； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2.频率分布直方图作图的步骤；(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定 组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．3.频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图；连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． （2）总体密度曲线；随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 4.样本的数字特征及意义 (1)众数、中位数、 平均数(2)标准差、方差①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].②方差：标准差的平方s 2叫做方差;s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．【解题技巧与解题方法】根据茎叶图比较平均数、方差大小的方法1．平均数：根据茎叶图比较数据的大小，便可判断平均数的大小．2．方差：根据数据的集中程度判断，若数据集中在某一茎上，其他数据均匀对称分布在两边，此种情况方差较小，若两组数据均属此种情况，或均不属此种情况，应通过计算比较大小，有时也可以计算出平均数，然后通过数据与平均数的离散程度来估计大小． 3．绘制频率分布直方图时需注意；(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确． (2)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．4．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式；(1)频率组距×组距＝频率． (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数． 5．利用频率分布直方图估计样本的数字特征；(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形中点的横坐标．1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】如图是年至年我国三类专利申请总量的统计分析柱形图，则以下说法不．正确的是（ ）A. 三类专利申请总量呈上升趋势B. 三类专利申请总量与年份呈正相关C. 年实用新型专利的数量与上一年相比有所增长D.年发明专利的数量与上一年基本持平【答案】D【解析】分析：结合统计分析柱形图逐一判断得解.详解：由于从2004年到2013年的柱形图的高度逐年增加，所以三类专利申请总量呈上升趋势，所以选项A正确，三类专利申请总量与年份呈正相关，所以选项B正确.由于年实用新型专利的数量与2012年相比有所增长，所以选项C正确.由于年发明专利的数量与上一年要多，所以选项D错误.故答案为：D 点睛：本题主要考查对柱形图的观察和理解，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和观察分析能力. 2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）A. 2009年产值比2008年产值少B. 从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2017年D. 2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低【答案】D点睛：本题主要考查条形图的应用以及条形图的性质，意在考查学生的阅读能力，划归思想以及建模能,属于中档题.3．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套】下图是2017年1-11月汽油、柴油价格走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（）A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92汽油与95汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌【答案】D点睛：本题考查折线图的识别，解题关键理解折线图的含义，属于基础题.4．【2018届四省名校高三第三次大联考】某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是（）A. A班的数学成绩平均水平好于B班B. B班的数学成绩没有A班稳定C. 下次B班的数学平均分高于A班D. 在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分【答案】C点睛：本题主要考查了根据图表求平均分等，属于中档题。

考查学生对交集定义的理解，
是一道容易题 .
4.【2020 年高考天津】设全集 U = {-3, - 2, - 1,0,1,2,3}，
集合 A = {-1,0,1,2},B = {-3,0,2,3}，
则A∩
）
∁ U B =（
A. {-3,3}
B. {0,2}
C. {-1,1}
D. {-3, - 2, - 1,1,3}
故 - = 1，
2
解得 a = -2.
故选 B．
【点睛】本题主要考查交集的运算，
不等式的解法等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .
2.【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合 U = {-2，-1，0，1，2，3}，A = {-1，0，1}，B = {1，2}，
则∁
）
U (A ∪ B) =（
而B
∈ m ⊂ α,C ∈ n ⊂ α，
根据公理 1 可知，
专题 01
集合与常用逻辑用语
1.【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设集合 A = {x | x2 – 4 ≤ 0}，B = {x | 2x + a ≤ 0}，
且 A ∩ B = {x |– 2 ≤
x ≤ 1}，
则 a =（
）
A. – 4
B. – 2
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合 A,B，
y≥x
*
【详解】由题意，A ∩ B 中的元素满足
x + y = 8 ，且 x,y ∈ N ，
由 x + y = 8 ≥ 2x，
得 x ≤ 4，
所以满足 x + y = 8 的有 (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)，