第2、3章 直线与圆
1． 斜率公式：（1）角公式：tank，是直线的倾斜角
（2）点公式：2121yykxx，必须已知两点 111(,)Pxy、222(,)Pxy
2．直线方程的五种形式：
(1)点斜式：11()yykxx (直线过点111(,)Pxy， 斜率为k)
(2)斜截式：ykxb ( 斜率为k，截距b。 b为直线l在y轴上的截距。截距可以是负数、0、正数)
(3)两点式：112121yyxxyyxx (直线过111(,)Pxy、222(,)Pxy 12xx， 12yy ).
(4)截距式：1byax (a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y上的截距。 截距可正可负 )
(5)一般式：0AxByC
3．两条直线的位置关系：若111:lykxb，222:lykxb,则：
① 1l∥2l21kk,21bb； ②12121llkk.
4．四个重要个公式:（1）线段AB的中点M的坐标公式：(,)22ABABxxyyM
（2）两点距离： A、B的距离：221212()()ABxxyy
（3）点线距离： 点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200BACByAxd；
（4）平行线距离：两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离2221BACCd
5．圆的方程： ⑴标准方程：①222)()(rbyax ； 其中圆心为(,)ab， 半径为r
（2）一般方程：022FEyDxyx 。 圆心（-2D，-2E）； 半径22142rDEF
6．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
“圆心”就是“点”
⑴点与圆的位置关系：（先计算：d两点距离、半径R，再作以下判断）
①Rd点在圆上；②Rd点在圆内；③Rd点在圆外。
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．知道直线与圆的位置关系的分类．
2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系．
3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判
定
方
法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2 d____r
d____r d____r
代数法：由 Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
【做一做】 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜
【做一做】 D
代数法与几何法的比较
剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．
【例】 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
解法一：(代数法)
由方程组 4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，
得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
则Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50；
②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a＜－50或a＞50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线4x－3y＋a＝0的距离d＝|a|32＋42＝|a|5. ①当直线和圆相交时，d
②当直线和圆相切时，d＝r，即|a|5＝10，所以a＝50或a＝－50；
《直线、圆的位置关系》人教A版高中数学必修2
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？第一幅请同学们观察太阳
与海平面的关系第二幅第三幅下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!一、直线与圆的位置关系1.直线和圆只有
一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.．l圆心O到
直线l的距离d半径rod>r1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________ll．半径rod=r2.直线l和⊙O相切,
此时d与r大小关系为_________l．半径rodr直线
与圆相离直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d=r直线与圆相切d、直线与圆的位置关系的判定方法：1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：△<0n=0直线与圆相离n=1△=0直线与圆相切
n=2△>0直线与圆相交2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：ylB.CAOx例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C
的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.方法二:（代数法）判断直线l与圆的位置关系，就
是看由它们的方程组有无实数解、有几组实数解．方法一:（几何法）可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；1.
判断直线与圆的位置关系．【练习】解：方程经过配方，得圆心坐标是（１，０），
半径r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．解：将圆的方程写成标准形式，得x2+
(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5.如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为即圆心到所求
直线l的距离为.例2已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.
- 1 - 3.2.2 直线的两点式方程
1.直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2.
(2)图形：
(3)方程：y－y1y2－y1 ＝x－x1x2－x1 ．
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？
提示：与x轴、y轴平行的直线，x轴，y轴．
(2)过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．
2．直线的截距式方程
(1)条件：在x轴，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0.
(2)图形： - 2 -
(3)方程：xa
＋yb ＝1．
方程x2 －y3 ＝1和x2 ＋y3 ＝－1都是直线的截距式方程吗？
提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”连接，二是等号右边为1.
3．两点的中点坐标公式
点P(x，y)是线段P1P2的中点，其中P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x＝x1＋x22 ，y＝y1＋y22 .
如果已知点P(a，b)是线段P1P2的中点，其中P1(x1，y1)，那么点P2的坐标是什么？
提示：设点P2(x2，y2)，由中点坐标公式：a＝x1＋x22 ，b＝y1＋y22 ，所以x2＝2a－x1，y2＝2b－y1，则点P2(2a－x1，2b－y1).
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程y－y1y2－y1 ＝x－x1x2－x1 表示．( × )
提示：当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程y－y1y2－y1 ＝x－x1x2－x1 表示．
(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa ＋yb ＝1.( × )
提示：当a＝0或b＝0时，在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程xa ＋yb ＝1表示．
