山东济南上学期高二数学期末考试_2

山东省济南市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的焦点到准线的距离是（）A . 1B . 2C . 4D . 82. （2分）椭圆上有n个不同的点：P1 ， P2 ，，Pn ，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A . 198B . 199C . 200D . 2013. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .4. （2分）双曲线的焦距是（）A . 4B .C . 8D . 与m有关5. （2分）对于直线m、 n 和平面 a、b、γ，有如下四个命题：（1）若,则,（2）若,,则,（3）若，，则，（4）若,则，其中正确的命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）(2020·天津模拟) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 如图，AB∩α=B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB 上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB=45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A . 双曲线的一支B . 抛物线的一部分C . 圆D . 椭圆8. （2分）椭圆和具有（）A . 相同的长轴长B . 相同的焦点C . 相同的离心率D . 相同的顶点9. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是．A .B .C . 2D . 410. （2分）三条侧棱两两互相垂直且长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）△ABC的顶点A在y2=4x上，B，C两点在直线x﹣2y+5=0上，若|-|=2，则△ABC面积的最小值为（）A .B . 1C . 2D .12. （2分）一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上高月考) 在平面直角坐标系中，直线过与两点，则其倾斜角的值为________．14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是________（写出所以正确命题的编号）15. （1分）(2018·吉林模拟) 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB = 6，BC = ，则棱锥的体积为________.16. （1分）已知双曲线的一条渐近线为，则________ .三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·德惠期中) 命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围．18. （10分） (2017高三上·西湖开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．19. （10分） (2016高二上·长春期中) 直线l1：4x+3y﹣1=0与l2：x+2y+1=0的交点M，（1）求交点M的坐标（2）求过点M且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线方程．20. （5分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．求C2的方程；21. （10分） (2015高二上·集宁期末) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．（1）求证：AB⊥PC；（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．22. （5分）(2017·红桥模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。

一、单选题1．复数的虚部为（ ） i(2i)-A ．-2 B ．2 C ．-2i D ．2i【答案】B【分析】由复数的运算得出虚部.【详解】，即该复数的虚部为. i(2i)12i -=+2故选：B2．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5【答案】C【分析】先要找出命题为真命题的充要条件， 从集合的角度充分不必要条件应为 {|4}a a ≥的真子集，由选择项不难得出答案{|4}a a ≥【详解】命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题，可化为∀x ∈[1，2]，恒成立2a x ≥即只需，2max ()4a x ≥=即命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的的充要条件为，4a ≥而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题 {|4}a a ≥意. 故选：C3．曲线在点处的切线方程为（ ） sin 2cos y x x =-(),2πA ． B ．C ．D ．20x y π+--=20x y π--+=220x y π+-+=220x y π---=【答案】A【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程. 【详解】曲线 sin 2cos y x x =-则'cos 2sin y x x =+当时,x π=cos 2sin 1k ππ=+=-所以在点处的切线方程,由点斜式可得 (),2π()21y x π-=-⨯-化简可得 20x y π+--=故选:A【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.4．已知向量．若与垂直，则实数（ ）(1,0),)a b c k ==-= 2a b -c k =AB ．C ．1D ．33-【答案】B【分析】求出，根据向量垂直可得数量积为0即可求出. 2a b -【详解】因为，(1,0),)a b c k ==-=所以，(()(22,0a b -=--=因为与垂直，所以，解得. 2a b - c ()230a b c k -⋅== 3k =-故选：B.5．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当Sn 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以S n =-11n+×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．()n n 12-故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．6．下列四个图形中，正方体棱上的四个中点共面的图形是（ ）．A ．甲与乙B ．乙与丙C ．丙与丁D ．丁与甲【答案】A【分析】如图所示:利用空间点线面位置关系可以证明图中中点E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面,进而判断甲乙图中对应的四点为分别为:H 、F 、G 、N 和E 、F 、G 、M 均在平面EFGNMH 内，所以可得甲乙图形符合要求;然后可判断丙和丁图中对应的四点不共面.【详解】如图所示, E 、F 、G 、H 、M 、N 、P 、Q 均为正方体AC 1棱上的中点,所以有:EF AC,MN A 1C 1,ACA 1C 1,得EF MN,所以得EF 、MN 可确定一个平面α,同理EH 、NG 可确定一个平面β,又因为E 、F 、M 三点不共线只能确定一个平面,所以α、β重合,即E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面为平面EN,所以有:甲图中对应的四点为H 、F 、G 、N 在平面EN 内即共面; 乙图中对应的四点为E 、F 、G 、M 在平面EN 内即共面;丙图中对应的四点为E 、F 、P 、M 其中P 点不在平面EN 内即得四点不共面; 丁图中对应的四点为E 、H 、G 、Q 其中Q 点不在平面EN 内即得四点不共面; 综上可得甲乙图满足要求. 故选:A【点睛】本题考查了多点共面的问题,综合利用点线面的位置关系来证明,解决此类问题要求学生有丰富的空间想象能力,属于中档题.7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆EF 22:2430C x y x y +--+=CE CF ⊥P EF EF 上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小C :30l x y --=,A B 2APB π∠≥AB 值是（ ）A ．B ．C ．D ．12【答案】B【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆P AB ”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解22(1)(2)1x y -+-=()1,2C l P 出的最小值.AB【详解】由题可知：，圆心，半径22:(1)(2)2C x y -+-= ()1,2C r 又，是的中点，所以， CE CF ⊥P EF 112CP EF ==所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， P 22(1)(2)1x y -+-=()1,2C 1R =若直线上存在两点，使得恒成立，:30l x y --=,A B 2APB π∠≥则以为直径的圆要包括圆， AB 22(1)(2)1xy -+-=点到直线的距离为，()1,2C ld 所以长度的最小值为， AB ()212d +=故选：B ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点P 以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨P 2APB π∠≥AB P 迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.AB 8．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，()()21e ,043,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩()y f x a =-1x 2x ，，，则的取值范围为（ ） 3x 4x 1234x x x x ++A ． B ．C ．D ．(]5,3e +[)4,4e +[4,)+∞(,4]-∞【答案】A【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为()f x ()y f x a =-的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得()y f x =y a =1e a <≤，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范12344ln ++=+-x x x x a a ()4ln =+-g a a a 1e a <≤围.【详解】解：时，，， 0x ≤ 2(1)()e x f x +=2(1)()e 2(1)x f x x +'∴=⋅+在上单调递减，在上单调递增，，()f x ∴(,1)-∞-(1,0)-(1)1,(0)e f f -==时，， 0x >4()3f x x x=+-在上单调递减，在上单调递增，，()f x ∴(0,2)(2,)+∞(2)1f =画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，()f x ()y f x a =-()y f x =y a =由图可得，是方程，即的两根，1e a <≤12,x x 2(1)e x a +=221x x ++-ln 0a =是方程，即的两根， 34,x x 43x a x+-=2(3)x a x -+40+=，，121ln x x a ∴=-343x x a +=+则， 12341ln 34ln (1e)x x x x a a a a a ++=-++=+-<≤设，，则，在上单调递增， ()4ln =+-g a a a 1e a <≤1()10'=->g a a()g a ∴(1,e)当时，，即.∴1e a <≤(1)()(e)g g a g <≤5()3e g a <≤+故选：A.二、多选题9．已知等差数列 的前n 项和为 ，且 ，则（ ） {}n a 67,n S S S <78S S >A ．在数列中， 最大 {}n a 1a B ．在数列中， 或 最大 {}n a 3a 4a C ．310S S =D ．当 时， 8n ≥0n a <【答案】AD【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD 正确，B 错67S S <78S S >70a >8780a a a <>，0d <误，结合等差数列的性质可判断，判断C. 103770S S a -=>【详解】为等差数列，∵，且， {}n a 67S S <78S S >∴ ，7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，即，0d <∴{an }是递减等差数列，最大，当 时，，当 时，， 1a 7n ≤0n a >8n ≥0n a <故AD 正确，B 错误，， 10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>则 ，故C 错误， 103S S ≠故选：AD ．10．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数2|2|=-+-y x a +=0x y 122y x =--a 可能为（ ） A ．6 B ．C ．2D ．6-2-【答案】AD【分析】根据入射光线上的点关于直线的对称点一定在反射光线上，即可求解.+=0x y 【详解】在直线上任意取一点，122y x =--00(,)A x y 由题知点关于直线的对称点在直线上， A +=0x y 00(,)B y x --2|2|=-+-y x a 则整理得，00001=22=2+2y x x y a ⎧--⎪⎨⎪--⎩1222-=a 解得或. 6a =2a=-故选：AD.11．如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是111ABC A B C -12,D E 的中点，则下列结论成立的是（ ）1,BB ACA ．直线与是异面直线 CD 11BC B ．直线与平面平行 BE 1ACD C ．直线与直线 AC 1A DD ．直线与平面CD 11AAC C 【答案】BCD【解析】直线与在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和CD 11B C 直线与平面所成角的大小即可得解.【详解】直线与 在同一平面内，不是异面直线，所以A 选项错误； CD 11B C 11B C CB 取交点，连接， ，11,A C AC O ,OE OD 1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =所以四边形是平行四边形，，BDOE //BE OD 平面，平面 ，所以直线与平面平行，B 选项正确； BE ⊄1ACD OD ⊂1ACD BE 1ACD 直线与直线 所成角就是与直线所成角， 11//AC A C AC 1A D 11A C 1A D 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，111ABC A B C -12连接在中， 1C D 11AC D ∆11111,AC C D A D ===由余弦定理可得 11cos DA C ∠==所以直线与直线，所以C 选项正确； AC 1A D 由题可得：平面平面，交线为 AC ，，11AA C C ⊥ABC BE AC ⊥平面，根据面面垂直的性质可得平面 ，，BE ⊂ABC BE ⊥11AAC C //BE OD 所以平面，OD ⊥11AAC C线与平面所成角就是，在直角三角形 中， CD 11AAC C DCO ∠DCO CD CO ==直线与平面所成角的余弦值为 D 选项正确. CD 11AAC C 故选：BCD【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.12．已知函数，则（ ）()2ln f x x x =-A ．恒成立B ．是上的减函数()0f x ≤()f x ()0,+∞C ．在得到极大值D ．在区间内只有一个零点 ()f x 12e x -=12e()f x ⎫⎪⎭【答案】CD【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC ，取可判断A 选项的正()f x 01x <<误，根据函数的单调性及可判断D.()10f =【详解】，该函数的定义域为，()2ln f x x x =- ()0,∞+所以，()()2ln 2ln 1f x x x x x x '=--=-+由，可得，由，可得， ()0f x ¢>120ex -<<()0f x '<12e x ->所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，120e x -<<()f x 12e x ->()f x ，故B 选项错误，C 选项正确；()111221e e ln e 2e f x f ---⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭极大值当时，，此时，A 选项错误；01x <<ln 0x <()2ln 0f x x x =->由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零()f x ⎫⎪⎭()10f =()f x ⎫⎪⎭点，D 选项正确. 故选：CD.三、填空题13．若，，…，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则，，…，，这21个1a 2a 20a x 1a 2a 20a x 数据的方差为__________． 【答案】0.20【解析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，数据，，…，这20个数据的平均数为，方差为，1a 2a 20a x 0.21由方差的公式，可得， 222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-= 所以，2221220()()() 4.2a x a x a x -+-++-= 所以， 22222122011[()()()(] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯= 故答案为：．0.20【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．14．若点，，点P 是yOz 平面上一点，则的最小值为__________. (1,1,1)A -(232)B ,,PA PB +【分析】根据三点共线时距离和取到最小值，利用对称点转移等长线段，即可分析出，由空间两点间距离公式即可求解.()minPA PB A B '+=【详解】解：构造点关于平面yOz 的对称点， (1,1,1)A -(1,1,1)A '--将转化成，当P ，A ，B 三点共线时有最小值，PA PB +PA PB '+，()minPA PB +==15．如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ．设地球半径为r ，该飞船远地点离地面的距离为R ，则该卫星近地点离地面的距离为______．【答案】()21R R r ee-++【分析】由题设及椭圆的几何性质可得，再由近地点距地面距离为，即可求a c R r c e a+=+⎧⎪⎨=⎪⎩a c r --结果.【详解】由题设，若椭圆轨道对应方程为且，22221x y a b +=0a b >>椭圆的几何性质知：，则，a c R r c e a +=+⎧⎪⎨=⎪⎩1()1R r a ee R r c e +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩又近地点离地面的距离为. ()2()111R R r e R r e R r a c r r e e e-+++--=--=+++故答案为：.()21R R r ee-++四、双空题 16．若函数在和两处取到极值，则实数的取值范围是()21e 12xf x ax =-+1x x =2x x =a ___________；若，则实数的取值范围是___________. 212x x ≥a 【答案】 (e,)+∞2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】对求导后令，再根据是导函数的两根，数形结合分析两根的关系求解. ()f x ()0f x '=12,x x 【详解】解：①已知函数，则， ()21e 12xf x ax =-+()x f x ax e '=-若函数在和两处取到极值，则和是函数的()21e 12xf x ax =-+1x x =2x x =1x x =2x x =()x f x ax e '=-两个零点，即是方程，即的两个根，e 0xax -=e xa x=所以函数的图像与直线有两个不同的交点且交点的横坐标分别为，e ()=xg x xy a =12,x x 由于，所以当或时，；当时，；2(1)e ()xx g x x '-=0x <01x <<()0g x '<1x >()0g x '>故的减区间有和，增区间有， ()g x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞且当时，，作出的草图：1x =min ()(1)e g x g ==()g x由图可知要满足函数有两个零点，需使， ()x f x ax e '=-e a >所以实数的取值范围是， a (e,)+∞②，且 12,0x x > e a >若，即，取，并令，则， 212x x ≥212x x ≥212x x =1(0)x t t =>22x t =所以，解得，此时， 2e e 2t t t t =ln 2t =ln 2e 2ln 2ln 2a ==故，即实数的取值范围是， 2ln 2a ≥a 2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：. ()2e,,ln 2∞∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭；五、解答题17．等差数列{}中，. n a 34574,6a a a a +=+=（Ⅰ）求{}的通项公式；n a （Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. []n n b a ={}n b []x x 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24. 235n n a +=【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由1a d n a （Ⅰ）求，再求数列的前10项和.n b {}n b 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d ，由题意有. {}n a 112+54,+53a d a d ==解得. 121,5a d ==所以的通项公式为. {}n a 235n n a +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当n=1,2,3时，； 2312,15n n b +≤<=当n=4,5时，； 2323,25n n b +≤<=当n=6,7,8时，； 2334,35n n b +≤<=当n=9,10时，. 2345,45n n b +≤<=所以数列的前10项和为.{}n b 1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错. []x x18．已知直线和圆． :10l x y -+=22:2440C x y x y +-+-=(1)若直线交圆于，两点，求弦的长； l C A B AB (2)求过点且与圆相切的直线方程． ()41-,C 【答案】(1)2(2)或 4x =43130x y +-=【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果； （2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程．()14y k x +=-k 【详解】（1）将圆：化成标准方程：， C 222440x y x y +-+-=()()22129x y -++=所以的圆心为，半径， ()1,2C -3r =所以到直线：的距离()1,2C -l 10x y -+=d所以；2AB ===（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； ()41-,4x =C ②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， C ()14y k x +=-410kx y k ---=所以圆心到直线的距离为，()1,2C -410kx y k ---=r，解得：，43k =-所以此时切线方程为，化简得． ()4143y x +=--43130x y +-=综上所述，所求的直线方程为：或．4x =43130x y +-=19．已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，ABC A B C a b c (2sin ,m A =，且. (),n b a = m n ⊥(1)求角的大小；B(2)若，求面积的取值范围. 3c =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角2sin 0m n b A ⋅== sin B 为锐角可得角的值；B B （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求312tan a C=C 得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.a ABC 【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，2sin 0m n b A ⋅==2sin sin 0A B A =、均为锐角，则，故.A B sin 0A >sin B π3B =（2）解：由（1）可知，，故，又因为，π3B =2π3A C +=3sin sin a AC =所以， ππ3sin π3sin 3sin 3133sin sin sin 2tan C C A a C C C C ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====又因为，，所以，故π02C <<ππ0π32C <--<ππ62C <<tan C >即有，10tan C<<362a <<又由. 11sin 322ABCS ac B a ==⋅=∈ 所以面积的取值范围是.ABC20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA=PD ，点E 为BC 的中点，△AEB 为等边三角形.(1)证明：PB ⊥AE ；(2)点F 在线段PD 上且DF=2FP ，若二面角F −AC −D 的大小为45°，求直线AE 与平面ACF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，证明，由面面垂直得到线面垂直，进而得到，得到AE BO ⊥PO AE ⊥平面，求出PB ⊥AE ；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的⊥AE PBO 正弦值；方法二：作出辅助线，得到二面角的平面角，求出各边长，利用等体积法求解点到平面E 的距离，从而求出线面角的正弦值.ACF 【详解】（1）因为点为的中点且为等边三角形， E BC AEB △所以，从而. AB BE AE EC ===90,60BAC ABC ∠∠== 取的中点，则四边形为菱形，连接BO ，AD O ABEO故，①AE BO ⊥又，且为的中点，则，PA PD =O AD PO AD ⊥又平面平面，平面平面，所以平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PO ⊥ABCD 从而②PO AE ⊥由①②得：平面， ⊥AE PBO 又平面，故.PB ⊂PBO PB AE ⊥（2）解法一：设，作交，由（1）已证平面，从而,1OP h AB ==ON AD ⊥BC N 于PO ⊥ABCD 两两垂直，以点，为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角,,ON OD OP O ,,ON OD OP x y z 坐标系如图所示.则. ()11120,1,0,,0,,0,0,,2233A C E F h ⎫⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭设平面的一个法向量为，ACF (),,n x y z =又，3421,0,0,,,,02332AC AF h AE ⎫⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭由得 0,0n AC n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩30,2420,33y y hz +=⎪+=⎪⎩今，故，x =21,y z h =-=21,n h ⎫=-⎪⎭ 由平面知为平面的一个法向量. PO ⊥ABCD ()0,0,1m =ACD 由二面角的大小为知.F AC D --45 cos 45m n m m⋅==⋅1h =从而为平面的一个法向量，)1,2n =- ACF 所以点到平面的距离为E ACFAE n d n ⋅== 从而直线与平面所成角的正弦值为AE ACF d AE =解法二：作交于，作于，连接，FH OP ∥AD H HM AC ⊥M FM由（1）已证平面，故平面， OP ⊥ABCD FH ⊥ABCD 又平面，所以，AC ⊂ABCD FH AC ⊥又，所以平面， ,MH AC FH MH H ⊥⋂=AC ⊥,FMH AC MF ⊥所以为二面角的平面角，由题知. FMH ∠F AC D --45FMH ∠= 不妨设，又，1OC OD OA CD ====AC CD ⊥所以，且，∥MH CD 2233MH FH CD ===所以31,2AC OP FH FM ====设点到平面的距离为，则由知， E ACF d E ACF F AEC V V --=12ACF ACE ACB S d S FH S FH ⋅=⋅=⋅得，解得12AC MF d AC CD FH ⋅⋅=⋅⋅⋅d =从而直线与平面所成角的正弦值为AE ACF d AE =21．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为3，且过点.2222:1(0)x y E a b a b +=>>()2,1P (1)求椭圆的方程；E (2)为坐标原点，点与点关于轴对称，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足O Q P x A B PQ ，求面积的最大值.APQ BPQ ∠=∠OAB 【答案】(1)22163x y +=【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出，得到椭圆方程；（2）设出直,a b 线方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出，求出AB k 弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，解得 22229,411,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的方程为.E 22163x y +=（2）依题意，直线斜率一定存在，设方程为，，.AB AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由得，，22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222124260k x kmx m +++-=，得，()()2222Δ16412260k m k m=-+->22630k m -+>，. 122412km x x k +=-+21222612m x x k -=+，，. APQ BPQ ∠=∠ 0PA PB k k ∴+=121211022y y x x --∴+=--， ()()()()211221210x y x y ∴--+--=.()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m k k ---∴---=++化简得，， 22310k k km m -++-=即()()1210k k m -+-=或.1k ∴=12m k =-将代入中，得，即直线经过点，不合题意，所以12m k =-y kx m =+()12y k x -=-AB P 12m k =-舍去，分别位于的两侧，AB PQ ，且，. 31m ∴-<<-1243m x x +=-212263m x x -=2AB x=-==到的距离OAB d 的面积为OAB ∴ ()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=≤=当且仅当，即. 229m m =-m =OAB ∴ 【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等. 22．已知函数()2ln 1f x x ax =-+(1)若存在零点，求实数a 的取值范围；()f x (2)若是的零点，求证： 0x ()f x 00220032e 1.x x a x x --≤<【答案】(1) ,⎛-∞ ⎝(2)证明见解析【分析】（1）令，变形得，令，求()2ln 10(0)f x x ax x =-+=>2ln 1x a x +=2ln 1()(0)x g x x x+=>出函数的值域，即可求得实数a 的范围；()g x （2）由题意可得，，得，要证，即证()0002ln 10f x x ax =-+=002ln 1x a x +=00220032e 1x x a x x --≤<，先证，只需证，令，求0000032e 12ln 1x x x x x --≤+<000322ln 1x x x -≤+001ln 1x x +≥()1()ln 0t x x x x =+>出函数的最小值即可得证；再证，令，证明即可得证.000e 12ln 1x x x -+<()2ln 1h x x x =+-()()h x k x <【详解】（1）令，变形得， ()2ln 10(0)f x x ax x =-+=>2ln 1x a x+=令，问题转化成与有交点， 2ln 1()(0)x g x x x+=>ya =()g x 令，解得212ln ()0xg x x -'==x =则在上单调递增，在上单调递减，()gxx∈)x ∈+∞故 max ()g x g ===又当时，，0x →()g x →-∞ a ∴≤故实数a 的取值范围为. ,⎛-∞⎝（2）由题意可得，，得， ()0002ln 10f x x ax =-+=002ln 1x a x +=要证，即证， 00220032e 1x x a x x --≤<000022000322ln 1e 1(0)x x x x x x x -+-≤<>即证， 0000032e 12ln 1x x x x x --≤+<先证，只需证，000322ln 1x x x -≤+001ln 1x x +≥令，则， ()1()ln 0t x x x x=+>21()x t x x -'=在上单调递减，在上单调递增，故，，左边证毕，()t x ∴(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞min ()(1)1t x t ==()1t x ∴≥再证，000e 12ln 1x x x -+<令，， ()2ln 1h x x x =+-2()xh x x-'=在上单调递增，在上单调递减，故；()h x ∴(0,2)x ∈(2,)x ∈+∞max ()(2)2ln 21h x h ==-令，， e 1()x k x x x-=-22e e 1(1)(1e )()1x x x x x x k x x x -+--+-'=-=对于函数，， 1e x y x =+-0x >则，原函数单调递减， 1e 0x y '=-<故 1e 0x y x =+-<令，解得，()0k x '=1x =在上单调递减，在上单调递增，故()k x ∴(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞min ()(1)e 2k x k ==-，，即，故，右边证毕， e 22ln 21->- ()()h x k x ∴<e 12ln 1xx x x x-+-<-000e 12ln 1x x x -+<则得证. 00220032e 1x x a x x --≤<【点睛】本题考查了函数的零点问题、单调性及最值，考查了计算能力及逻辑推理能力，需要构造新的函数来解决所求问题，属于难题.。

一、单选题1．已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:(2)10,:30l ax a y l x ay +-+=++=12l l ⊥a A ．3 B ．0或3C ．1D ．或12-【答案】B【分析】直接由两直线垂直的条件求解．【详解】∵，∴，解得或． 12l l ⊥(2)0a a a +-=0a =3a =故选：B ．【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．两直线与垂直的充要条1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=件是．12120A A B B +=2．双曲线的渐近线方程为（ ）2214x y -=A ． B ．C ．D ．4y x =±2y x =±12y x =±14y x =±【答案】C【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．【详解】双曲线的渐近线方程为，即，2214x y -=2204x y -=12y x =±故选：C.3．若抛物线上的点到焦点的距离为则（ ） 22(0)x py p =>(),1A m 4,||m =A ．B ．C ．6D ．112【答案】D【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.p 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，22(0)x py p =>(,1)A m 142p+=6p =，所以212x y =212,||m m ==故选：D.4．从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．4351763515【答案】C【分析】根据题意可知，从7个整数中随机取3个不同的整数共有种组合，再列举出这三3C 35=个数能作为锐角三角形三边长的所有情况，即可求出其概率.【详解】由题可知，从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，共有种组合，37C 35=若要这三个数能作为锐角三角形三边长，设三角形的三边长为，且， ,,a b c a b c <<由余弦定理可知，只需满足即可；222a b c +>三角形的三边长为4，5，6时，，满足题意； 222456+>三角形的三边长为4，6，7时，，满足题意； 222467+>三角形的三边长为4，7，8时，，满足题意； 222478+>三角形的三边长为5，6，7时，，满足题意； 222567+>三角形的三边长为5，7，8时，，满足题意； 222578+>三角形的三边长为6，7，8时，，满足题意； 222678+>所以，共6种组合满足题意；即能作为锐角三角形三边长的概率为. 635P =故选：C.5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底{},,a b c {,,}a b a b c +- p下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） {},,a b c (4,2,3)p{,,}a b a b c +- A ． B ．C ．D ．(4,0,3)(1,2,3)(3,1,3)(2,1,3)【答案】C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.p{,,}a b a b c +- (),,x y z 【详解】∵在基底下的坐标为p{},,a b c (4,2,3)∴=423p a b c ++ 设在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- (),,x y z 则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- ()3,1,3故选：C6．设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线1F 2F E ()222210x y a b a b +=>>()2,0F c l与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）2a x c=P 12PF F △E e AB ． CD13【答案】A【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率. P 60︒【详解】由于为等腰三角形， 12PF F △所以，21cos 6022a c c c -︒==222212,,2c c a c a a ===故选：A7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为221:20C x y x m +--=222:40C x y y m +++=m （ ） A ． B ． C ． D ．()0,4()1,4-()1,0-[)0,4【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以221:(1)1C x y m -+=+222:(2)4C x y m++=-10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨<解得 1 4.m -<<故选：B ．8．双曲线C ：的左，右焦点分别为，，过的直线与C 交于A ，B 两()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 2F 点，且，，点M 为线段的中点，则（ ） 222AF F B = 160ABF ∠=︒2AF 112F MF F =A ．B C ．D 4353【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 2BF t =22AF t =12BF t a =+122AF t a =+在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得12BFF △1BF A A 121cos cos 0AMF F MF +=，进而得解 【详解】设，因为，所以， 2BF t =222AF F B =22AF t =由双曲线定义知，则 122B F B F a -=12BF t a =+由双曲线定义知，则122AF AF a -=122AF t a =+设，，因为， 122FF c =222c a b =+160ABF ∠=︒在中，①； 12BF F △22222212(2)(2)1cos 24402(2)2++-∠==⇒++-=⨯+⨯t a t c F BF t at a c t a t 在中， 1BF A A 22221(2)(3)(22)1cos 31002(2)32++-+∠==⇒-=⨯+⨯t a t t a F BA t at t a t 解得：，代入①式，得．103t a =73c a =点M 为线段的中点，所以， 2AF 2103A a M MF ==因为，所以121cos cos 0AMF F MF+=，2222221111102610143333010102233a F M a a F M a a F M a F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯又因为12143F F a =故选：B二、多选题9．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝“两次都击中飞机”，B ＝“两次都没击中飞机”，C ＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D ＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝ ∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D【答案】ABC【分析】根据试验过程，分析出事件A 、B 、C 、D 的含义，对四个选项一一判断.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A ⊆D ，A ∪C ＝D .故A 、C 正确；因为事件B ，D 为互斥事件，所以B ∩D ＝.故B 正确；∅对于D ：A ∪B ＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B ∪D 为必然事件，这两者不相等.故D 错误. 故选：ABC.10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ l α∥B ．若对空间中任意一点，有，则四点共面 O 111444OP OA OB OC =++P A B C ，，，C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量，，则在上的投影向量为(9,4,4)a =- (1,2,2)b = a b()1,2,2【答案】CD【分析】选项A ，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面0e n ⋅= l eαn l α内，也可能与平面平行；选项B ，根据空间向量四点共面条件即可判断B ；选项C ，根据平面向α量基底的定义可判断C ；选项D ，根据投影向量的公式即可判断D.【详解】选项A ，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以，所以直线或，故A 错误；220e n ⋅=-+=e n ⊥ l ⊂αl α∥选项B ，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，111444OP OA OB OC =++ 111314444++=≠四点不共面，故B 错误；P A B C ，，，选项C ，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C 正确；选项D ，由，，(9,4,4)a =-(1,2,2)b = 在上的投影向量为，故D 正确. a b()()1,2,29881,2,233a b b b b⋅+-⋅=⋅=故选：CD.11．下列说法错误的是（ ）A ．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为()2,3A --l 5x y +=-B ．直线必过定点 2(1)(3)750m x m y m ++-+-=()1,3C ．经过点，倾斜角为的直线方程为()1,1P θ()1tan 1y x θ-=-D ．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=()3,1M -()3,2N k 1322k -≤≤【答案】ACD【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A ；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B ；由可判断C ；计算出端点处的斜率结合图形可判断D π2θ=【详解】对于A ：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， y kx =()2,3A --32k -=-32k =此时直线方程为，故A 错误； 32y x =对于B ：直线可变形为，由()()213750m x m y m ++-+-=()252370x y m x y +-+-+=解得， 2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩13x y =⎧⎨=⎩即直线必过定点，故B 正确； ()()213750m x m y m ++-+-=()1,3对于C ：当倾斜角时，无意义，故C 错误； π2θ=tan θ对于D ：直线即，经过定点，10kx y k ---=()11y k x +=-()1,1P -当直线经过点时，斜率为， ()3,1M -()111312k --==---当直线经过点时，斜率为，()3,2N ()213312k --==-由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D 错误；MN y k 12k ≤-32k ≥故选：ACD12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直221:1,2x C y F +=C x m =C ,A B A 线与椭圆的另一个交点为，则（ ） 1AF C E A ．B ．当时，e =1m =1F ABA C ．D ．的周长的最大值为1111AF EF +=1F AB A 【答案】AC【分析】对A ：由方程求，进而求；对B ：根据方程结合题意运算求解；对C ：设直线,,a b c ce a=，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D ：根据椭圆定义分析求解.1AF 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以A 项正2212x y +=2211c =-=1,c a=c e a =确；当时，点到的距离为2，所以的面积为B 项错误； 1m =1,A F ⎛ ⎝AB 1F AB A 122=因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点A 1AF 1AF k ()()1122,,,A x y E x y ，∵，则直线，()11,0F -()1:1AF y k x =+联立方程，得到 ()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++-=∴， 22121222422,1212k k x x x x k k -+=-=++∵在椭圆上，则，即()11,A x y 221112xy +=221112x y =-∴ 11AF ===同理， 12EF =于是1111AF EF +===2222224412422421212k k k k k k ⎫- ⎪+⎝⎭===--+++=故C 项正确；设椭圆的右焦点为，2F当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为 x m =2F 1F AB A 4a =如果不经过右焦点，则连接，，2F 2AF 2BF 可知的周长小于， 1F AB A 11224AF BF AF BF a +++=所以的周长的最大值为D 项错误. 1F AB A 故选：AC.三、填空题13．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为___________. 【答案】8【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果. ||PF P 【详解】由，得，准线方程为：，212y x =-(3,0)F -3x =过作准线的垂线，垂足为，P 3x =M 则，PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=当且仅当三点共线时，等号成立. ,,A P M 故答案为：814．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：415．如图，空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c =2OM MA =BN NC =____________．MN =【答案】211322a b c -++【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】如图，因为，，2OM MA =BN NC =所以，，13MA OA = ()1122BN BC OC OB ==- 又因为，，，OA a = OB b = OC c =所以.()()1132M OA OB OA OC A N MA B B OB N +-++-==+ 211211322322OA OB OC a b c =++-++-= 故答案为：.211322a b c -++16．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直A ,,AB AD AQ x y z 角坐标系．令两正方形边长均为2．则,()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-= cos ,EM AF EM AF EM AF ⋅∴〈〉===⋅设异面直线与所成的角为,．EM AF θcos cos ,EM AF θ∴=〈〉= 【解析】异面直线所成的角．四、解答题17．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么 32(1)写出试验的样本空间．(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率． D 【答案】(1)()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =(2) 25【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.D 【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为112,a a 212,b b 3，12,c c 则样本空间为()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =.()()()()()()()}22121112212212,,,,,,,,,,,,,a c b b b c b c b c b c c c （2）由（1）知：，()15n Ω=，，()()()()()(){}121221211221,,,,,,,,,,,D a b a c a b a c b c b c = ()6n D ∴=. ()62155P D ∴==18．如图，在四棱锥中，是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，P ABCD -PAD A //BC AD ，，E 是PD 的中点.CD AD ⊥222PC AD DC CB ====（1）证明：平面PAB ；//CE （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，再由线面平行PA M BM EM BCEM 的判定定理即可得证；（2）由平面，知点到平面的距离即为所求，由线面垂直的判定定理证平面//CE PAB E PAB BC ⊥，以为原点，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，写PNB B BC PB ⊥PB 120PNB ∠=︒出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离P E PAB nE PAB 即可得解.·n BEd n= 【详解】（1）证明：取的中点，连接､，PA M BM EM 为的中点，，， E PD //EM AD ∴12EM AD BC ==四边形为平行四边形，，∴BCEM //CE BM ∴平面，平面，平面.CE ⊄ PAB BM⊂PAB //CE ∴PAB （2）平面，点到平面的距离即为所求. //CE PAB ∴E PAB 设，222PC AD DC CB ====取的中点，连接､，则四边形为矩形，AD N BN PN BCDN 1BN CD ==是以为斜边的等腰直角三角形，，， PAD A AD PN AD ∴⊥112PN AD ==，，､平面，平面， BN AD ⊥ PN BN N Ç=PN BN ⊂PNB AD ∴⊥PNB ，平面，∴，//BC AD Q BC ∴⊥PNB BC PB ⊥平面，平面平面，BC ⊂ ABCD ∴ABCD ⊥PNB 以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面， B BC BN x y PNB Bz ⊥ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，()0,0,0B ()1,1,0A -()1,1,0D 在中，，，Rt PBC △PB ===1BN PN ==，，又是的2221cos 22BN PN PB PNB BN PN+-∠===-⋅120PNB ∴∠= 30,2P ⎛∴ ⎝E PD 点，15,24E ⎛∴ ⎝ ，，， 30,2BP ⎛=⎝ ()1,1,0BA =-15,24BE ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，PAB (),,n x y z =则， 令，则，，300200n BP y n BA x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩1x =1y =z =∴(1,1,n =点到平面的距离∴E PABn BE d n⋅===故直线与平面CE PAB19．已知直线l ：x+2y-2=0．试求：（1）点P （-2，-1）关于直线l 的对称点坐标； （2）直线l 关于点（1，1）对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）.219(,)55240x y +-=【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所P l l 在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程l 1-组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所l ()1,1l 求的直线方程.试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为， P l ()00',P x y 则线段的中点在对称轴上,且.'PP M l 'PP l ⊥∴即的坐标为.0000001121,,225{{1921,220522y x x x y y +⎛⎫⨯-=-= ⎪+⎝⎭⇒--=+⨯-='P 219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定l ()1,1A 'l l ()11,P x y A ()',P x y 在直线上,反之也成立.由'l 11111,2,2{{2,12x x x x y y y y +==-⇒=-+=将的坐标代入直线的方程得.()11,x y l 240x y +-=∴直线的方程为.'l 240x y +-=点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且(),A a b ()00Ax By C B ++=≠()',A m n 'AA 的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于'AA 1{22n b A m a B a m b n A B C -⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭++⨯+⨯+=点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 20．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN A 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN A 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN A 21．已知双曲线221.416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N 是线段的中点，求直线的方程； (1,4)N ,S T ST ST (2)直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、(2)y kx m k =+≠±y 轴于，两点．当点M 运动时，求点的轨迹方程. 0(,0)A x 0(0,)B y 00(,)P x y 【答案】(1)30.x y -+=(2). 221(0)10025x y y -=≠【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案； 11(,)S x y 22(),T x y ST （2）根据直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到，(2)y kx m k =+≠±224(4)m k =-从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可00,x y 得答案.【详解】（1）设，，则 ， 11(,)S x y 22(),T x y 2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得，即， 22221212416x x y y --=121212124y y x x x x y y -+=⨯-+因为点是线段的中点，所以， (1,4)N ST 1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯即直线的斜率为1，ST 所以直线的方程为，即,ST 41y x -=-3y x =+联立方程组,得，满足， 2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩236250x x --=0∆>故直线的方程为ST 30.x y -+=（2）联立方程组,得， 22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩222(4)2(16)0k x kmx m ---+=因为直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ， (2)y kx m k =+≠±根据双曲线的对称性可知都不等于0，,k m ，得， ()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩224(4)m k =-则,则, 244M km k x k m ==--4(16)Mk m y k mm =⨯+=--所以M 的坐标为，其中， 416(,)k m m--0km ≠因为过点M 且与l 垂直的直线方程为， 1614()ky x m k m+=-+令，得，令，， 0y =020kx m =-0x =020y m=-所以， 222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+故点的轨迹方程为：.00(,)P x y 221(0)10025x y y -=≠【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线2:2(0)T y px p =>F P T Q P (0)x t t=<上的投影.当为等边三角形时，其面积为.PQF △(1)求抛物线的方程；T (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B 和C ，D ，x (,0)(0)E a a >T 点H ，K 分别为，的中点，求面积的最小值. AB CD EHK A 【答案】(1)； 28y x =(2)16.【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P 的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.||PF （2）设出直线AB 、CD 的方程，求出点H 坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借||,||EH EK 助均值不等式求解作答.【详解】（1）抛物线的焦点，准线，2:2(0)T y px p =>(,0)2p F 2p x =-为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，PQF △||||PQ PF =Q P (0)xt t =<2pt =-由，设，则点，21||sin 602PQFS PF ==A ||8PF =200(,)2y P y p 0(,)2p Q y -于是由得：，解得，88PQ QF ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022082264y pp y p ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩4p =所以抛物线的方程为：.T 28y x =（2）显然直线AB ，CD 都不与坐标轴垂直，设直线AB 方程为：，则直线CD 方程为：x ty a =+，1x y a t=-+由消去x 并整理得：，设，则， 28x ty a y x =+⎧⎨=⎩2880y ty a --=1122(,),(,)A x y B x y 128y y t +=于是得弦AB 中点，2(4,4)H t a t +||4|EH t==同理得，11||4|4|EKt t =-=因此，直角面积 EHK A 111||||4|4|22S EH EKt t =⋅=⋅，当且仅当，即时取“=”， 16==≥=221t t =1t =±所以面积的最小值为16.EHK A 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.。

则 , ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ，
．
．
设二面角 的平面角为
，
∴二面角 的正弦值为 ．
18.在 中， ,点 在直线 上，若 的面积为 ,求点 的坐标.
【答案】 或 .
【详解】试题分析：求出 的距离，利用三角形的面积求出 到 的距离，求出 的方程，设 ，利用点到直线的距离公式可求出 的坐标.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
4.已知椭圆 的两个焦点为 ， 为椭圆上一点， .若 的内切圆面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
9.给出下列命题，其中是假命题的是（）
A.若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有
B. 是 ， 共线的充要条件
C.若 ， 共线，则
D.对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若 ，则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD
【分析】根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误.
【详解】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；
【详解】解：由 ，得 ，
，即 ，
又 ， 数列 为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，可得 ，故 正确；
当 时， ，
， 数列 的最大项为 ，故 错误， 正确．
故选： ．
12.若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】求得已知直线的斜率 ，对选项中的函数分别求导，可令导数为 ，解方程即可判断结论