高中数学人教版必修4——三角函数(一)(复习学案含答案)

章末复习课课时目标 1.复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式.2.复习三角函数的图象及三角函数性质的运用． 知识结构一、选择题 1．cos 330°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x 等于( )A ．－34B ．－43 C.34 D.433．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }．则( )A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度5．若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z }C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z }6．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sin π6t ＋10D ．h ＝－8cos π6t ＋10题 号1 2 3 4 5 6 答 案7．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.9．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是__________．10．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的序号是________．三、解答题11．已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.12．已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a 、b 的值．能力提升13．若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是( )A ．2x >πsin xB ．2x <πsin xC ．2x ＝πsin xD ．与x 的取值有关14．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x .给出下列四个命题：①该函数的图象关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z )对称；②当且仅当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2 (k ∈Z )时，－22≤f (x )<0.其中正确的是________．(填序号)三角函数的性质是本板块复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．章末复习课答案作业设计 1．C2．D [cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35<0，∵x ∈(π，2π)，∴x ∈(π，32π)，∴sin x ＝－45，∴tan x ＝43.]3．B [M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2k ＋14π，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ＋24π，k ∈Z .比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π.再根据整数分类关系，得M N .选B.]4．A [∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 由题意知要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象只需将y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位长度．] 5．D [sin 2x >cos 2x ⇔|sin x |>|cos x |.在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，y ＝－x ，根据三角函数线的定义知角x 的终边应落在图中的阴影部分，故应选D.]6．D [据题意可设y ＝10－8cos ωt (t ≥0)．由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝π6.∴y ＝10－8cosπ6t (t ≥0)．]7．－35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35.8.32解析 由图象可知三角函数的周期为T ＝4×π3＝2πω，∴ω＝32.9.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 解析 f (x )＝|sin x |的周期T ＝π，且f (x )在区间[0，π2]上单调递增，∴f (x )的单调增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z .10．①②解析 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3， ∴x ＝1112π为对称轴；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内单调递增； ③∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，得不到图象11．解 (1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 12．解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a 24＋b ＋1，且t ∈[－1,1]．下面根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．(1)当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. (2)当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10. 都不满足a 的范围，舍去．综上所述，a ＝2，b ＝－2. 13．B[在同一坐标平面内作出函数y ＝2x 与函数y ＝πsin x 的图象，如图所示． 观察图象易知：当x ＝0时，2x ＝πsin x ＝0；当x ＝π2时，2x ＝πsin x ＝π；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝2x 是直线段，而曲线y ＝πsin x 是上凸的．所以2x <πsin x ．故选B.] 14．① 解析f (x )＝max{sin x ，cos x }，在同一坐标系中画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象易知f (x )的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z )对称，故①对；当x ＝2k π (k ∈Z )或x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )max ＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，－22③错；观察曲线易知，≤f (x )<0，反之不成立，故④错．。

第一章 三角函数 章末复习学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的图象.4.理解三角函数y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的性质.5.了解函数y=Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y=Asin(ωx＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=yx (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α=1. (2)商数关系：tan α=sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=- 255，则y= .反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，P 到原点的距离为r(r ＞0).则sin α=y r ，cos α=xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y=0上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2- (3＋1)x ＋m=0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α=1及sin αcos α=tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cosαsin α.注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f(α)=sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cos α- sin α的值；(3)若α=- 47π4，求f(α)的值.类型三 三角函数的图象与性质例3.将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y=3sin x 的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g(x)的最小值和最大值.反思与感悟研究y=Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练3 函数f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y=Asin (ωx＋φ)＋k 型例4.求函数y=- 2sin(x ＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.反思与感悟利用y=Asin(ωx＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y=asin(2x ＋π6)＋b 在x∈[0，π2]上的值域为[- 5，1]，求a ，b 的值.命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x|≤π4，求函数f(x)=cos 2x ＋sin x 的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f(x)=- sin 2x- asin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为- 4，若实数a>0， 求a ，b 的值.类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)=m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.跟踪训练6.设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .1.若一个α角的终边上有一点P(- 4，a)，且sin α·cos α=34，则a 的值为( ) A.4 3 B.±4 3 C.- 43或- 433D. 32.已知f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f(- 31π3)的值为( )A.12B.- 13C.- 12D.133.函数y=|sin x|＋sin|x|的值域为( )A.[- 2，2]B.[- 1，1]C.[0，2]D.[0，1]4.函数f(x)=2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，- π3B.2，- π6C.4，- π6D.4，π35.已知函数f(x)=- sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f(x)≤174对一切x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法. 课时作业 一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.11π6 D.5π32.若sin(π- α)=- 53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于( )A.- 53B.53C.- 23D.233.已知函数f(x)=12(sin x ＋cos x)- 12|sin x- cos x|，则f(x)的值域为( )A.[- 1，1]B.[-22，1] C.[- 1，22] D.[- 1，- 22]4.设函数f(x)=4sin(2x ＋1)- x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A.[- 4，- 2] B.[- 2，0] C.[0，2] D.[2，4]5.将函数y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增6.函数f(x)=Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π67.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cos(2x- π3)B.y=sin(2x- π6)C.y=sin(2x ＋5π6)D.y=sin(x 2＋π6)二、填空题8.设x∈(0，π)，则f(x)=cos 2x ＋sin x 的最大值是 .9.函数y=f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于 .10.设函数f(x)=sin(2x ＋π3)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x=π3对称；②f(x)的图象关于点(π12，0)对称；③把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .11.已知函数f(x)=sin(2x ＋φ)，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)， 则f(x)的单调递增区间是 .三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋ 1＋sin α1－sin α=22，求tan α.13.已知f(x)=3sin(2x ＋π4)- 1.(1)f(x)的图象是由y=sin x 的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.四、探究与拓展14.将函数f(x)=2sin(ωx - π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[- π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .15.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.答案解析例1答案为：- 8；解析： r=x 2＋y 2=16＋y 2，且sin θ=-255， 所以sin θ=y r =y 16＋y 2=- 255，所以θ为第四象限角，解得y=- 8.跟踪训练1.解：∵角α的终边在直线3x＋4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，- 3t)(t≠0)，则x=4t，y=- 3t.r=x 2＋y 2=(4t )2＋(－3t )2=5|t|.当t＞0时，r=5t，sin α=y r =－3t 5t =- 35，cos α=x r =4t 5t =45，tan α=y x =－3t 4t =- 34；当t＜0时，r=- 5t，sin α=y r =－3t －5t =35，cos α=x r =4t －5t =- 45，tan α=y x =－3t 4t =- 34.综上可知，sin α=- 35，cos α=45，tan α=- 34或sin α=35，cos α=- 45，tan α=- 34.例2.解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ=3＋12，sin θcos θ=m2.(1)原式=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ=sin 2θsin θ－cos θ- cos 2θsin θ－cos θ=sin θ＋cos θ=3＋12. (2)由sin θ＋cos θ=3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ=4＋234，1＋2×m 2=1＋32，m=32.(3)由m=32可解方程2x 2- (3＋1)x＋32=0，得两根12和32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)，∴θ=π6或π3.跟踪训练2.解：(1)f(α)=sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)=sin α·cos α.(2)由f(α)=sin α·cos α=18可知，(cos α- sin α)2=cos 2α- 2sin α·cos α＋sin 2α=1- 2sin α·cos α=1- 2×18=34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α- sin α<0，∴cos α- sin α=-32.(3)∵α=- 47π4=- 6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4 =cos π4·sin π4=22×22=12.例3.解：(1)函数y= 3 sin x的图象向下平移1个单位长度得y=3sin x- 1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y=3sin π3x- 1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y=3sin(π3x- π3)- 1的图象，∴函数y=f(x)的最小正周期为T=2ππ3=6.由2kπ- π2≤π3x- π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，得6k - 12≤x≤6k＋52，k∈Z ，∴函数y=f(x)的单调递增区间是[6k - 12，6k＋52]，k∈Z .(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y=f(x)的最值.∵当x∈[3，4]时，π3x- π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x- π3)∈[0，32]，∴f(x)∈[- 1，12].∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最小值是- 1，最大值为12.跟踪训练3解：(1)f(x)的最小正周期为π，x 0=7π6，y 0=3.(2)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是， 当2x＋π6=0，即x=- π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6=- π2，即x=- π3时，f(x)取得最小值- 3.例4.解：∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈[π6，7π6]，∴- 12≤sin(x＋π6)≤1.当sin(x＋π6)=1，即x=π3时，y取得最小值1.当sin(x＋π6)=- 12，即x=π时，y取得最大值4.∴函数y=- 2sin(x＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练4.解：∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[- 12，1].∴当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝－3；当a＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b＝1，a＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝－1.∴a，b的取值分别是4，- 3或- 4，- 1.例5.解：y=f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1.令t=sin x，∵|x|≤π4，∴- 22≤sin x≤22.则y=- t 2＋t＋1=- (t- 12)2＋54(- 22≤t≤22)，∴当t=-22，即x=- π4时，f(x)有最小值，且最小值为- (- 22- 12)2＋54=1－22. 跟踪训练5.解：令t=sin x，则g(t)=- t 2- at＋b＋1=- ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a 24＋b＋1，且t∈[- 1，1].根据对称轴t 0=- a2与区间[- 1，1]的位置关系进行分类讨论.①当- a2≤- 1，即a≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a＋b＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2.②当- 1<- a2<0，即0<a<2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－6，b＝－10(舍)，综上所述，a=2，b=- 2.例6.解：函数y=sin(x＋π3)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋π3)=m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1=sin(x＋π3)，y 2=m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， 所以32≤m2＜1，即3≤m＜2.跟踪训练6.答案为：π；解析：记f(x)的最小正周期为T.由题意知T 2≥π2- π6=π3.又f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，且2π3-π2=π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x1=(π2＋π6)×12=π3，x2=(π2＋2π3)×12=7π12，∴T4=x2- x1=7π12-π3=π4，∴T=π.1.答案为：C；解析：由三角函数定义可知，r=a2＋16，sin α=aa2＋16，cos α=－4a2＋16，sin α·cos α=－4aa2＋16=34，得a=- 43或-433.2.答案为：C；解析：∵f(α)=sin αcos(－α)cos(π＋α)tan α=sin αcos α－cos α·sin αcos α=- cos α，∴f(-31π3)=- cos(-31π3)=- cos(10π＋π3)=- cosπ3=-12.3.答案为：C；解析：∵f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|＋sin x(x≥0)，|sin x|－sin x(x＜0)，∴0≤f(x)≤2.故选C.4.答案为：A；解析：从图象可得34T=5π12-⎝⎛⎭⎪⎫－π3=3π4，∴T=π=2πω，∴ω=2.又∵f⎝⎛⎭⎪⎫5π12=2sin⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ=2sin⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ=2，且-π2＜φ＜π2，∴φ=-π3.5.解：令t=sin x，则t∈[- 1，1]，则函数可化为f(t)=- t2＋t＋a=- (t-12)2＋a＋14.当t=12时，f(t)max=a＋14，即f(x)max=a＋14；当t=- 1时，f(t)min=a- 2，即f(x)min=a- 2.故函数f(x)的值域为[a- 2，a＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4.故实数a的取值范围为[3，4].课时作业1.答案为：D；解析：因为sin5π6=sin⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=sinπ6=12，cos5π6=cos⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=- cosπ6=-32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，co s 5π6在第四象限. 又因为tan α=cos5π6sin5π6=- 3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3=tan 5π3， 所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.答案为：C解析：∵sin(π- α)=- 53，∴sin α=- 53，又∵α∈(π，3π2)，∴cos α=- 1－sin 2α=- 1－59=- 23，∴sin(π2＋α)=cos α=- 23，故选C. 3.答案为：C；解析：f(x)=12(sin x＋cos x)- 12|sin x- cos x|=⎩⎪⎨⎪⎧sin x，sin x≤cos x，cos x，sin x＞cos x.函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[- 1，22].4.答案为：A；解析：由数形结合的思想，画出函数y=4sin(2x＋1)与y=x的图象，观察可知选A.5.答案为：B；解析：y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x - 2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.答案为：A；解析：由图象知A=2，∵5π12- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3=34T，∴T=π，∴ω=2.∵2×5π12＋θ=π2＋2kπ(k∈Z )，∴可取θ=- π3，∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 7.答案为：B解析：由T=2πω=π知，ω=2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x=π3时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得- π2＋2kπ≤2x - π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，即为[- π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z )，当k=1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B.8.答案为：54；解析：∵f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1=- ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，∴当sin x=12时，f(x)的最大值是54.9.答案为：2解析：由图知A=2，ω=π4，φ=0，∴f(x)=2sin π4x，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)=0.又f(x)的周期为8，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).=f(1)＋f(2)＋…＋f(6)= 2.10.答案为：③解析：f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程满足2x＋π3=π2＋kπ(k∈Z )，解得x=π12＋kπ2(k∈Z )；f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋π3=kπ(k∈Z )，解得x=- π6＋kπ2(k∈Z )；f(x)的周期为T=2π2=π，由(2x＋π3)∈[2kπ-π2，2kπ＋π2](k∈Z )，得f(x)的增区间为[kπ- 5π12，kπ＋π12](k∈Z )；把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到f(x)=sin[2(x＋π12)＋π3]=sin(2x＋π2)=cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.11.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )； 解析：由题意可知，当x=π6时，f(x)取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ=±1， ∴π3＋φ=π2＋kπ(k∈Z )，∴φ=π6＋kπ(k∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即- sin φ>sin φ， ∴sin φ<0.不妨取φ=- 5π6，则f(x)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令- π2＋2kπ≤2x - 5π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，则π3＋2kπ≤2x≤4π3＋2kπ(k∈Z )，∴π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z )，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z ). 12.解：∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α= (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α =2|cos α|=2－cos α=22， ∴cos α=-22，则sin α=22，tan α=- 1. 13.解：(1)将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y=3sin(2x＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin(2x＋π4)- 1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x＋π4=π2＋kπ(k∈Z )，得对称轴方程为x=π8＋kπ2(k∈Z ).当2x＋π4=π2＋2kπ(k∈Z )，即x=π8＋kπ(k∈Z )时，f(x)取得最大值2. 14.答案为：2； 15.解：(1)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π. 由- π＋2kπ≤2x - π4≤2kπ(k∈Z )，得- 3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z )，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z ). (2)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8=0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4=- 2cos π4=- 1， 所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x=π8；最小值为- 1，此时x=π2.。

章末复习课
课时目标 1.复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式 函数的图象及三角函数性质的运用． 知识结构
.2.复习三角
一、选择题
1． cos 330 等°于 ( )
1
1
3
3
A. 2
B．－ 2
C. 2
D ．－ 2
2．已知 cos(π＋ x)＝ 35， x∈ (π， 2π)，则 tan x 等于 (
作业设计 1． C
章末复习课 答案
2． D
[cos(
π＋
x)＝－
cos
x＝
3，∴ 5
cos
x＝－
3 5<0，
∵x∈ (π， 2π)，∴ x∈(π，32π)，
∴sin x＝－ 45，
∴tan
x＝
4 3.]
3． B
[M＝
x
x＝
2k＋ 4
1 π，
k∈
Z
， N＝
x
k＋ x＝ 4
2 π，
k∈
Z
.比较两集合中分式的分子，
5． D [
sin2x>cos2x? |sin x|>|cos x |.在直角坐标系中作出单位圆及直线 y＝ x， y＝－ x，根据三角函数
线的定义知角 x 的终边应落在图中的阴影部分，故应选 D.]
6． D [据题意可设 y＝ 10－8cos ωｔ(t≥ 0)．由已知周期为 12 min ，可知 t＝6 时到达最高点，
3，
∴x＝
11 12π为对称轴；
②由－
π 5π 12< x< 12?
－
π 2<2x－
π 3<
π2，由于函数

第一章 三角函数章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角． (2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 2．确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y 轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，不可写为{x |x ≠k ·360°＋90°，k ∈Z}．(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论． 5．正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将k ·π2±α(k ∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)要求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的相应单调区间，再把其中的“x ”用“ωx ＋φ”代替，解关于x 的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A 的正负．(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限．(2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0.所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．[例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ 4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. 归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．[变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)1sin 2α－sin αcos α－cos 2α； (2)2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2α.解：(1)原式＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－sin αcos α－cos 2α＝tan 2α＋1tan 2 α－tan α－1＝4＋14－2－1＝5. (2)原式＝2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α－32tan α＋5tan 2α＋1 ＝2×4－32×2＋54＋1＝2.专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 函数y ＝A sin(wx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A 归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min2，k ＝y max ＋y min2，ω＝2πT ，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ.2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．[变式训练] 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：函数y ＝sin x 2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)．答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z .归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π， 又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.答案：A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．[例5] 求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间．解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．归纳升华1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解． [变式训练] 已知函数f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．解：(1)f (α)＝－cos α·sin α·（－tan α）tan α·（－sin α）＝－cos α.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α， 因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，即cos α·sin α＝18， 可得(sin α－cos α)2＝34，又5π4≤α≤3π2，cos α≥sin α， 所以f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)结合(2)得sin α＝－2cos α， 联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15，所以f (α)·f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos α·sin α＝2cos 2α＝25.。