数字信号处理第三章4 离散傅里叶变换的性质

移位
x( n m )
取主值
xm (n )
序列
延拓
x (( n m )) N
2012-10-11
数字信号处理
2012-10-11
数字信号处理
X m ( k ) D F T [ x m ( n )] D F T [ x (( n m )) N R N ( n )]
WN
*
N 1
*
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四、离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
X ( k ) D F T [ x ( n )]

N 1
x ( n )W N R N ( k )
nk
n0
x ( n ) ID F T [ X ( k )]
1 N

N 1
X ( k )W N
nk
RN (n)
k 0
其中：
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4、复共轭序列
D F T [ x ( n )] X (( k )) N R N ( k ) X (( N k )) N R N ( k )
* * *
证 ： D F T [ x ( n )]
*
N 1

N 1
x ( n )W N R N ( k )
对 w ( n )进 行 一 次 N 点 D F T 运 算 W ( k ) D F T [ w ( n )] X 1 ( k ) jX 2 ( k )
得
X 1 ( k ) W ep ( k ) X 2 (k ) 1 j
均 为 N 点 D FT
W op ( k )
?
而 X ( k )是 2 N 点 D F T
数字信号处理
xe (n )
1 2
[ x ( n ) x ( n )]
*
x (( n )) N
xe (n )
1 2
* [ x ( n ) x ( n )]
x (( N n )) N
*
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数字信号处理
任意周期序列：x ( n )
xe (n ) xo (n )
x ( n ) xe ( n ) xo ( n )
x 其中： e ( n ) x e ( n ) 1 / 2[ x ( n ) x ( n )]
* *
x o ( n ) x o ( n ) 1 / 2[ x ( n ) x ( n )]
* *
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*
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数字信号处理
共轭对称性
序列
x(n )
DFT
X (k )
R e [ x ( n )] j Im [ x ( n )]
X ep ( k ) X op ( k ) R e [ X ( k )] j Im [ X ( k )]
数字信号处理
x ep ( n ) x op ( n )
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X 1 ( k ) D F T [ x 1 ( n )] D F T { R e [ w ( n )]} W e p ( k )

1 2
[W (( k )) N W (( N k )) N ] R N ( k )
*
由 x 2 ( n ) Im [ w ( n )]得
X 2 ( k ) D F T [ x 2 ( n )] D F T {Im [ w ( n )]} 1 2j
*
*
nk
n0
* nk X (( k )) N R N ( k ) x ( n )W N R N ( k ) n0
( N k )n x ( n )W N RN (k ) n0
X (( N k )) N R N ( k )
X ep ( k ) X ep (( N k )) N R N ( k )
*
1 / 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ] R N ( k )
*
X o p ( k ) X o p (( N k )) N R N ( k )
*
1 / 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ] R N ( k )
*
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数字信号处理
定义：
圆周共轭对称序列：
x ep ( n ) x e ( n ) R N ( n ) 1 / 2[ x (( n )) N x (( N n )) N ] R N ( n )
*
圆周共轭反对称序列：
x op ( n ) x o ( n ) R N ( n ) 1 / 2[ x (( n )) N x (( N n )) N ] R N ( n )
*
则任意有限长序列：
x ( n ) x ep ( n ) x o p ( n )
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圆周共轭对称序列满足：
x ep ( n ) x ep (( N n )) N R N ( n )
*
实部圆周偶对称
R e [ x e p ( n )] R e [ x e p (( N n )) N R N ( n )]
其中： 共轭对称分量：
* * x e ( n ) x e ( n ) 1 / 2[ x ( n ) x ( n )] 1 / 2[ x (( n )) N x (( N n )) N ]
*
共轭反对称分量：
* * x o ( n ) x o ( n ) 1 / 2[ x ( n ) x ( n )] 1 / 2[ x (( n )) N x (( N n )) N ]
解 ： 将 x ( n )按 奇 偶 分 组 ， 令
x1 ( n ) x ( 2 n ) x 2 ( n ) x ( 2 n 1)
n 0,1, ..., N 1 n 0,1, ..., N 1
构 成 一 个 复 序 列 w ( n ) x 1 ( n ) jx 2 ( n )
虚部圆周偶对称
Im [ x o p ( n )] Im [ x o p (( N n )) N R N ( n )]
x o p ( n ) x o p (( N n )) N R N ( n )
幅度圆周偶对称
幅角没有对称性
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数字信号处理
同理： 其中：
X ( k ) X ep ( k ) X o p ( k )
WN e
j
2 N
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1、线性：
若
X 1 ( k ) D F T [ x1 ( n )] X 2 ( k ) D F T [ x 2 ( n )]
则
D F T [ a x1 ( n ) b x 2 ( n )] a X 1 ( k ) b X 2 ( k )
a , b为 任 意 常 数
*
1 j
W op ( k )
[W (( k )) N W (( N k )) N ] R N ( k )
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例 ： 设 x ( n )是 2 N 点 实 数 序 列 ， 试 用 一 次 N 点 D F T 来 计 算 x ( n )的 2 N 点 D F T : X ( k )
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用 一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
D F T [ x1 ( n )] X 1 ( k ) D F T [ x 2 ( n )] X 2 ( k )
解：利用两序列构成一个复序列
w ( n ) x 1 ( n ) jx 2 ( n )
nl nl W N x (n ) R N (n ) W N x (n )
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
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2 n l D F T x ( n ) c os N 2 n l D F T x ( n ) sin N
纯虚序列的共轭对称性
序列
R e [ x ( n )] 0 j Im [ x ( n )]
DFT
X ep ( k ) 0 X op ( k ) X ( k ) R e[ X (k )] j Im [ X ( k )]
x ep ( n ) x op ( n )
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mk
X (k )
证 ： D F T [ x (( n m )) N R N ( n )] D F T [ x ( n m ) R N ( n )] D F S [ x ( n m )] R N ( k )
WN
mk mk X (k )RN (k ) W N X (k )
则
W ( k ) D F T [ w ( n )] D F T [ x 1 ( n ) jx 2 ( n )] D F T [ x 1 ( n )] jD F T [ x 2 ( n )] X 1 ( k ) jX 2 ( k )
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数字信号处理
由 x 1 ( n ) R e [ w ( n )]得
实数序列的共轭对称性
序列
R e [ x ( n )] j Im [ x ( n )] 0 x ep ( n ) x op ( n )
DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0 R e [ X ( k )] j Im [ X ( k )]
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W N 2j
j 2 N nl
1
nl
x(n ) W N x(n )
nl
j 2 N nl

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e
e 2j
x ( n ) x ( n ) sin
2 n l N
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3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
虚部圆周奇对称
Im [ ຫໍສະໝຸດ Baidu e p ( n )] Im [ x e p (( N n )) N R N ( n )]
幅度圆周偶对称
x e p ( n ) x e p (( N n )) N R N ( n )
幅角圆周奇对称
a rg[ x e p ( n )] a rg[ x e p (( N n )) N R N ( n )]
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N m ax [ N 1 , N 2 ]
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2、序列的圆周移位
定义：
x m ( n ) x (( n m )) N R N ( n )
周期
x(n )
x(n)
1 X (( k l )) N X (( k l )) N R N ( k ) 2
1 X (( k l )) N X (( k l )) N R N ( k ) 2 j
1 证 ： ID F T X (( k l )) N X (( k l )) N R N ( k ) 2 j
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
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调制特性：
ID F T [ X (( k l )) N R N ( k )] W
nl N
x(n) e
j
2 N
nl
x(n)
证 ： ID F T [ X (( k l )) N R N ( k )] ID F T [ X ( k l ) R N ( k )] ID F S [ X ( k l )] R N ( n )
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圆周共轭反对称序列满足：
x o p ( n ) x o p (( N n )) N R N ( n )
*
实部圆周奇对称
R e [ x o p ( n )] R e [ x o p (( N n )) N R N ( n )]