线性代数

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《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅

学生 编

01、余子式与代数余子式- 2 -

02、主对角线- 2 -

03、转置行列式- 2 -

04、行列式的性质- 3 -

05、计算行列式- 3 -

06、矩阵中未写出的元素- 4 -

07、几类特殊的方阵- 4 -

08、矩阵的运算规则- 4 -

09、矩阵多项式- 6 -

10、对称矩阵- 6 -

11、矩阵的分块- 6 -

12、矩阵的初等变换- 6 -

13、矩阵等价- 7 -

14、初等矩阵- 7 -

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -

16、逆矩阵- 7 -

17、充分性与必要性的证明题- 8 -

18、伴随矩阵- 9 -

19、矩阵的标准形：- 9 -

20、矩阵的秩：- 9 -

21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -

22、线性方程组概念- 10 -

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -

25、线性方程组的向量形式- 12 -

26、线性相关与线性无关的概念- 12 -

27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -

29、线性表示与线性组合的概念- 12 -

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -

32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -

33、线性方程组解的结构- 13 -

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01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝333231232221131211aaaaaaaaa，则

第⼀章　⾏列式 ⼀、重点

1、理解：⾏列式的定义，余⼦式，代数余⼦式。

2、掌握：⾏列式的基本性质及推论。

3、运⽤：运⽤⾏列式的性质及计算⽅法计算⾏列式，⽤克莱姆法则求解⽅程组。

⼆、难点

⾏列式在解线性⽅程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等⽅⾯的应⽤。

三、重要公式

1、若A为n阶⽅阵，则│kA│= kn│A│

2、若A、B均为n阶⽅阵，则│AB│=│A│。│B│

3、若A为n阶⽅阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶⽅阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关⾏列式概念与性质的命题

2、⾏列式的计算（⽅法）

1）利⽤定义

2）按某⾏（列）展开使⾏列式降阶

3）利⽤⾏列式的性质

①各⾏（列）加到同⼀⾏（列）上去，适⽤于各列（⾏）诸元素之和相等的情况。

②各⾏（列）加或减同⼀⾏（列）的倍数，化简⾏列式或化为上（下）三⾓⾏列式。

③逐次⾏（列）相加减，化简⾏列式。

④把⾏列式拆成⼏个⾏列式的和差。

4）递推法，适⽤于规律性强且零元素较多的⾏列式

5）数学归纳法，多⽤于证明

3、运⽤克莱姆法则求解线性⽅程组

若D =│A│≠0，则Ax=b有解，即

x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适⽤于⽅程个数与未知数个数相等的⽅程组。

4、运⽤系数⾏列式│A│判别⽅程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次⽅程组Ax＝0有⾮零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b不是解（可能⽆解，也可能有⽆穷多解）

2）当│A│≠0时，齐次⽅程组Ax＝0仅有零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b有解，此解可由克莱姆法则求出。

⼀、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，⼏种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三⾓矩阵，对称矩阵，对⾓矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握：

序 言

1.什么是线性代数：

线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

1.1 那么什么是代数呢？

代数英文是Algebra，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。

1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？

在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。

下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。

“线性”的意义

线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。

线性函数的概念

线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。

线性代数知识点全归纳

2 线性代数知识点

1、行列式

1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ijA和ija的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM

4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；

将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；

将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；

3 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBCg

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；

7. 证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；

④、利用秩，证明()rAn；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1. A是n阶可逆矩阵：

0A（是非奇异矩阵）；

()rAn（是满秩矩阵）

4 A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组0Ax有非零解；

nbR，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；