2.2.2(3)对数函数及其性质的应用

2.2.2对数函数及其性质（三）自学导引1．对数函数的单调性： 当x y a log ,1a =>时为；x y a a log 10=<<时，当为 。

2.复合函数D x x f a ∈=),(log y (D 为定义域)的单调性：设区间M x x f u a D M ∈=>⊆在且若)(,1,上单调递增（减），M 就是函数)(log y x f a =的 ；若0<a<1,且M x x f u ∈=在)(上单调递增（减），M 就是函数)(log y x f a =的 。

3形如)(log x f y a =的函数的最值，通常利用 的思想，即令x t a log =，根据函数的定义域及对数函数的单调性确定t 的取值范围D ，即t ∈D,转化为求函数D t t f ∈=),(y 的最值问题。

4.形如)(log x f x a =的方程的根的个数问题，通常利用 的思想方法，在同一直角坐标系下作出两函数x a log y 1=与)(2x f y =的图像，两图像即为方程的根的个数。

例1，求函数 求函数()963log )(221-+=x x x f 的单调区间。

例2，已知函数()a ax xy +-=221log 在区间()2,∞-上是增函数，求实数a 的取值范围例3 已知函数221()log [(1)]4f x ax a x =+-+（1） 若定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2) 若值域为R ，求实数a 的取值范围.随堂训练：1，6.0log 5.0=a ，5.0log2=b ，5log3=c 则（ ）A ，a<b<cB ，b<a<cC ，a<c<b D,c<a<b思路：2,已知121log <a,那么a 的取值范围是（ ） A ，210<<a B ，21>aC ，121<<aD ， 1210><<a a 或思路：3，若02log 2log >>b a ，则a, b ，1的关系是（ ） A ，b a <<1 B ，a b <<1C ，10<<<b aD ，10<<<a b思路：4. 设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是 （ ）A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (,log 3)a -∞D. (log 3,)a +∞思路：5. 函数212log (32)y x x =-+的递增区间是（ ）A. (,1)-∞B. (2,)+∞C. 3(,)2-∞D. 3(,)2+∞思路：。

2.2.2 对数函数及其性质（三）（一）【教学目标】1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.（2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）【教学重点、难点】重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）【教学方法】通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.老师提问，学生回答. 为学习新知作准备.形成概念反函数概念指数函数y=a x（x∈R）与对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））互为反函数.师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）和指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）互为反函数.生：在函数x=log a y中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））是指数函数y=a x（x∈R）的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））是指数函数y=a x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=a x（x∈R）也是对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））的理解反函数的概念.反函数.因此，指数函数y=a x（x∈R）与对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））互为反函数.课堂练习：求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1；（2）y=log a（4－x）.课堂练习答案（1）5log(1)y x=-；（2）4xy a=-应用举例例1 已知函数y=log a（1－a x）（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称.例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－a x的范围，可应用换元法，令t=1－a x以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－a x＞0，即a x＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－a x，则0＜t＜1，而y=log a（1－a x）=log a t.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2）∵a＞1时，t=1－a x在（－∞，0）上单调递减，y=log a t关于t单调递增，∴y=log a（1－a x）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a＜1时，t=1－a x在（0，+∞）上单调递增，而y=log a t关于t单调递减，进一步掌握对数函数的应用.例2 已知函数f （x ）=（21）x（x ＞0）和定义在R 上的奇函数g （x ）.当x ＞0时，g （x ）=f （x ），试求g （x ）的反函数.∴y =log a （1－a x ）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y =log a （1－a x ）， ∴a y =1－a x .∴a x =1－a y ，x =log a （1－a y ）.∴反函数为y =log a （1－a x ），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y =x 对称.例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f （x ）为奇函数，故应考虑x ＞0，x ＜0，x =0三种情况.解：∵g （x ）是R 上的奇函数， ∴g （－0）=－g （0），g （0）=0.设x ＜0，则－x ＞0，∴g （－x ）=（21）－x.∴g （x ）=－g （－x ）=－（21）－x =－2x .∴g （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>.0,2,0,0,0,)21(x x x x x当x ＞0时，由y =（21）x 得0＜y ＜1且x =log 21y ，∴g －1（x ）=log 21x （0＜x ＜1＝；当x =0时，由y =0，得g －1（x ）=0（x =0）；当x ＜0时，由y =－2x ，得－1＜y ＜0，且x =log 2（－y ）， ∴g －1（x ）掌握根据奇偶性求函数表达式.。

a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．

(2)若 a>1，则 loga23<1＝logaa，∴a>1.
若 0<a<1，则 loga23<1＝logaa，∴0<a<23，
综上所述：实数 a 的取值范围是0，23∪(1，＋∞)．
12/13/2021
fx>0， (1)logaf(x)<logag(x)，a>1 与不等式组gx>0，
fx<gx
同解；
12/13/2021
探究二 利用单调性解不等式 [典例 2] (1)解不等式 log2(x＋1)>log2(1－x)； (2)若 loga23<1，求实数 a 的取值范围．
12/13/2021
[解析]
x＋1>0 (1)原不等式等价于1－x>0
x＋1>1－x
解得 0<x<1.
∴原不等式的解集为(0,1)．
12/13/2021
②0<a<1 时，t＝2x2－3x－2 在(2，＋∞)上为增函数，在－∞，－12上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在－∞，－12上为增函数． 综上，由①②可知，当 a>1 时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为 －∞，－12；当 0<a<1 时，f(x)的单调增区间为－∞，－12，单调减区间为 (2，＋∞)．
与 x>1 取交集得 x>1.因此，满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 x≥0，故选 D.
答案：D
12/13/2021
4．已知函数 f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且 a≠1)． (1)求函数 f(x)－g(x)的定义域； (2)求使函数 f(x)－g(x)的值为正数的 x 的取值范围． 解析：(1)由题意可知，f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)，要使函数 f(x)－g(x) 有意义，自变量 x 的取值需满足x4＋－12＞x＞0，0， 解得－1＜x＜2， ∴函数 f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．