全称命题与特称命题的否定用课件

【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0. ( ) (2)“能被2整除的数是偶数”的否定是“存在一个能 被2整除的数不是偶数”. ( )
(3)“对任意x∈R,若y>0,则x2+y2>0”的否定是“存在 x∈R,若y>0,则x2+y2>0”. ( ) (4)命题“存在x∈ (0，) ,tan x>sin x”的否定是“对
【类题·通】 对全称命题否定的两个步骤
(1)改写量词,全称量词改写为存在量词. (2)否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即 可.
提醒:对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的 量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
【习练·破】 已知命题p:对任意x∈R,ex-x-1>0,则p的否定是 ( ) A.对任意x∈R,ex-x-1<0 B.存在x∈R,ex-x-1≤0 C.存在x∈R,ex-x-1<0 D.对任意x∈R,ex-x-1≤0
D.存在n∈N,n2=2n
【解析】选C.p的否定:对任意n∈N,n2≤2n.
2.已知命题p:存在x∈R,log2(3x+1)≤0,则 ( ) A.p是假命题;p的否定:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;p的否定:对任意x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;p的否定:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;p的否定:对任意x∈R,log2(3x+1)>0
【思维·引】找到存在量词⇒改变量词⇒否定结论.
【解析】(1)p的否定:对任意x>1,x2-2x-3≠0.(假). (2)p的否定:所有的素数都不是奇数.(假). (3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形.(假).

思考1
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间有 什么关系?
(1) x>3 ; (2)2x+1是整数;
(3)对所有的 xR,x>3.
(4)对任意一个XZ, 2x+1是整数. 语句（1）、（2）无法判断它们的真假从而不是命题，
语句（3）在（1）的基础上用短语“对所有的”对变量x 进行限定；语句（4）在（2）的基础上用短语“对任意一 个”对变量x进行限定，从而成为了可以判断真假的语句， 为命题。
基础知识梳理
(3)含有存在量词的命题，叫做特称 命 可用题；符“号存简在记M为中∃的x0∈元M素，x0p，(x使0)p(，x0读)成作立：”，“ 存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
例1：判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题： （1）奇数是整数； （2）偶数能被2整除； （3）至少有一个素数不是奇数。
三基能力强化
3．命题“存在x0∈R，lgx0≤0”的 否定是( )
A．不存在x0∈R，lgx0＞0 B．存在x0∈R，lgx0≥0 C．对任意的x∈R，lgx≤0 D．对任意的x∈R，lgx＞0 答案：D
(海南、宁夏文、理)
已知命题 p:xR sin x ≤1 ，则（ C ）
A. p:xR sin x≥1
解：￢p：所有的三角形的三条边不全相等．显然￢p为假命题
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
解：￢p：有的菱形对角线不垂直．显然￢p为假命题．
(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.
解：￢p：∀x∈N，x2－2x＋1＞0.显然当x＝1时，x2－2x ＋1＞0不成立，故￢p是假命题．
结论：
• 全称命题的否定是特称命题。 • 特称命题的否定是全称命题。

解析：(1)命题 p 是一个全称命题，其否定为：存在 x1，x2∈R， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0. (2)这是一个全称命题，其否定为：存在一个向量与零向量不 共线．
特称命题的否定
写出下列特称命题的否定． (1)存在 x∈R，x＋1x＋2＜0； (2)存在一个向量与任意向量垂直； (3)存在实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根都是正数． (链接教材 P14 例 2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析：(1)该命题的否定“对任意的 x∈R，都有 x2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，即 Δ＝m2－4(2m－3)≤0，得 m∈[2，6]． (2)该命题的否定“存在实数 x，使得 x2＋2x＋a≤0”为真命 题，即 Δ＝22－4a≥0 得 a≤1.
易错警示
因否定不全面致误
解：p
的否定为：“对任意
x∈[1，＋∞)，log12x≥0
或1无 log2x
意义”．
1．命题“对任意的 x∈R，sin x>0”的否定是( A ) A．存在 x∈R，sin x≤0 B．对任意的 x∈R，sin x≤0 C．存在 x∈R，sin x<0 D．对任意的 x∈R，sin x<0 解析：这是一个全称命题，其否定为：存在 x∈R，sin x ≤0.
[解] (1)其否定为：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)其否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)其否定为：存在 x∈Z，x2 的个位数字等于 3.
[方法归纳] (1)对全称命题否定的两个过程是：一是把全称量词转换为存 在量词，二是把 p(x)加以否定； (2)对省略全称量词的全称命题可先补上全称量词，再对命题 否定．
2．“命题‘存在 x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－ 16≤a≤0”的( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

故 p 的取值范围是－3<p<32.
解答
达标检测
1.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是 A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
√C.存在x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D.存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
解析 全称命题的否定是特称命题.
1234
m
的取值范围是
解析 由题意知，对任意的 x∈0，π2，
sin xcos x≤m为真命题；
又∵sin xcos x＝12sin 2x∈0，1答案
4.写出下列命题的否定并判断其真假. (1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根； 解 这一命题可表述为对任意的实数m， 方程x2＋mx－1＝0必有实数根. 其否定：存在一个实数m， 使方程x2＋mx－1＝0没有实数根， 因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立， 故为假命题.
解答
反思与感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量 词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命 题的否定. 2.有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的 写成“是”或“不是”.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； 解 存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)每一个四边形的四个顶点共圆； 解 存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解 存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假： (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”， 也即“所有实数的绝对值都不是正数”. 由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题.