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专升本——极限1

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极 限
知识点1：极限概念、定理 1. 定义
2. 定理：函数()f x 在点0x 处极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等。

即_0
00lim ()lim ()lim ()x x
x x x x f x A f x A f x +
→→→=⇔== （分段函数在分段点处的极限必须用此定理） 类似的 lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x →∞
→-∞
→+∞
=⇔==
练习:
1. （2009,1分）若1,0
()0,
01,0x x f x x x x -<⎧⎪
==⎨⎪+>⎩
，则0
lim ()x f x →=（ ） A 1- B 0 C 1 D 不存在
2. （2013,3分）设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，若0
0lim ()()x x f x f x →=，则
下列对此描述正确的是（ ）
A 0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，0()()f x f x ε-<恒成立；
B 0ε∀>，0δ∃>，当00x x δ<-<时，0()()f x f x ε-<恒成立；
C 0ε∀>，0X ∃>，当x X <时，0()()f x f x ε-<恒成立；
D 0ε∀>，0X ∃>，当x X >时，0()()f x f x ε-<恒成立；
3.（2017,6分）设tan ,0()2,0
ax
x f x x x x ⎧<⎪
=⎨⎪+≥⎩，0
lim ()x f x →存在，求a 的值。

4.（2019.3分）函数()sin f x x x = （ ）
A 当x →∞时为无穷大；
B 在(,)-∞+∞内为周期函数；
C 在(,)-∞+∞内无界
D 当x →∞时有有限极限 5. （2019.2分）下列函数中，当n →∞时，有极限的是（ ）
A 2n x n =-
B n x
C (1)n
n x =- D 2
2n x n = 6. 10
lim x
x e →=（ ）
A 0
B -∞
C +∞
D 不存在
7. 如果0
lim (),lim ()x x x x f x A f x A -+→→==，则函数()f x 在0x 处（ ）
A 一定有定义
B 一定有极限
C 一定连续
D 一定间断
8. 设1,0()0,0,0x x x f x x e x ⎧+<⎪
==⎨⎪>⎩
，则0lim ()x f x -→=（ ），0lim ()x f x +
→=
（ ），0lim ()x f x →=（ ） 9. 3
3
lim
3
x x x →-=-（ ） A 0 B 1 C ∞ D 不存在
10. 0
lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→和都存在是0
lim ()x x f x →存在的（ ）条件。

知识点2：无穷小与无穷大 （1）无穷小的比较
设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，
①如果lim
0β
α
=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； ②如果lim β
α=∞，则称β是比α低阶的无穷小；
③如果lim 0c β
α
=≠，则称β与α是同阶无穷小；
④如果lim
1β
α
=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ； ⑤如果lim 0k c β
α
=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小．
（2）无穷小的性质
定理1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

定理2（倒数关系）：在自变量的同一变化过程中，非零无穷小的倒
数为无穷大，反之亦然。

定理3：（等价无穷小代换定理） 设,α
αβ
β，且lim
βα
存在，则lim lim ββ
αα=。

注：乘除可以代换，加减法谨慎用。

若lim 1β
α
≠，则αβαβ±±
例：00tan sin lim
lim 0sin 22x x x x x x
x x
→→⋅==
3300tan sin lim
lim 0(sin x x x x x x x x →→--==0tan )lim 1sin x x x →⎛⎫
= ⎪⎝⎭
2
3330001tan sin tan (1cos )12lim lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===
0003tan 2sin 3213tan 3
lim
lim (lim 1)sin 2222sin 2x x x x x x x x x x x →→→--===≠
公式：当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,x
x x x x x x
x
2
1
,1
ln ,ln(1)
,1cos ,11
2
x
x
n
x x e x a x a x x x
x n
--+-+- 10. （2005,3分）设1
x
y e
-=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）
A 0x +
→ B 0x -
→ C x →+∞ D x →-∞ 11. （2007,3分）当0x →时，tan2x 是（ ）
A 比sin3x 高阶的无穷小；
B 比sin3x 低阶的无穷小；
C 与sin3x 同阶的无穷小；
D 与sin3x 等价的无穷小
12.（2008，4分） 设数列 n x 有界，且 lim 0n x y →∞=，则lim n n x x y →∞
=（ ）
13. （2008,3分）当0x →时，2
3x 是2
sin x 的（ ）
A 高阶无穷小
B 同阶无穷小，但不等价
C 低阶无穷小
D 等价无穷小
14. （2013,3分）当0x →时，若0lim (0)k x A A x
→+=≠，则k =（ ） 15. （2014,3分）sin lim
x x
x
→∞=（ ）
16.（2017,6分）当0x →时，2
1)sin x 与是等价无穷小，求a 的值。

17.（2018,6分）当1x →
时，1()()11x
f x
g x x
-==+与 18. （2019,2分）0ln(12)
lim
sin 3x x x
→-=（ ）
19. （2019,2分）极限21sin(1)
lim
1
x x x →-=-（ ） 20. 如果03sin 2
lim
23
x mx x →=，则m =（ ）
21. 当0x →时，下列变量中与2sin x 为等价无穷小量的是（ ）
A
B 2
x C 2
3
x D 3x
22. 当x →___________时，21
1x y x -=
+为无穷小量。

23. 当x →___________时，21
1
x y x +=-为无穷大量。

24. 设()232x
x
f x =+-，则当0x →时，，有（ ）
A ()f x 与x 是等价无穷小；
B ()f x 与x 同阶但非等价无穷小；
C ()f x 是比x 高阶的无穷小；
D ()f x 比x 低阶的无穷小
25. 设0
lim ()x f x →
存在，且0
2x →=，则0lim ()x f x →=（ ） 26. 利用等价无穷小的性质，计算下列极限 （1）2
1
lim
cos x x
π
→
（2）2123lim 54x x x x →--+ （3）sin lim x x x →∞ （4）01lim arctan x x x →
（5）11limln sin 1x x x →- （6）01lim(1)cos x
x e x →- （7）0sin 3lim sin 2x x x → （8）21sin(1)lim 1x x x →-- （9）0tan 4lim sin 2x x
x
→ （10）0sin lim sin n m x x x →（讨论） （11
）0x →
（12）0lim ()sin()ax bx x e e a b a b x →-≠-
（13） 01cos lim (1)ln(1)x x x e x →--+ （14
）
0x →（15）sin lim
sin x x x x x →∞-+ （16）20arcsin 2lim x x x x →+ （17）4
4
1lim ln(1)x x x →∞+（18）1
23
0(1)1lim cos 1x x x →+--
（19
）0
x → （20）0tan 5lim
ln(1)
x x x →+
（21
）0
x → （22
）32x x x x →（23）23
201112lim ln(1)x x x x →⎛⎫-- ⎪⎝⎭+
（24）sin sin 000(1)[(sin )]lim lim lim 1sin sin sin x x x x x x x x x e e e e e x x x x x x x x
-→→→----===---。

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极限练习题专升本山东

极限练习题专升本山东

极限练习题专升本山东一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2在x=1处的极限是：A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果lim (x→2) [f(x) - g(x)] = 3，那么lim (x→2) f(x) - lim (x→2) g(x) =：A. 3B. 6C. 无法确定D. 0二、填空题3. 计算极限lim (x→∞) (1/x)^2 = _______。

4. 若lim (x→0) [sin(x)/x] = 1，则lim (x→0) cos(x) =_______。

三、解答题5. 求函数f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x) / (x - 1)在x=1处的左极限和右极限，并说明该点的极限是否存在。

6. 证明lim (x→0) [(x^2 + x) / (x - 1)] 不存在。

四、计算题7. 计算下列极限：(a) lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)(b) lim (x→∞) (3x^2 + 2x + 1) / (x^2 + 3)8. 利用夹逼定理证明lim (n→∞) (1 + 1/n)^n = e。

五、应用题9. 某工厂生产的产品数量随时间的变化而变化，设产品数量为f(t)，时间t小时后，f(t) = 100t / (t^2 + 1)。

求当t趋于无穷大时，产品数量的变化趋势。

10. 某函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，求lim (x→0) [f(x) - f(0) - 2x] / x^2。

答案：1. C2. A3. 04. 15. 左极限为2，右极限也为2，所以极限存在且等于2。

6. 证明略。

7. (a) 2 (b) 38. 证明略。

9. 产品数量趋于100。

10. 0【注】本试题仅供参考，实际考试中请以官方发布的试题为准。

河南专升本高数考纲

河南专升本高数考纲

河南专升本高数考纲【原创实用版】目录一、河南专升本高数考试大纲概述二、河南专升本高数考试模块及内容1.第一模块：函数、极限和连续2.第二模块：一元函数微分学3.第三模块：一元函数积分学4.第四模块：向量代数和空间解析几何5.第五模块：历年河南专升本高数考题及答案解析三、备考建议及资源正文一、河南专升本高数考试大纲概述河南专升本高数考试大纲是指导河南省专升本考生备考高数科目的重要参考资料，它明确了考试的范围、内容、题型及分值分布等。

根据大纲，河南专升本高数考试主要分为五个模块，分别是函数、极限和连续，一元函数微分学，一元函数积分学，向量代数和空间解析几何，以及历年河南专升本高数考题。

二、河南专升本高数考试模块及内容1.第一模块：函数、极限和连续本模块主要考察高数的主要研究对象——函数，以及研究工具——极限和连续。

具体内容包括：函数的基本概念、性质、图像和应用；极限的定义、性质、计算方法和应用；连续的定义、性质和应用。

2.第二模块：一元函数微分学本模块主要考察一元函数的微分概念、性质和应用。

具体内容包括：导数的定义、计算方法和应用；微分的定义、性质和应用；中值定理和导数的应用。

3.第三模块：一元函数积分学本模块主要考察一元函数的积分概念、性质和应用。

具体内容包括：定积分的定义、性质、计算方法和应用；不定积分的定义、性质和计算方法；解积分的方法，如直接积分法、凑微分法、第一换元法、第二换元法和分部积分法等。

4.第四模块：向量代数和空间解析几何本模块主要考察向量代数和空间解析几何的基本概念、性质和应用。

具体内容包括：向量的基本概念、运算和应用；平面和直线的基本概念、性质和应用；二次曲面的基本概念、性质和应用。

5.第五模块：历年河南专升本高数考题本模块主要提供历年河南专升本高数考试的真题及答案解析，供考生参考和练习。

三、备考建议及资源针对河南专升本高数考试大纲，考生可以采取以下备考建议：1.熟悉考试大纲，明确考试范围和内容，有针对性地进行复习。

浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探

浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探

76 浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探金友良从2005年起，我们浙江省专升本考试独立组卷，至今已有14年。

通过专升本考试，选拨普通高等学校高职高专应届优秀毕业生到本科院校进一步深造学习，为高职高专人才培养构建立交桥模式做出了贡献。

我们学校每年都进行专升本考试复习辅导，本人开设高等数学专升本复习多年，一直对高等数学专升本考试进行研究，对高等数学每部分的考试题目都进行了系统地、针对性地归纳及总结。

由于极限是高等数学中最重要的一个概念，极限思想始终贯穿整个微积分学，极限运算是微积分运算中最基础的部分，有着重要的地位。

本文就浙江省高等数学专升本考试第一部分极限题进行了收集、分析、归纳，整理了几种常考的极限运算基本方法，试图使学生从中掌握解题规律，提高运算能力。

1 精细解读浙江省专升本高等数学教学大纲，明确极限题考试的基本要求1）理解极限的概念（只要求极限的描述性定义），能根据极限概念描述函数的变化趋势。

理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。

2）理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。

3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系。

会利用等价无穷小替换求极限。

4）理解夹逼定理与单调有界准则，掌握两个重要极限，并能利用这两个重要极限公式求极限。

5）会利用初等函数的连续性求函数的极限。

6）掌握洛必达法则，会利用洛必达法则求各种未定式的极限。

7）理解导数定义与定积分定义，并会利用两个定义求极限。

2 分析历年试题，筛查考试热点1）利用极限的四则运算法则求极限。

2）利用左右极限求函数在某一点处的极限。

3）利用两个重要极限公式求极限。

4）利用导数的定义求极限。

5）利用洛必达法则求极限。

6）利用等价无穷小量求极限。

7）利用定积分概念求极限。

3 典型试题解析1）利用极限的四则运算法则求极限。

利用极限的四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，我们教师一定要强调要用这四则运算法则的一个前提条件是要保证每个极限都存在，且求商的极限时，分母极限不能为零，同时根据不同的题型，熟练掌握不同的解题方法。

广西普通高等教育专升本考试大纲与说明(数学)2025年版

广西普通高等教育专升本考试大纲与说明(数学)2025年版

广西普通高等教育专升本考试大纲与说明（数学）(2025年版)广西普通高等教育专升本考试（以下简称专升本考试）贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，是普通高校全日制高职（专科）应届毕业生升入普通本科高校和本科层次职业学校的选拔性考试，旨在促进高素质技术技能人才成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。

考试目的是科学、公平、有效地测试考生在高职（专科）阶段相关专业知识、基本理论与方法的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力，以利于各本科院校择优选拔，确保招生质量。

数学属于专升本考试公共基础课，注重考查考生的数学基础知识、数学思维能力、数学运算能力，以及运用数学分析、解决实际问题的能力，检测考生是否系统掌握数学的基本理论知识。

一、考查内容（一）一元函数微积分学1．函数、极限与连续（1）理解函数的概念，掌握简单函数的定义域、值域的求法和函数的表示法；（2）掌握函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性；（3）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域和图形），会求简单函数的反函数；（4）掌握函数的四则运算与复合运算，掌握复合函数的分解过程；（5）理解基本初等函数的简单性质及其图像，理解初等函数的概念；（6）了解极限的概念；（7）掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则；（8）掌握两个重要极限及其应用；（9）理解无穷小与无穷大的概念、性质及两者之间的关系；（10）理解无穷小阶的比较方法，掌握用等价无穷小代换法求极限；（11）理解函数连续性的概念，了解函数间断点的定义；（12）理解连续函数四则运算及复合运算的连续性、初等函数的连续性；（13）了解闭区间上连续函数的性质。

2．一元函数导数与微分（1）理解导数的定义、函数可导与连续的关系；（2）理解导数的几何意义，掌握平面曲线的切线和法线方程的求法；（3）掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；（4）会隐函数求导法、反函数求导法、由参数方程所确定的函数求导法；（5）理解高阶导数的定义，掌握函数的二阶导数计算方法；（6）理解微分的定义，掌握微分的基本公式、运算法则；（7）了解微分的一阶微分形式不变性。