广东省广州市三校2021届高三上学期8月联考 数学答案

2024—2025学年度上学期普通高中高三第四次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．2a ≥ C ．1a ≤ D ．2a ≤【答案】B【详解】由A B A = 知A B ⊆，又{}|12Ax x =<<，{|B x x a =<，所以2a ≥， 故选：B.2．在ABC 中，点D 是边BC 上一点，若AD xAB y AC =+ ，则22(1)23x y ++的最小值为（ ） A ．56B ．45C ．43D ．1 【答案】B【详解】在ABC 中，点D 是边BC 上一点，由AD xAB y AC =+，得1x y +=，即1y x =−， 则222222(1)115444[32(2)](588)()23666555x y x x x x x ++=+−=−+=−+≥，当且仅当45x =时取等号， 所以所求的最小值为45.故选：B3．正项递增等比数列{}n a ，前n 项的和为n S ，若2430a a +=，1581a a =，则6S =（ ） A ．121 B ．364 C ．728 D ．1093【答案】B【详解】在正项递增等比数列{}n a 中1581a a =，所以241581a a a a ==， 又2430a a +=，所以24327a a = = 或24273a a = = （舍去），设数列{}n a 的公比为()0q q >，则131327a q a q = = ，所以131q a = = ，所以661336413S −==−.故选：B.4．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）A ．881B ．1681C ．2481D ．3281【答案】A【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为23，向右下落的概率为13，则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，故此时概率为：1314218C 3381=. 故选：A5．函数()sin cos f x a x b x =+图象的一条对称轴为直线π6x =，则ab =（ ）AB．CD．【答案】C【详解】由题意可得0a ≠，0b ≠，()()sin cos f x a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=，[)0,2πϕ∈， 由函数()f x 图象的一条对称轴为直线π6x =， 即有()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π3k k ϕ=+∈Z ， 又[)0,2πϕ∈，故π3ϕ=，故1πtan 3a b ==故选：C.6．已知点1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yB a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（ ）ABCD【答案】B【详解】点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 必在2MF 上，因此2,,M F N 共线，1MF MN =，122MF MF a +=，设1MF m =22MF a m =−，MN m =，2222NF MN MF m a =−=−， 又122NF NF a +=，∴142F N a m =−， 1MF N 中，由余弦定理得：222111122cos F N MF MN MF MN F MF =+−∠，∴22227(42)29a m m m m −=+−×，化简得32m a =，∴132MF a =，212MF a =，12MF F △中，122F F c =，由余弦定理得22231317(2)()()222229c a a a a =+−×××，解得c e a==故选：B ．7．已知函数()f x 定义域为()0,∞+，1x ∀，()20,x ∈+∞，()()1221120x f x x f x x x −<−，且()36f =，()22224f a a a a +>+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),20,−∞−∪+∞B ．()(),31,−∞−+∞C ．()3,1−D ．()()320,1−− ,【答案】B【详解】由条件得1x ∀，()20,x ∈+∞，()()2121210f x f x x x x x −>−，()f x x∴在()0,∞+上递增. 由()22224f a a a a +>+得()()2223223f a a f a a+>=+，则2220323a a a a a +>⇒<− +> 或1a >． 故选：B ．8．在△ABC 中，AD 为BAC ∠的角平分线（D 在线段BC 上），1,2CD AD ==，当AB AC +取最小值时，BD =（ ）.A ．12BC 1D 1+ 【答案】C【详解】设,BD x ADC α=∠=，DAC ∠θ=，则()0,πα∈，则在ADC △中由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD α=+−⋅⋅， 即2414cos AC α=+−，所以AC =，由角平分线定理可得AB BDAC CD=，所以AB =又ABD ADC ABC S S S +=， 故111sin sin sin 2222AB AD AD AC AB AC θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，化简得1cos x θ+=①，而在△ADC 中由余弦定理cos θ=代入①得11cos x α=−.又因为()0,πα∈，所以()cos 1,1α∈−，所以1,2x ∞∈+，故1,2AB AC x ∞==∈+ . 所以()f x AB AC =+=所以()f x ′令()1012f x x =⇒=−>′或10x <（舍去），所以当112x∈−时，ff ′(xx )<0，则()f x单调递减，当)1,x ∞∈−+时，ff ′(xx )>0，则()fx 单调递增，所以1x=时，()f x 取得最小值，即AB AC +取得最小值.所以ABAC +取得最小值时，1BD =.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知12,z z 是关于x 的方程()220x x m m −+=∈R 的两根，则（ ）A ．122z z +=B ．12=z zC ．若1m >，则12z z =D ．若1m >，则22122z z +<【答案】ACD【详解】关于x 的二次方程220,44x x m m −+=∆=−．当1m ≤时，0∆≥，所以1212,,2z z z z ∈+=R ，12z z m =，但12=z z 不一定成立． 当1m >时，0∆<，12,z z 是方程的两个复数根，12122,z z z z m +==仍成立，此时12=z z ，故A 正确，B 错误．若1m >，方程220x x m −+=的两根为1x =，所以12,z z 互为共轭复数，C 正确．若1m >，由于12122,z z z z m +==，所以()2221212122422z z z z z z m +=+−=−<，D 正确．故选：ACD10．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且2AC CB=，SM SC λ= ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则（ ）A ．存在()0,1λ∈，使得BC AM ⊥B ．当23µ=时，存在()0,1λ∈，使得//AM 平面ONCC ．当13λ=，23µ=时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57µ= 【答案】BCD【详解】对于A ，BC AC ⊥，则BC 与AM 不可能垂直，若BC AM ⊥，则⊥BC 面SAC ，则BC SA ⊥，则⊥BC 面SAB 矛盾，A 错．对于B ，取SN 中点P ，则//AP ON ，过P 作//PM CN 交SC 于点M ，此时M 为SC 中点，则面//APM 平面ONC ，∴//AM 平面ONC ，B 对．对于D ，如图建系，()0,A −，()0,B ，()0,0,6S ，()0,,66N µ− ()0,6AN µ=+−，()C ，6)SC =− ，，0AN SC ⋅=∴6636360+−+=µµ，∴57µ=，D 对．对于C,23µ=时，23ASN SAB S S =△△，13λ=时，M 到平面SAB 的距离是C 到平面SAB 距离的13.11213333M SAN SAN SAB V S h S h −=′=⋅⋅△△，其中h ′表示M 到平面SAB 的距离，h 是C 到平面SAB 距离，22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h V −−==⋅==××××=△△C 对， 故选：BCD ．11．已知圆221:(1)1Q x y −+=和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=的交点为,A B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y −=B ．线段AB 的中垂线方程为10x y −=C ．公共弦AB 的长为D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 【答案】AB【详解】对于A ，因为圆221:(1)1Q x y −+=和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=，圆心距11<<+,两圆相交，将两式作差可得公共弦AAAA 所在直线的方程为440x y −=，即0x y −=，故选项A 正确；对于B ，因为圆221:(1)1Q x y −+=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AAAA 中垂线的斜率为1−，即线段AAAA 中垂线方程为()01y x −=−−，整理可得10x y +−=，故选项B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到直线0x y −=的距离为d 1Q 的半径rr =1，所以AB =C 错误；对于D ，点P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到直线0x y −=的距离为d =1Q 的半径rr =1，所以点P 到直线AAAA 1，故选项D 错误． 故选：AB ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，(10)P x m >=，(68)P x n ≤≤=，则21m n+的最小值为 .【答案】6+6【详解】 随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，1(8)2P X ∴≥=，由(10)P x m >=，(68)(810)P x P x n ≤≤=≤≤=，12m n ∴+=，且0,0m n >>，则()21212223236n m m n m n m n m n+=++=++≥+=+当且仅当2n m m n =，即m n=所以21m n+的最小值为6+．故答案为：6+.13．在数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥−N 恒成立，则实数k 的最小值为 . 【答案】427【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=， 故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列， 所以12333n n n a −+=×=，则不等式()235n k a n +≥−可化为353n n k −≥，令()()*353nn f n n −=∈N ， 当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >； 又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++−−−+−=−=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ×−≤==，则427k ≥，即实数k 的最小值为427. 故答案为：427. 14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 【答案】57【详解】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =−，又点()5,4P ，则25c PF ==， 在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点G ， 过P 作PM 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=−−=，故椭圆离心率2527c e a =≤．故答案为：57.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos c B C ⋅，b =． (1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长； (3)若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围． 【答案】(1)π3(3)32【详解】（1）在ABC中，由正弦定理及sin cos c B C ，得sin sin cos B C B C A)cos sin B C B C B C +=，即sin sin sin B C B C =，而(0,π)C ∈，sin 0C ≠，解得tan B =(0,π)B ∈，所以π3B =. （2）由π3B =及b =()22233c a ac c a ac =+−=+−， 又2a c +=，解得13ac =， 由ABC ABD BDCS S S =+ 得111sin sin sin 22222B Bac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅， 即ππsin ()sin 36ac BD c a =⋅+，则11232BD ××，所以BD =（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ， 则()()2222211322444acBE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2πsin 4sin sin 4sin sin sin 3b ac A C A C A A B ===−即2πcos 2sincos212sin 216ac A A A A A A=+=−+=−+，ABC 为锐角三角形， π022ππ032A A<< <−<，所以ππ,62A ∈ ，所以ππ5π2,666A −∈ ，所以π1sin 2,162A −∈ ，所以(]π2sin 212,36ac A=−+∈， 所以23279,444ac BE + =∈，所以32BE ∈ ，即边AC 上的中线BE的取值范围为32 ． 16.（本小题15分）已知函数2()e (1)mx f xx mx =−−． (1)当1m =时，曲线()y f x =在点(,())k f k （1,2,3k =）处的切线记为k l ．①求1l 的方程；②设k l 的交点构成ABC ，试判断ABC 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明． (2)讨论()f x 的极值．【答案】(1)①e 0+=y ；②ABC 为钝角三角形，证明见解析； (2)答案见解析.【详解】（1）当1m =时，2()e (1)x f x x x =−−，则2()e (2)x f x x x ′=+−， ①因为2(1)e(112)0f ′=+−=，2(1)e(111)e f =−−=−，所以1l 的方程为e 0+=y . ②ABC 为钝角三角形，证明如下:由①知1l 的方程为e 0+=y ， 又222(2)e (222)4ef ′=+−=，222(2)e (221)e f =−−=， 所以2l 的方程为22e 4e (2)y x −=−，即224e 7e y x =−， 又233(3)e (332)10ef ′=+−=，323(3)e (331)5e f =−−=， 所以3l 的方程为335e 10e (3)y x −=−，即3310e 25e y x −， 由224e 7e e y x y =− =− ，得到7e 14e x −=，所以7e 1,e 4e A −−， 由3310e 25e e y x y =− =− ，得到2225e 110e x −=，所以2225e 1,e 10e B −− ， 由332210e 25e 4e 7e y x y x =− =−，得到325e 730e ,10e 410e 4x y −=−−，所以325e 730e ,10e 410e 4C − −−，得到22227e 125e 115e 5e 2,0,04e 10e 20e BA−−−−+=−= ， ()33233225e 725e e 30e 30e 10e 430e ,e ,e 10e 410e 10e 410e 10e 410e 4BC−−+−=−+=+−−−−， 则()222215e 5e 230e 10e 420e 10e 10e 4BC BA −−++−⋅=×− ， 注意到2215e 5e 20,30e 10e 40,10e 40−−+<+−>−>，所以cos 0BC BA BC BA B ⋅=⋅<，得到cos 0B <， 又AA ∈(0,π)，所以π,π2B∈，即ABC 为钝角三角形.（2）因为2()e (1)mx f xx mx =−−，则22()e [(2)2]e (2)()mx mx f x mx m x m mx x m ′=−−−=+−， 当0m =时，()2f x x ′=，由()0f x ′=，得到0x =，当0x >时，()0f x ′>，0x <时，()0f x ′<， 此时0x =是()f x 的极小值点，极小值为(0)1f =−，无极大值， 当0m ≠时，由()0f x ′=，得到2x m=−或x m =，又e 0mx >， 若0m >，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′>，2,x m m∈−时，()0f x ′<， 此时，2x m=−是()f x 的极大值点，极大值为222()e (41)f m m −=+−，x m =是()f x 的极小值点，极小值为2()e m f m =−，若0m <，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′<，2,x m m∈−时，()0f x ′>，此时，2x m=−是()f x 的极大值点，极大值为222()e (41)f m m −=+−，x m =是()f x 的极小值点，极小值为2()e m f m =−.综上，当0m =时，极小值为(0)1f =−，无极大值，当0m ≠时，极大值为22()e 1)f m −=+−，极小值为2()e m f m =−. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，112ABCD AD ===，M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ； (2)若PC =，1PD =，（i ）求二面角P DM B −−的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM PQ 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在，PQ 【详解】（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示：M 为棱PC 的中点，MN CD ∴ ，12MN CD =， AB CD ，12AB CD =，AB MN ∴∥，AB MN =，∴四边形ABMN 是平行四边形，BM AN ∴ ，又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， //BM ∴平面PAD .（2）PC = 1PD =，2CD =，222PC PD CD ∴=+，PD DC ∴⊥，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，PD ⊂平面PDC ，PD ∴⊥平面ABCD ，又AD ，CD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD CD ⊥，又AD DC ⊥，∴以点D 为坐标原点，DA ，DC DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则()0,0,1P ，()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，M 为棱PC 的中点，10,1,2M∴ ，()1,1,0B（i ）10,1,2DM =，()1,1,0DB = ， 设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则1020n DM y z n DB x y ⋅=+= ⋅=+=，令2z =，则1y =−，1x =，()1,1,2n ∴=−，平面PDM 的一个法向量为()1,0,0DA =，cos ,n DA n DA n DA ⋅∴==根据图形得二面角P DM B −−为钝角， 则二面角P DM B −−的余弦值为 （ii ）假设在线段PA 上存在点Q ，使得点Q 到平面BDM设PQ PA λ=，01λ≤≤，则(),0,1Q λλ−，()1,1,1BQ λλ−−−，由（2）知平面BDM 的一个法向量为()1,1,2n=− ，()11212BQ n λλλ⋅=−++−=−，∴点Q 到平面BDM 的距离是BQ n n ⋅=, 12λ∴=PQ ∴18.（本小题17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1P，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB = ，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.【答案】(1)2214x y +=【详解】（1）由已知椭圆左顶点为(),0a −，到点()2,1P解得2a =，又椭圆离心率c e a = 解得1b =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）如图所示，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，22221414A AB Bx y x y += ∴ += 两式相减，得()222204A B A B x x y y −+−=，整理得41A B A B A B A B y y y y x x x x +−×=−+−， 设(),Q Q Q x y ，由2AB QB =得Q 为线段AB 的中点，2A BQ x x x +∴=，2A B Q y y y +=，由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有12OQ OPk k ==， 即12Q A B OQQ A B y y y k x x x +===+， 所以1124A B A B y y x x −×=−−，故12A B AB A By y k x x −==−−， 设直线1:2l y x m =−+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程， 得221412x y y x m +==−+，整理得()222210x mx m −+−=， 则()()22Δ2810m m =−−−>，得m <<且0m ≠， 且2A B x x m +=，()221A Bx x m =−，BAB x∴=−=点P到直线l的距离为d122APBS AB d∴==−m<<且0m≠，记()()()2222f m m m=−−，()()()2421f m m m m′=−−−，令()0f m′=，及m<<得m=，所以()()()2222f m m m=−−在m∈时单调递增，在上单调递减，所以当m=APBS取最大值，此时直线l方程为12y x=−与坐标轴交点为()1M，N12MONS OM ON∴=⋅=.19.（本小题17分）函数()()1ln1a xf x xx−=−+.(1)3a=时，讨论()f x的单调性；(2)若函数()f x有两个极值点1x、2x，曲线()y f x=上两点()()11,x f x、()()22,x f x连线斜率记为k，求证：21aka−>−.(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：21ep<.【答案】(1)增区间为(0,2、()2+∞，减区间为(22(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）当3a =时，()()31ln 1x f x x x −=−+，该函数的定义域为(0,+∞)，()()()()()22222161641111x x x x f x x x x x x x +−−+=−=+++′=， 由ff ′(xx )<0可得22x <<+ff ′(xx )02x<<2，所以，函数()f x 的增区间为(0,2、()2∞+，减区间为(22+.（2）因为()f x 定义域为(0,+∞)，()()()()()()22211221111a x a x x a x f x x x x x +−−+−+=−=+′+， 对于方程()22210x a x +−+=，()()22Δ22442a a a =−−=−， 因为函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，则方程()22210x a x +−+=在(0,+∞)上有两个不等的实根， 所以，()221212Δ22448010220a a a x x x x a =−−=−>=> +−> ，解得2a >, 则()()()()12121212121211ln ln 11a x ax x x x x f x f x kx x x x −−−−− −+−=−− ()()()121212122ln 11a x x x x x x x x −−++=−12121212ln ln ln 211221x x x x a x x a x x −=−=−−+−+−， 所以要证21ak a −>−，即证1212ln ln 1111x x x x a −−>−−−，即证121212ln ln 2x x x x x x −>−+，也即证()112211121222212lnln 01x x x x x xx x x x x x− − −=−<++（*）成立． 设()120,1x t x =∈，函数()()21ln 1t h t t t −=−+，则()()()()222114011t h t t t t t −=−=+′≥+， 所以，函数()h t 在(0,+∞)上单增，且ℎ(1)=0，所以()0,1t ∈时，()0h t <，所以（*）成立，原不等式得证.（3）由题可得201002020A 100998281100100p ××⋅⋅⋅××==， 因为222998190990×−<，222988290890×−<，…，222918990190×=−<， 所以19910p<，又由（2）知()1,t ∞∈+，()()21ln 01t h t t t −=−>+，取109t =，有1021101029ln ln 010991919−−=−>+， 即1910ln 29>，即19210e 9 > ，所以1929110e p<<．。

2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（）A.41πB.42πC. D.(18π+2.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为A.66B.54C.40D.363.已知点F ，A 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点、右顶点，()0,B b 满足0FB AB ⋅= ，则椭圆的离心率等于（）A.312+ B.512C.312- D.512+4.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A.60个B.48个C.36个D.24个5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()20f =，则()()10x f x -⋅<的解集为（）A.()2,2- B.()1,2 C.()()2,01,2-U D.()2,-+∞6.19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===+，若其前n 项和为n S ，则10S =（）A.12a B.121a - C.122a - D.123a -7.已知向量()1,a t = ，()3,1b =- ，且()2a b b +⊥ ，则向量a与b 的夹角等于（）A.π4B.π3C.2π3D.3π48.设函数322f x x x x =-+（），则A.函数()f x 无极值点B.1x =为()f x 的极小值点C.2x =为()f x 的极大值点D.2x =为()f x 的极小值点二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.午饭时间；B 同学从教室到食堂的路程S 与时间t 的函数关系如图，记t 时刻的瞬时速度为()V t ，区间[][][]12120,,0,,,t t t t 上的平均速度分别为123,,V V V ，则下列判断正确的有（）A.123V V V <<B.1322V V V +<C.对于()1,2,3i V i =，存在()20,i m t ∈，使得()i i V m V =D.整个过程小明行走的速度一直在加快10.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增B.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x ⋅>⋅C .若函数()(R)y fx k k =-∈有两个零点，则e=k D .设()()2R g x x a a =+∈，若对1x ∀∈R ，2(1,)x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥11.已知O 为坐标原点，焦点为F 的抛物线()2:20C x py p =>过点()2,1M ，过M 且与OM 垂直的直线l 与抛物线C 的另一交点为N ，则（）A.2p = B.3MF =C.MN =D.直线l 与抛物线C 的准线相交于点()3,1-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数2()e (1)e x x f x x m =--存在唯一极值点，则实数m 的取值范围是_______________.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上，且112A P PB =，112C Q QD =，则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为__________14.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是______.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，4PA PB PC AC ====，O 为AC中点．（1）证明：⊥PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，12BM MC =，且AB BC =，求二面角M PA C --的大小．16.已知实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．17.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H 为PC 的中点，M 为AH 中点，PA=AC=2，BC=1．（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；(Ⅲ)在线段PB 上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N 的位置，若不存在，请说明理由．18.已知无穷数列（0n a ≠，*n ∈N ），构造新数列(){}1na 满足()11nn na aa +=-，(){}2n a 满足()()()2111n n n a a a +=-，…，(){}k n a 满足()()()111k k k n n n a a a --+=-（2k ≥，*k ∈N ），若(){}kna 为常数数列，则称为k 阶等差数列；同理令()11n nn a b a +=，()()()1211n n b b b +=，……，()()()111k k n n k n b b b -+-=（2k ≥，*k ∈N ），若(){}k nb 为常数数列，则称为k 阶等比数列.（1）已知为二阶等差数列，且11a =，24a =，()22n a =，求的通项公式；（2）若为k 阶等差数列，为一阶等比数列，证明：{}n an b 为k 阶等比数列；（3）已知23814n nn n d -+-=，令{}n d 的前n 项和为n S ，1nn m m T S ==-，证明：2n T <.19.如果三个互不相同的函数()y f x =，()y g x =，()y h x =在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≤≤或()()()g x h x f x ≤≤，则称()y h x =为()y f x =与()y g x =在区间D 上的“分割函数”．（1）证明：函数()1f x x =为函数()ln 1y x =+与1e x y -=在()1,-+∞上的分割函数；（2）若函数()20y ax bx c a =++≠为函数222y x =+与4y x =在(),-∞+∞上的“分割函数”，求实数a的取值范围；（3）若[][],2,2m n ⊆-，且存在实数,k d ，使得函数y kx d =+为函数424y x x =-与2416y x =-在区间[],m n 上的“分割函数”，求n m -的最大值．2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】(],1∞-【13题答案】【答案】45##0.8【14题答案】【答案】1316四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）30o 【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【17题答案】【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）21515（Ⅲ）点N 是靠近B 点的四等分点【18题答案】【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）(0,2)；（3）。

附：
， ．
已知椭圆 的两个焦点分别是 ， ，并且经过点 ．
求椭圆 的标准方程；
已知点 ，若 上总存在两个点 、 关于直线 对称，且 ，求实数 的取值范围．
已知函数 ．
讨论 的单调性；
设 ，函数 有两个不同的零点 ， ，求实数 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东广州高三上数学月考试卷
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
频水体频率
用样明的钾率分级估于总体分布
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
数三的最用
等差数常的占n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
正推公式
二倍角三余弦公最
D.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动 个单位长度，得到曲线
若函数 对 ， 同时满足：
当 时有 ；
当 时有 ，则称 为 函数．
下列函数中是 函数的有( )
A. B.
C. D.
在长方体 中， ， 是平面 内不同的两点， ， 是平面 内不同的两点，且 ， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点．则下列结论正确的是( )
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
空间表直线擦直英之说的位置关系
A. B. C. D.
5.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁， ．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有 位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于 且不大于 ，其余 人的年龄依次相差一岁，则最年长者的年龄为( )

第 1 页 共 22 页2021年广东省广州市高考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知tan θ＝2，那么sin θ•cos θ的值为（ ） A ．25B ．15C ．45D ．352．已知集合A ＝{x ||x |＜3，x ∈Z }，B ＝{x ||x |＞1，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{﹣3，﹣2，2，3}C ．{﹣2，0，2}D ．{﹣2，2}3．顶点在坐标原点，准线为y ＝﹣2的抛物线的方程为（ ） A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x4．干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥4567891011121232020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁．问李东的父亲是哪一年出生（ ） A ．甲子B ．乙丑C ．丁巳D ．丙卯5．已知函数f(x)={−x 2+2x −1，x ≤1|x −1|，x ＞1，若f （a 2﹣4）＞f （3a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，1） B ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C ．（﹣1，4）D ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）6．任何一个复数z ＝a +bi （其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成z ＝r （cos θ+i sin θ）（其中r ≥0，θ∈R ）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r （cos θ+i sin θ]n ＝r n （cos n θ+i sin n θ）（n ∈N +），我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数(cos π4+isin π4)n 为纯虚数”的（ ）。