山东省济南外国语学校三箭分校高二(上)期中数学试卷
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2015-2016学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中
数学试卷
一、选择题
1．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
2．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（ ）
A． B． C． D．或
3．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
4．（文）已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n+1）则a5的值为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
5．已知a，b，c∈R，下列命题中正确的是（ ）
A．a＞b⇒ac2＞bc2 B．ac2＞bc2⇒a＞b
C． D．a2＞b2⇒a＞|b|
6．在△ABC中，若2acosB=c，则△ABC必定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．在等比数列{an}中，a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，则a8等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．不能确定
8．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14
9．下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．，
C． D．
10．若已知x＞，函数y=4x+的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，m∈N*，且，则m=
．
12．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 ．
13．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为 ．
14．数列{an}中，数列{an}的通项公式，则该数列的前 项之和等于．
15．x、y为正数，若2x+y=1，则的最小值为 ．
三、解答题（共60分）
16．（1）求函数的定义域．
（2）若（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．
17．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，求甲、乙两楼的高．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}通项公式，并证明{an}为等差数列．
（2）求当n为多大时，Sn取得最小值．
19．学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC=c•cosB，△ABC的面积S=10．
（1）求角C；
（2）若a＞b，求a、b的值．
21．已知数列{an}满足：Sn=1﹣an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）试求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：（n∈N*），试求{bn}的前n项和公式Tn．
2015-2016学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
【考点】正弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A
【解答】解：∵b=2asinB，
由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB
∵sinB≠0
∴sinA=
∴A=30°或150°
故选D
【点评】本题 主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题
2．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（ ）
A． B． C． D．或
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，
∴cosA==﹣，
则A=，
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由an=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．
【解答】解：设公差为d，
∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．
再由an=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得 n=50，
故选 A．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
4．（文）已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n+1）则a5的值为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】计算题．
【分析】因为Sn表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．
【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，
因为Sn=2n（n+1），
所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，
所以a5=20．
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是掌握Sn表示的意义是数列前n项的和，并且加以正确的计算．
5．已知a，b，c∈R，下列命题中正确的是（ ）
A．a＞b⇒ac2＞bc2 B．ac2＞bc2⇒a＞b
C． D．a2＞b2⇒a＞|b|
【考点】不等式的基本性质．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】A．取c=0时，即可判断出；
B．利用不等式的性质即可得出；
C．取a=1，b=﹣2，即可判断出；
D．取a=﹣2，b=1，即可判断出．
【解答】解：A．取c=0时，ac2=bc2=0，因此不正确；
B．∵ac2＞bc2，∴a＞b，正确；
C．取a=1，b=﹣2，满足a3＞b3，但是a=，因此不正确；
D．取a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但是a＜|b|，因此不正确．
综上可知：只有B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，属于基础题．
6．在△ABC中，若2acosB=c，则△ABC必定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】△ABC中，2acosB=c，由正弦定理可知2sinAcosB=sinC=sin（A+B），展开后逆用两角差的正弦即可．
【解答】解：∵△ABC中，2acosB=c，
∴由正弦定理得：2sinAcosB=sinC，
又△ABC中，A+B+C=π，
∴C=π﹣（A+B），
∴sinC=sin（A+B），
∴2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，
∴sin（A﹣B）=0，又A、B为△ABC中的内角，
∴A﹣B=0，
∴A=B．
∴△ABC必定是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，考查两角和与两角差的正弦，属于中档题．
7．在等比数列{an}中，a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，则a8等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．不能确定
【考点】等比数列的性质；根与系数的关系．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】利用韦达定理，结合等比数列的性质，即可求得结论．
【解答】解：∵a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，
∴a6a10=4，a6+a10=8，
∴a6＞0，a10＞0
∵数列{an}是等比数列
∴a82=a6a10=4
∴a8=2
故选：B．
【点评】本题考查韦达定理，考查等比数列的性质，属于基础题．
8．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，
把解代入方程求出a、b即可． 【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是
即方程ax2+bx+2=0的解为
故
则a=﹣12，b=﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．
9．下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．，
C． D．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：对于A．∵，∴ =2，当且仅当x=1时取等号．
因为只有一个正确，故选A．
【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
10．若已知x＞，函数y=4x+的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．
【解答】解：x＞，函数y=4x+=4x﹣5++5≥2+5=7，
当且仅当4x﹣5=即x=时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．
二、填空题：
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，m∈N*，且，则m= 15 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
