量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A)

选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；

B. Ψ归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A

A.  一定也是该方程的一个解； B. 一定不是该方程的解； C. Ψ 与 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。

6．如果以l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：B A. ihzl B. ihzl xl

xl

7．如果算符A 、B 对易，且A =A，则：B A.  一定不是B 的本征态； B. 一定是 B的本征态； C.一定是B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是B 的本征态。 8．如果一个力学量 A与H 对易，则意味着A：C A. 一定处于其本征态；

B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为，则 n=5能级能量为：D A. ;

11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+23)h下，简并度为：B

A. )1(21NN； B. )2)(1(21NN； (N+1)； D.(N+1)(n+2)

12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21s是什么性质：C A. 自旋单态； B.自旋反对称态； C.自旋三态；

D. z本征值为1. 二 填空题（每题4分共24分）

1．如果已知氢原子的电子能量为eVnEn26.13 ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

2．如果已知初始三维波函数)0,(r ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p =——————————————，任意时刻的波函数为),(tr————————————。 3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x0 点波函数————————（连续或不连续），它的导数'

————————————（连续或不连续）。 4．如果选用的函数空间基矢为n ，则某波函数 处于 n态的几率用 Dirac符号表示为——————————，某算符A 在 态中的平均值的表示为——————————。 5．在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与 对应的守恒量 F一定是——————————算符。 6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—

———————————————————。 三计算题（40分） 1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数。(10分)

2．设一维粒子的初态为)/()0,(0hxipExpx，求),(tx。（10分） 3．计算z表象变换到x表象的变换矩阵。（10分）

4 。4个玻色子占据3个单态1 ，2，3，把所有满足对称性要求的态写出来。（10分） B卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）

二、（15分）已知厄密算符BAˆ,ˆ，满足1ˆˆ22BA，且0ˆˆˆˆABBA，求 1、在A表象中算符Aˆ、Bˆ的矩阵表示； 2、在A表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）线性谐振子在0t时处于状态

)21exp(3231)0,(22xxx，其中，求 1、在0t时体系能量的取值几率和平均值。2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值 四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵

2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211qqqqS 4、宇称算符Pˆ和坐标x的对易关系是：PxxPˆ2],ˆ[，将其代入测不准关系知，只有当0ˆPx时的状态才可能使Pˆ和x同时具有确定值，由)()(xx知，波函数)(x满足上述要求，所以)(x

是算符Pˆ和x的共同本征函数。 5、设Fˆ和Gˆ的对易关系kˆiFˆGˆGˆFˆ，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示Fˆ、Gˆ和k在态中的平均值，令 FFˆFˆ，GGˆGˆ，

则有 4222k)Gˆ()Fˆ(，这个关系式称为测不准关系。 时间t和能量E之间的测不准关系为：2Et 二、1、由于1ˆ2A，所以算符Aˆ的本征值是1，因为在A表象中，算符Aˆ的矩阵是对角矩阵，

所以，在A表象中算符Aˆ的矩阵是：1001)(ˆAA 设在A表象中算符Bˆ的矩阵是22211211)(ˆbbbbAB，利用0ˆˆˆˆABBA得：02211bb；由于1ˆ2B，所以002112bb002112bb10012212112bbbb，21121bb；由于Bˆ是厄

密算符，BBˆˆ，0101212bb010*12*12bb*12121bb 令ieb12，（为任意实常数）得Bˆ在A表象中的矩阵表示式为：00)(ˆiieeAB 2、在A表象中算符Bˆ的本征方程为：00iiee 即iiee  00iiee 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0iiee  012 1 对1有：121iBe，对1有：121iBe 所以，在A表象中算符Bˆ的本征值是1，本征函数为121ie和121ie 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即





112

1ii

ee

S

三、解：1、0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为： )21(nE

n )2,1,0(n， )()exp(!2)(22xHxnxnnn

当1,0n时有：)exp()(220xx，)exp()(2)(221xxx 于是0t时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10xxx，容易验证它是归一化的波函数，于是0t时的能量取值几率为：

31)0,21(0EW，32)0,23(1EW

，能量取其他值的几率皆为零。

能量的平均值为：67323110EEE 2、 0t时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10tixtixtx 显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0t时体系能量的取值几率和平均值与0t的结果完全相同。

四、解：将矩阵改写成：HHHˆˆˆ023032020300020001 能量的零级近似为：1)0(1E，2)0(2E，3)0(3E 能量的一级修正为：0)1(1E，)1(2E，2)1(3E