2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题一 第五讲 导数的简单应用

第五讲 导数的简单应用(选择、填空题型)

1.(2014·陕西高考)定积分01(2x＋ex)dx的值为( )

A.e＋2 B.e＋1

C.e D.e－1

解析：选C 01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e,因此选C.

2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x,则a＝( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：选D y′＝a－1x＋1,由题意得y′|x＝0＝2,即a－1＝2,所以a＝3.

3.(2014·陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(

)

A.y＝12x3－12x2－x B.y＝12x3＋12x2－3x

C.y＝14x3－x D.y＝14x3＋12x2－2x

解析：选A 法一：由题意可知,该三次函数满足以下条件：过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为y＝－x,在(2,0)处的切线方程为y＝3x－6,以此对选项进行检验.A选项,y＝12x3－12x2－x,显然过两个定点,又y′＝32x2－x－1,则y′|x＝0＝－1,y′|x＝2＝3,故条件都满足,又B,C,D选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y＝－x,y＝3x－6相切,故选A.

法二：设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d,则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,

由题设有 f＝0⇒d＝0，f＝0⇒8a＋4b＋2c＋d＝0，f＝－1⇒c＝－1，f＝3⇒12a＋4b＋c＝3，

解得a＝12,b＝－12,c＝－1,d＝0.

故该函数的解析式为y＝12x3－12x2－x,选A.

4.(2014·辽宁高考)当x∈[－2,1] 时,不等式 ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )

A.[－5,－3] B.－6，－98

C.[]－6，－2 D.[]－4，－3

解析：选C 显然x＝0时,对任意实数a,已知不等式恒成立；令t＝1x,若0

令g(t)＝－3t3－4t2＋t,

则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(9t－1)(t＋1),

由于t≥1,故g′(t)≤0,即函数g(t)在[1,＋∞)上单调递减,最大值为g(1)＝－6,故只要a≥－6；若－2≤x<0,则a≤－3x3－4x2＋1x＝－3t3－4t2＋t,t∈－∞，－12,令g(t)＝－3t3－4t2＋t,

则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(9t－1)(t＋1),

在区间－∞，－12上的极值点为t＝－1,且为极小值点,故函数g(t)在－∞，－12上有唯一的极小值点,也是最小值点,故只要a≤g(－1)＝－2.

综上可知,若在[－2,1]上已知不等式恒成立,则a为上述三个部分的交集,即－6≤a≤－2.

5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )

A.(2,＋∞) B.(1,＋∞) C.(－∞,－2) D.(－∞,－1)

解析：选C 当a＝0时,f(x)＝－3x2＋1有两个零点,不符合题意,故a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝2a,当a>0时,f(x)在(－∞,0),2a，＋∞上单调递增,在0，2a上单调递减.又f(0)＝1,此时f(x)在(－∞,0)上存在零点,不满足题意；当a<0时,f(x)在－∞，2a,(0,＋∞)上单调递减,在2a，0上单调递增,要使f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则需f2a>0,即a×2a3－3×2a2＋1>0,解得a<－2,故选C.

1.四个易误导数公式

(1)(sin x)′＝cos x；

(2)(cos x)′＝－sin x；

(3)(ax)′＝axln a(a>0)；

(4)(logax)′＝1xln a(a>0,且a≠1).

2.四个重要概念

(1)切线的斜率

函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0),相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

(2)函数的单调性

在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0(f′(x)＜0),那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).

(3)函数的极值

设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x,都有f(x)f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值＝f(x0).极大值与极小值统称为极值.

(4)函数的最值

将函数y＝f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

3.三个积分公式和一个定理

(1)定积分的性质

①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx；

②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx.

③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中a

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)＝f(x),那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a).

热点一

导数的几何意义

命题角度 (1)求已知曲线在某一点处的切线方程,如T1；(2)由曲线的切线方程求参数,如T2,T3.

1.曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是( )

A.x－y＋1＝0 B.2x－y＋1＝0

C.x－y－1＝0 D.x－2y＋2＝0

2.直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3),则a－b的值为( )

A.－4 B.－1

C.3 D.－2

3.(2014·重庆质检)若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.

[自主解答] 1.y′＝ex＋xex,y′|x＝0＝1,∴曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是y－1＝x,即x－y＋1＝0.

2.由题易知,直线y＝kx＋1和曲线y＝x3＋ax＋b均过点A(1,3),则k＝2,a＋b＝2；又y′＝3x2＋a,则k＝y′|x＝1＝3＋a＝2,所以a＝－1,b＝3.故a－b＝－4.

3.依题意得f′(x)＝2ax＋1x＝0(x>0)有实根,∴a＝－12x2<0.故a的取值范围为(－∞,0).

[答案] 1.A 2.A 3.(－∞,0)

求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型

(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程

求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程；

(2)已知切线的斜率k,求切线方程

设切点P(x0,y0),通过方程k＝f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程；

(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程

设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.

热点二 利用导数研究函数的单调性

命题角度 (1)求已知函数的单调区间,如T2；(2)已知函数的单调性求参数,如T1,T3.

1.若函数f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在[－1,＋∞)上是减函数,则b的取值范围是( )

A.[－1,＋∞) B.(－1,＋∞)

C.(－∞,－1] D.(－∞,－1)

2.设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2,则函数f(x)的单调增区间为________.

3.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1,k＋1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________.

[自主解答] 1.函数f(x)的导数f′(x)＝－x＋bx＋2,要使函数f(x)在[－1,＋∞)上是减函数,则f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在[－1,＋∞)上恒成立,即bx＋2≤x在[－1,＋∞)上恒成立,因为x≥－1,所以x＋2 ≥1>0,即b≤x(x＋2)在[－1,＋∞)上恒成立.设y＝x(x＋2),则y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1,因为x≥－1,所以y≥－1,所以要使b≤x(x＋2)在[－1,＋∞)上恒成立,则有b≤－1,选C.

2.因为f(x)＝x(ex－1)－12x2,所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).令f′(x)>0,即(ex－1)(x＋1)>0,解得x∈(－∞,－1)或x∈(0,＋∞).所以函数f(x)的单调增区间为(－∞,－1]和[0,＋∞).

3.f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝4x－1x.

由f′(x)＝0,得x＝12.据题意得 k－1<12

解得1≤k<32.

[答案] 1.C 2.(－∞,－1]和[0,＋∞) 3.1，32

互动探究

若将题2中的函数f(x)更换为“f(x)＝xln x”,如何求解？

解：f(x)＝xln x,则f′(x)＝ln x－1ln2x,

令f′(x)>0,则ln x>1,即x>e.

又∵函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,＋∞),

∴函数f(x)的单调递增区间为[e,＋∞).

利用导数研究函数单调性的步骤

第一步：确定函数f(x)的定义域；

第二步：求f′(x)；

第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；

第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间；

第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.

热点三 定 积 分

命题角度 (1)简单定积分的求解,如T1,T2；(2)求曲边梯形的面积,如T3.

1.计算定积分1－1(x2＋sin x)dx＝( )

A.13 B.23 C.43 D.83

2.(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋201f(x)dx,则01f(x)dx＝( )

A.－1 B.－13 C.13 D.1

3.(2014·银川模拟)曲线y＝2x与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为( )

A.2ln 2 B.2－ln 2

C.4－ln 2 D.4－2ln 2

[自主解答]

1.1－1(x2＋sin x)dx＝13x3－cos x|1－1

＝13－cos 1－－13－－＝23.