全等三角形的10个模型（一）
引言概述：
全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。本文将介绍十个关于全等三角形的模型。这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：
1. 模型一：完全相等的三边
- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角
- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边
- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件
- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：
通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
手拉手模型
JF点一，手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点 结论：(1) ΔABD
i≤ΔAEC (2> Z« +ZB0C=1804
例1.如图在且跳ABC的同 例作两个等边三角形凶8。与A3CE,连结AE与C。，证 明
(1) MBEWADBC 2
WAE=DC E
⑶AE与。C之间的夹角为60'
{4}ΛAGB≈ΔJiFB G " 'f
(5)ΔEGβ=ΔCFβ
(6)8〃 平分 NAHC
(7) GF//AC Λ B~变式精练L如图两个等边:角形MBD与ABCE,连结AE与CO .
证明(1) ΔABE =^DBC
(2) AE=DC
(3) AE与/X： Z间的夹用为60
(4) AE与DC的交点设为〃，8,平分NAHC
变式精练2>如图两个等边：角形AABO1J MiCE,连结AE 与CQ.
证明(1) ΔAβE≈ΔDBC
(2> AE=DC
(3) AEi) DC之间的夹角为60'
(4) AEf j DC的交点设为〃，BII平分ZAHC
例2∣如图，两个正方形八BC。与OEFG,连结
AGC£,二者相交于点〃 B
问：<1>A4DG=ACDE是否成立？
(2)八G是否与CE相等？
(3) AG与CE之间的夹角为多少度?
(4) 〃。是否平分NA〃£?
例3∙如图两个等腰H角三角形八/X?与EOG,连
结AGCE,二者相交于点〃
问：(1》AADG勺ACDE是否成立？
(5) AG是否与CE相等？
(6) AG与CE之间的夹角为多少度?
(7) 〃。是否平分N4〃£? 例明两个等腰三角形AAH/)与.ViCK,其中
AB= BD,CU = ER, ZABD= KBE=a,连结 AE与 CO，
问：＜1） ΔA8f⅛AD8C是否成立？
（2） AK是否与CD相等？
（3）AE与C。之间的夹角为多少度？
（4） 是否平分N4HC?
第5讲
全等三角形的经典模型
一、双垂直模型
知识总结
①双垂直中的角度关系②双垂直中的全等关系
，,若，则≌
、为等腰直角三角形
经典例题
例题1
答案
解析A.B.C.D.如图，在中，，，平分，交的延长线于，为
垂足，则结论：①；②；③；④；⑤．其
中正确结论的个数是（）．
CAB
FED
D①∵
，，
∴，
∵平分，
∴，
∵在与中，
，
，
∴，
∵，，，
∴≌，
∴；
故①正确．
②∵①中≌，
∴，
故②正确．
③∵①中≌，
∴，，
∵，
∴在中，
，
∵，
∴
，
∴，即，
故③正确．
④由③可知，是等腰三角形，
∵，
∴，
标注三角形>全等三角形
>全等形判定>题型：AAS∵在中，若，
则，
与②中相矛盾，
故，
故④错误．
⑤由③可知，是等腰三角形，
∵，
∴，
故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选．
二、三垂直模型
知识总结
模型描述
是等腰直角三角形，
图①为一条直线经过直角顶点，过的外侧，
图②、③为一条直线经过直角顶点，过的内侧，
与分 别垂直于过点的直线．核心结论：
≌图①：；
图②：
图③：
经典例题
例题2
答案
解析
标注三角形>全等三角形>全等三角形性质>题型：对应边与角如图，中，，，交于，，，，
，则．
∵，，，
∴，
∴；
∴（等角的余角相等）；
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴．例题
3
答案
解析
标注三角形>全等三角形>全等模型>题型：三垂直模型如图，锐角分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形
，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．求证：．
证明见解析．
如图，过作，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴≌，
∴，
同理，
∴．
例题4
答案
解析
标注三角形>全等三角形>全等模型>题型：一线三等角模型如图，直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且
．
图图图若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面问题：(1)
如图①，若，，；（填“≌”或不一定全等
于）．（填“”，“”或“”）1
如图②，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的
关系是．2
如图③，若直线经过的外部，，请探究、与、三条线段的
数量关系，说明理由．(2)
1专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等2二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明)(注：一般都是原题已经有中线时用)。三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线3延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型4题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。题型六：角平分线+垂直构造全等模型类型一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现OP为∠OAB的角平分线、PM⊥OA于点M时，辅助线的作法大都为过点P作PN⊥OB即可.即有PM=PN、ΔOMP≌ΔONP等，利用相关结论解决问题.类型二、角平分线垂中间角平分线+内垂直5当已知条件中出现OP为∠AOB的角平分线,PM⊥OP于点P时，辅助线的作法大都为延长MP交OB于点N即可.即有ΔOMN是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题. 模型一：一线三等角模型1(2023•石家庄模拟)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC>5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．(1)如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．2(2023•怀化三模)如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP=PF，∠APF=90°．(1)求证：ΔABP≅ΔPEF；(2)求BE的长．3(2023•承德二模)如图1，BAC经过RtΔABC的三个顶点，圆心O在斜边AB上，AC=4，直径AB所对的弧长为AC长的3倍，将等腰RtΔADE的直角顶点D放置在边BC上，EF⊥BC于点F．6(1)∠ABC=°；(2)求证：ΔACD≅ΔDFE；(3)如图2，当点E落在AB上时，求EF的长．4(2023•凤台县校级二模)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，RtΔABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证；ΔBEC≅ΔCDA．(2)如图3，在ΔABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD，∠DBA=∠DAB，AB=23，求点C到AB边的距离．(3)如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B，AB=10，BE=6，求EFDE的值．5(2023•鄂伦春自治旗二模)如图1，二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A，B(0,-2)，点P为x轴上一动点．(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP=1时，求ΔACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点E2,-53在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．76(2023•潍坊三模)如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC=90°，AB=BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．观察发现：(1)如图1，当A，B两点均在直线l的上方时①猜测线段AD，CE与BE的数量关系并说明理由；②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：(2)将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：(3)将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度．7(2023•尤溪县校级模拟)在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积(用含有x，y的式子表示)．8(2024•龙马潭区一模)如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO=45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．89(2023•太康县二模)在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 AE=EF ；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证ΔAEP≅ΔEFC．则判断ΔAEP≅ΔEFC的依据是．(2)点E在BC边上运动．①如图2，(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为1，直接写出ΔAFD的周长c的取值范围．模型二：手拉手模型--旋转型全等10(2023•巴中)综合与实践．(1)提出问题．如图1，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是 90° ．②BD:CE=．(2)类比探究．如图2，在ΔABC和ΔDEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是；②AD:BE=．(3)问题解决．如图3，在等边ΔABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边ΔAEF，将ΔAEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．①说明ΔMND为等腰三角形．②求∠MND的度数．911(2024•武汉模拟)如图，在ΔABC和ΔCDE中，∠BAC=∠CED=90°，AB=AC，CE=DE，点E在边AB上，F是BC的中点．连接AD，G是AD的中点．(1)求证：ΔACE∽ΔBCD；(2)如图(2)，若点G在BC上，直接写出tan∠ACE的值；(3)如图(1)，判定以E，F，G为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．12(2023•市中区校级四模)[问题提出]如图1，在等边ΔABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将ΔAPC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则ΔAPP′为等边三角形．∴PP′=PA=3，又∵PB=4，PC=5，PP′2+PB2=PC2．∴△BP′P为三角形，∴∠APB的度数为．[类比探究]如图2，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，其内部有一点P，若PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度数．10[联想拓展]如图3，在ΔABC中，∠BAC=90°，∠BCA=30°，其内部有一点P，若PA=3，PB=2，PC=43，求∠APB的度数．13(2023•深圳模拟)如图，ΔABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边ΔCDE，连接AE．(1)【尝试初探】如图1，当点D在线段AB上运动时，AC与DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．(2)【深入探究】如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD=2BD时，求tan∠DHC的值．(3)【拓展延伸】如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD、AE相交于点F，设ΔADF的面积为S1，ΔCEF的面积为S2，当S2=4S1时，求AE的长．14(2023•岱岳区二模)如图，正方形ABCD边长为7．E、F在半径为4的⊙A上，且EA⊥FA，连接DE、BE、BF、DF．(1)试探求线段DE、BF的数量和位置关系；(2)求证：DF2+BE2=EF2+BD2，并求DF2+BE2的值．15(2023•苏州一模)如图，ΔABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．11(1)【尝试初探】如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．(2)【深入探究】如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD=2BD时，求tan∠DHC的值．(3)【拓展延伸】如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F，设ΔADF的面积为S1，ΔCEF的面积为S2，当S2=4S1时，求BD的长．16(2023•灌云县校级模拟)在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转α得到线段PD，连接AP，CD，BD．(1)当α=60°时，①如图1，当点P在ΔABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP与BD的数量关系是 AP=BD ．②如图2，当点P在ΔABC内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；(2)当α=90°时，①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由；②若点A，C，P在一条直线上，且AC=3PC，线段PC绕点P逆时针旋转α得到线段DP，求BDAP的值．17(2024•邳州市校级一模)(1)问题发现：如图1，ΔACB和ΔDCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ；②∠AEB的度数为．(2)拓展探究：如图2，ΔACB和ΔAED均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，
